2022北京丰台区高三二模数学试题及答案

2022北京丰台高三二模数学202204第一部分（选择题共一、选择题共小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，若复数z对应的点的坐标为（2，），则z=（A）2+i（）1+2i（）2−i（D）1−2．“x1”是“2x1”的（A）充分而不必要条件（）充分必要条件（）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件()=3．函数fxcosx−1是2（A）最小正周期为2π的偶函数（）最小正周期为2π的奇函数（D）最小正周期为π的奇函数（）最小正周期为π的偶函数62xx2−的展开式中，常数项为4．在（D）（A）5．己知两条不同的直线l,m与两个不同的平面,，则下列结论中正确的是（A）若l//,m⊥l（）（）60m⊥（）若l⊥,l//，则⊥，则m⊥,l⊥ml//，则（D）若⊥,l⊥，，则l//（）若6．小王每天在6：至：50出发去上班，其中在6：至6：出发的概率为0.3，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：至：50出发的概率为0.7，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在630至6：出发上班迟到的概率为（A）0.13（）0.17（）0.21（D）0.37．已知a=0.5,b=log3c=tan，则3abcbacacb（A）（）（）cab（D）的前n项和为Sn，若S28．设等差数列nS30，则下列结论中正确的是a03a−a0（）2（A）1（）a+a0（D）aaa43523()+()()fgxf1．上单调递减．若，则的取值范围是9．已知偶函数fx在区间[0,)x11（A）,1（）+)1011（）,10（D）+)1010x22y2210．已知双曲线C:−=ab0)的左、右顶点分别为A,A，左、右焦点分别为F,F，以线段AA121212ab为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，2M与另一条渐近线平行．若FM=，则F的面积是1223327323373（A）（）（）（D）44第二部分（非选择题共二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．=(−2,3,bm．若)=()a⊥bm=，则_______．11．已知向量a12．己知抛物线C:x2=8y，则抛物线C的准线方程为_______．13．在△中，a=b=3,A=2B，则cosB=________．(−)=1，记d为点N14．在平面直角坐标系中，已知点M2，动点N满足NM到直线l:x+my+1−2m=0的距离．当变化时，直线所过定点的坐标为ml________；d的最大值为________．15．如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：m）与时间t（单位：月）满足关系式：a（a为常数），记=ty)(ft0)．给出下列四个结论：y=at()n①设a=f(n)nN*，则数列a是等比数列；n()1,2，f(2)−f)=ft)f(t)成立，其中是②存在唯一的实数t00()ft的导函数；a()1,2；③常数④记浮萍蔓延到2m2,3m,6m2所经过的时间分别为t,t,t大，则t+tt，其中所有正确结论的序号是2123123________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题共如图，在正三棱柱−ABC中，=，D为BC的中点，平面ACD111111=平面．（I）求证：AC//；11（II）求平面ACD与平面AAD夹角的余弦值．11117．（本小题共己知数列n的前n项和为Sn，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知．（I）求数列n的通项公式；1nN*Tmm恒成立，求的最小值．n（II）设数列的前n项和为T．若对任意，不等式nn条件①：a=1且a−2a=0(n2)；1nn1条件②：S=2n−；1n条件③：2a−S=1．nn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题共某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动，活动规则如下：在一不透明纸箱中有8张相同的卡片，其中4张卡片上印有幸”字，另外4张卡片上印有“运字．消费者从该纸箱中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片上都印有同一个字，则获得一张元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片上印有同一个字，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．（I）求某位消费者在-一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有幸”字的概率；()EX（II）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；（II）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付3元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．19．（本小题共ax+1己知函数f(x)=ex（I）当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；()(−)+（II）当a1时，求证：fxa1x1；f(x)ax2+(a−)x+1（III）直接写出的一个取值范围，使得a恒成立．20．（本小题共x22y22已知椭圆C:+=ab0)经过点P()，P到椭圆C的两个焦点的距离和为42．ab（I）求椭圆C的方程；()（II）设Q4,0，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点，求证：NM，N，三点共线．R21．（本小题共===+()I1=a,b,Ia,b,L,Ia,b,Ia,bn1n1n1nN*设是个互不相同的闭区间，若存在实数为该聚合区间的聚合点．011222nnnn1x0，使得0Iin1，则称这(=+)n+1个闭区间为聚合区间，xi（I）己知I=I=[2,sint](0t)为聚合区间，求t的值；12===a,b为聚合区间．n1n1（II）I1=a,b,Ia,b,L,Ia,b,I11222nnnn1（）设x，y是该聚合区间的两个不同的聚合点00求证：存在k,lL,n1+，使得a,bIi=1,2,L,n+；kli（）若对任意p,q(pq且p,qL,n+，都有I,I互不包含．pqn−1求证：存在不同的i,jL,n+，ba−a−)．iijn参考答案一、选择题共小题，每小题4分，共40分．题号答案12345678910CBACABBADC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．311．4．y=2．①②④．314．(2)；6三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共分）ABC−ABC，11证明：（Ⅰ）因为正三棱柱1ABC‖平面.所以平面111又因为1平面ABC，111所以AC‖平面.11ACDABC=DPAC平面，ACD11因为平面平面，1111AC‖DP.………………6所以分11（ⅡBC的中点为D，连接DDDD‖CC.111111ABC−ABC，11因为正三棱柱1所以1⊥平面，且底面为等边三角形，所以DD平面⊥，AD⊥BC，1由此得DDBC，⊥DD1⊥DA.1D−.以点D为坐标原点，，，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系AA1=2D0)A(3,2)C−2)设，易知，11⎯⎯所以DA=(3,2),DC=(0−2).11设平面ACD的一个法向量为n=(xyz)，113x+2z=,nDA=,1所以则−y+2z=0.nDC=,1令x=2，则y=−23，z=−3，于是n=−23−3)．⎯易知DB=0)是平面AAD的一个法向量.1设平面ACD与平面AA1D的夹角为，11⎯⎯|nDB|257则cos|cosDB==，⎯19|n||DB|25719所以平面ACD与平面AAD夹角的余弦值为.………………分11117.（本小题共分）解：（）选择条件①：由题意得a=2a(n≥2)，nn1且110，所以=a0，n所以an=2，an1=1，公比q=2.即数列a是等比数列，首项1n所以数列a的通项公式是anaqn12n1.………………5分=−=n1选择条件②：当n1时，由题意得=a=S=2−1=1；11n≥2a=S−Snnn1当时，=(2n−−(2n1−=2n1.检验：当n1时，a1=1依然成立.==1=n2n−所以数列a的通项公式是a1.n选择条件③：当n1时，由题意得=2a−S=1a=1，即；111a−S=1,nn−−(SnS)0−=，1n≥22n2a当时，由2n1−Sn1=1可得n1n−即an2an1=.又110，所以a0，n=an=2，所以an1=1，公比q=2.即数列a是等比数列，首项1n=aqn1=12n1所以数列a的通项公式是a.nn111==()n1−.（Ⅱ）由（）可得n2n121111所以n=++++123an11112=()0+()1+()2+122211−()n2=11−21=−()n].2112当nN*时有0()n≤，，2121所以−≤()n0，−211即≤1()−n1，221于是1≤()n).−22因为对任意nN*，不等式nm恒成立，m≥2，即m的最小值为2.………………14分所以18．（本小题共）记某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有“幸字”为事件A，11则P()==.C47081所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都印有幸”字的概率为（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为10，5，0，.………………4分C4C0+C0C41则P(X=10)=4444=，C4835C3C1+C1C316P(X==P(X=0)=4444=，C4835C2C2C4818354=.所以X的分布列为X1050116351835P351161818E(X)=10+5+0=．………………11分35353573（Ⅲ）方案：记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则EY)=E(X)−3=−0.7因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.方案：记“某位消费者在一次抽奖中能获得奖券为事件B，16171则P(B)=+=.3535351因为中奖概率不足，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.2方案：记“某位消费者在一次抽奖中能获得奖券为事件B，11617则P(B)=+=.3535351因为中奖概率接近，因此我愿意再次参加该项抽奖活动………………分219.（本小题共分）x+1exxex解：（）当a=1时，f(x)=，则f(x)=−.==令f(x)0，解得x0.随x变化f(x)和f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是(−，单调递减区间是(0+).当x=0时，f(x)取得极大值为f(0)=1.……………….6分+1（Ⅱa≥1时，设g(x)=−(a−x−1，ex−+a−1−+a−1−(a−x−(a=−则g(x)=.exex设()hx=−+a−1−(a−x，则h(x)=−a−(ax0.−故h(x)在区间(+)上单调递减.因为h=0，所以当x0时，h(x)>0，即g(x)0，则g(x)在区间(−上单调递增；当x0时，h(x)<0，即g(x)0，则g(x)在区间(0，所以当x=0时，g(x)取得最大值为g=0.+.……………….分+)上单调递减；所以g(x)≤g(0)=0，即f(x)≤(ax1−（Ⅲ）a≤0（答案不唯一）……………….分20．（本小题共2a=42，41解：（）由题意得+=,a2b2=+a2b2c2,解得a2=8，b2=2.所以椭圆C的方程为x2y2+=1.……………….5分82（Ⅱ）因为P(2，Q(40)，且R为PQ的中点，11所以k=−，R,).221依题意，设直线l的方程为y=−x+m，A(xy)，B(xy)，M(xy)，N(xy)，11223344211−4所以直线AQ的方程为y=(x−4).11−4y=(x−4)，2124y(x−由得x2+=8，(1−4)2x2y2+=182即(x2+4y2+−8x)x2−32y2x+64y2−8(x−4)2=0.111111因为点A在椭圆C上，所以x2+4y2=8，11由此得(24−8x)x2−32y2x+64y2−8(x−4)2=0，1111即(3−x)x2−4y2x+8y2−(x−4)2=0，1111423−1所以x+x=，13423−1x2+4y2−3x118−313−1于是3=−1=1=，3−11−18−31−4)=18−3x3−13−11所以3=(3−4)=(，即M(1,)，14x−43−x3−x11113−18−3x12−132由此得k==−(x+y)+.1121−33−1132因为点A在l上，所以x+y=m，即k=−m.11232−m，所以kMR=kNR，故M，N，R三点共线.……………….分同理，k=21．（本