甘肃省武威市第六中学高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题

武威六中20172018学年度高三第六次诊断考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上.2．本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题卡上完成，试卷上答题无效.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则（）A．B． C． D．22.若A.0B.1C.3D.53.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重四斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（）A．15斤 B．14斤 C．13斤 D．12斤4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．185.设满足约束条件，则的最小是（）A．B．C．D．6.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有（）A．70种 B．80种 C．100种 D．140种7.设曲线在处的切线方程为，则()A.0 B.1 C.2 D.3A．0 B．1C．2 D．39.已知数列满足,则的前10项和等于()A. B.C. D.10.已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（）A.甲是工人，乙是农民，丙是军人B.甲是农民，乙是军人，丙是工人C.甲是农民，乙是工人，丙是军人D.甲是军人，乙是工人，丙是农民11.已知点在双曲线上，A，B分别为双曲线的左右顶点，离心率为，若为等腰三角形，且顶角为，则（）A.B.C.3D.212.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（）A．2B．4C.6D．8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.二项式的展开式中的系数为；14.函数的最小值是；15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________；16.已知直线交抛物线于两点.若该抛物线上存在点,使得为直角,则的取值范围为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题12分）如图，在圆内接四边形中，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求面积的最大值.18.（本小题12分）某学校举行了一次安全教育知识竞赛，竞赛的原始成绩采用百分制.已知高三学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表.原始成绩85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级优秀良好及格不及格为了解该校高三年级学生安全教育学习情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中等级为不及格的有5人，优秀的有3人.（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值；（Ⅱ）根据（Ⅲ）在选取的样本中，从原始成绩在80分以上的学生中随机抽取3名学生进行学习经验介绍，记表示抽取的3名学生中优秀等级的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，,,,是上的中点.（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．20.（本小题12分）已知椭圆过点，离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，过点作斜率为直线，与椭圆交于，两点，若轴平分，求的值．21.（本小题12分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）设，若对任意的，都有，求整数的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号22．（本题满分10分）[选修44：极坐标与参数方程]在直角坐标系中，直线过点，倾斜角为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.（Ⅰ）求直线的参数方程（设参数为）和曲线的普通方程；（Ⅱ）求的值.23．（本题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数的最小值为4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CAABBADCCDBB二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．—1014．15．16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）在中，由余弦定理得，解得，（4分）注意到，可得.（6分）（2）在中，由余弦定理得，即，∵，∴，即.（10分）∴.当且仅当，△BCD为等腰三角形时等号成立，即面积的最大值为.（12分）18.（1）由题意可知，样本容量，，∴.（4分）（2）不及格的概率为0.1，设至少有1人成绩是及格以上等级为事件，∴，故至少有1人成绩是及格以上等级的概率为；（8分）（3）原始成绩在80分以上的学生有人，优秀等级的学生有3人，∴的取值可为0,1,2,3；∴，，，，∴的分布列为0123.（12分）19．19.解:（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……5分（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．……………9分于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．………12分20．解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在轴上，过点（0，1），离心率，所以，……2分所以由，得……3分所以椭圆的标准方程是……4分（Ⅱ）因为过椭圆的右焦点F作斜率为k直线l，所以直线l的方程是.联立方程组消去，得显然设点，，所以，……7分因为轴平分，所以.所以……9分所以所以所以所以所以所以……11分所以因为，所以……12分

21．1）当时，，定义域为．，令，可得．·······2分列表：所以，函数的最小值为．·······5分（2）由题意对任意的恒成立，可得对任意的恒成立．即对任意的恒成立．记，得，·······6分设，，则在是单调增函数，又，，且在上的图象是不间断的，所以，存在唯一的实数，使得，·······8分当时，，，在上递减；当时，，，在上递增．所以当时，有极小值，即为最小值，·······10分又，故，所以，由知，，又，，所以整数的最大值为3．·······12分22.解：（Ⅰ）∵直线过点，倾斜角为∴直线以为参数的参数方程为（为参数）......................3分∵曲线的极坐标方程为∴曲线的普通方程为........................................5分（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得.............6分设两点对应的参数为∵点在曲线的左下方∴.....................................................8分∴..