高数-10春-06-正余弦函数图像及性质--学生版

高一数学春季班（学生版）

教师日期

学生

课程编号课型同步复习课

课题正弦、余弦函数图像及其性质

教学目标

1.理解正弦、余弦函数的概念以及图像；

2.掌握其奇偶性、单调性、值域及最值；

3.学会从研究函数的角度解决实际问题.

教学重点

1.掌握正余弦函数的各种性质及应用；

2.学会从多个角度分析函数.

教学安排

版块时长

1知识梳理10

2例题解析60

3巩固训练30

4师生总结20

5课后练习30

........

余弦函数的图像与性质

©知识梳理

1、正弦线：设任意角a的终边与单位圆相交于点尸(x,y),过P作x轴的垂线，垂足为"，则

有sina=』=MP,向线段MP叫做角&的正弦线.

3、用五点法作正弦函数的简图(描点法)：

正弦函数丁=5抽工，xe[0,2次)的图象中，五个关键点是：

(0,0)(1,1)(肛0)(y-1)(2肛0)

4、正弦函数丁=sinx,x£R的图像：

把丁=$也%，]£[0,2»]的图象，沿着1轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为

由正弦函数图像可知:

(1)定义域：R

(2)值域：［-1,1］；正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以|sinx区1,即

-l<sinx<b也就是说，正弦函数的值域是［-1」.亦可由正弦图像直接得出。

(3)奇偶性：奇函数

由sin(-x)=-sin%可知：y=sinx为奇函数，正弦曲线关于原点。对称

TT77

(4)单调递增区间：2k兀,2k兀〜——,kez；

_22_

jr37r

(5)单调递减区间：2k兀4——,2左下H---,kGz；

_22_

(6)对称中心：(左",0)；

jr

(7)对称轴：x-kn——

2

7T

(8)最值：当且仅当X=2就+万，>取最大值%ax=l；

当且仅当x=2版•+号，y取最小值为„,=一1。

(9)最小正周期：T=2兀

一般地，对于函数/(%),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

由此可知•••,-4肛一2肛2肛4肛…,2Qz■(左ez且左/0)都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数/(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫

做f(x)的最小正周期.

根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2版■(左ez且左W0)都是它的周期，

最小正周期是2万.

注意：

1.周期函数定义域xe",则必有x+Te",且若T>0,则定义域无上界；T<0则定义

域无下界；

2.“每一个值”只要有一个反例，则/(x)就不为周期函数;

3.T往往是多值的(如y=sinx中•••,—4肛—2肛2%,4肛…都是周期)周期T中最小的正数叫

做/(x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期)

5、余弦函数,=cosx,xeR的图像：

(1)定义域：R

(2)值域：[—1,1]

(3)奇偶性：偶函数

(4)单调递增区间：\2k7r-7i.2k7i\,keZ

(5)单调递减区间：\2k7r,2k7r+7i\k

IT

(6)对称中心：(k7T4—,0)

2

(7)对称轴：x=k/r

(8)最值：当且仅当x=2左肛)取最大值ymax=l；

当且仅当x=2br+肛y取最小值Ymin=-1。

(9)最小正周期：T=2兀・,

例题解析

一、正余弦函数的图像

【例1】画出下列函数在上的图象

(1)y=1+sinx(2)y=-cosx

【例2】利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的工的集合:

(1)sinx>—(2)cosx<—

22

,,sinx,sinx<cosx

【例3】定义函数/(x)=,根据函数的图像与性质填空：

cosx,sinx>cosx

⑴该函数的值域为；⑵当且仅当时，该函数取得最大值；

(3)该函数是以为最小正周期的周期函数；⑷当且仅当时，/(x)>0.

【例4】函数y=x+sin|%|,x£|-肛句的大致图像是().

ABCD

【巩固训练】

1.用五点作图法作函数y=1-cosX在［0,2»］上的图象

2.已知0〈％42乃,且sinxvcosx,则x的取值范围是().

3.函数y=—A>COSJT的部分图像是(

x37rI

4.同一坐标系中，函数丁=85(3+3)。€［0,2刈)的图像和直线丁=5的交点个数有一个

二、正余弦函数的定义域值域

1、正余弦函数的定义域

【例5】求下列函数的定义域

(1)y=A/SHI2X+lg(25-x2)(2)y=lg[cos(x----)+—](3)y=Jsinx+,=

'32V16-x2

【例6】(1)已知了(无)的定义域为［0,1),求/(cosx)的定义域;

(2)求函数y=lgsin(cos%)的定义域.

2、正余弦函数的值域与最值

【例7】(1)函数_y=sinx-J^cosx,xe-工，工]的值域是_________________.

_62)

(2)函数y=J5sinx-cosx,xe[0,的值域是.

【例8】已知函数/(x)=Gsin2尤+sinx-cosx,%e半"，求“力的最大值和最小值.

【例9】函数y=sin[x+?J+cos[x-\J的最大值、最小值分别为()

A.2,-2B.V3+1-V3-1

C.V2,-V2D,

22

【例10】求下列函数的值域：y=cos2x+sin----

44

【例11］求函数y=lg(sinx+cosx-sinxcosx+3)的定义域

■,।.八一一一口，，一小心sinxcosx

【例12］求下列函数的值域y=-------------------

1+sinx+cosx

【例13］求函数y=1—cosx的值域.

3+cos%

【巩固训练】

1.求函数的定义域，值域:

1)y=Igsinx2)>=2皿，

2.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域是.

3.求下列函数的定义域

(1)y-Jsinx-----；(2)y=Jcos冗+,25-犬

tanx

4.函数)=sin[g+x的最大值为

427r

5.函数y=-3sin2%-4cos%+4,%£[—的最大值______,此时x的值是

6.函数/(x)=Zsin?x+6cosx+3的最大值为.

7.求函数y=7-8cosx-2sin2X,XG的值域.

8.求函数y=sinxcosx+sin%+cos%的最小值.

9.求函数y=1—‘ms的值域.

3-cosx

10.若函数/(X)=2sin2X-2A/3sinxsin[x-：J能使得不等式|/(%)—机|<2在区间[O,£

上恒成立，则实数机的取值范围是.

11.若动直线尤=a与函数/(x)=sin龙和g(x)=cosx的图像分别交于两点，则的最大

值为.

12.对于函数/(%),在使了(%)之四成立的所有常数“中，我们把"的最大值称为函数/(x)的

"下确界"，则函数/(%)=sin?%—sin尤+esc?x-escx的"下确界”为-----

13.要在一个半径为R的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD,问应如何截取，并求出此

矩形的面积.

14.已知函数/(x)=Zsin?［：+XJ-QCOS2X,Xe■

(I)求/(x)的最大值和最小值；

(II)若不等式|/(x)-向＜2在xe上恒成立，求实数机的取值范围.

15.求函数y=(sinx-2)(cosx-2)的最大值和最小值.

三、正余弦函数的性质

1、正余弦函数的周期性

【例14］求下列函数的周期：

⑵y=5sinf^-^-x

【例151求下列函数的最小正周期.

(1)y=2sin^-3x)+1；

(2)y=-cos九+smjrcosx+—sinx；

22

x

(3)=sin4x-cos4x；(4)y=cosx(l+cosx)tan—.

【例16］求下列函数的周期：

JI

sin2x+sin(2x+—)

A./兀、.小、cos4x+sin4%

(1)v=--------------L；(2)y=2sin(x--)sinx；(3)y=-------------

712cos4x-sin4x

cos2x+cos(2x+—)

【例17】函数y=sin4%+cos2%的最小正周期为().

»兀

A.—B.一C.yrD.27r

42

【例18］证明函数g(x)=cosVx不是周期函数.

【巩固训练】

TT

1.在下列四个函数中，周期为一的偶函数为（）

2

A.y=2sin2xcos2xB.y=cos22x-sin22x

C.y=xsin2xD.y=cos2x-sin2x

2.函数y=sin4x+cos4x的最小正周期是

3.求函数y=|sin尤|的最小正周期.

4.函数y=sin2x-sin2x的最小正周期为.

5.函数/(%)=2sin15+x卜。+的最小正周期为

I2万

6.已知函数/(x)=/sin(2〃x+亍)的最小正周期为4万，则正实数a二

7.；”是函数丁=cos22ax-的最小正周期为"的()

A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2、正余弦函数的奇偶性与对称性

【例19】判断下列函数的奇偶性：

(1)y=smxcosx；(2)y=x2smx；

(3)y=lg(sinx+Vl+sin2x)•

【例20】(l)函数y=sin(2x+o)的图像关于y轴对称，贝!J夕=

(2)函数y=5cos(2x-。)为奇函数，贝!J6=

【例21](1)函数y=3sin(2x+1)的对称轴方程是

JI_

(2)若函数y=sin2x+acos2x的图像关于x=g•对称，贝UQ=

【巩固训练】

1.函数/(x)=Jl-sinx-Vl+sinx的奇偶性为.

2.函数y=3sin(2x+^)图像的一条离直线x=10最近的对称轴方程是

3.y=xsinx+x2cos2x是函数.

7T

3.若函数/■(x)=3sin(]—冰)—1,则/'(为是().

A.周期为1的奇函数B.周期为2的偶函数

C.周期为1的非奇非偶函数D.周期为2的非奇非偶函数.

4.判断下列函数的奇偶性

,、「，、1+sinx-cosx.44

(1)J(x)=-------------(2)j(%)=sinx-cosx+cos2x

1+sinx+cosx

3、正余弦函数的单调性

【例22】求列函数的单调增区间

71(3)y=gsin(?—g)jr

(1)y=cos2x(2)=2sin(--x)(4)y=—\sin(x+—)|-

【例23】求函数/(x)=log,

2

【例24】已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR.

(I)求函数/(x)的最小正周期；

yr37r

(II)求函数/(X)在区间上的最小值和最大值.

x++2sin[x+cos[x+]].

【例25】已知函数/⑴=1—Zsil?

求：(I)函数/(%)的最小正周期；(II)函数/(%)的单调增区间.

1

【例26】已矢口函数/(%)=cos?x+—兀)I,g(/%)\=11+—1si.nC2x.

2

(1)设x=Xo是函数y=/(x)图象的一条对称轴，求g(Xo)的值.(2)求函数/z(x)=/(%)+g(x)

的单调递增区间.

【巩固训练】

1.求下列函数的单调递增区间:

(1)y=3sin[7-2x]；

(2)y-2cos2x-t——

'I4

(3)y=|sinAj；(4)/(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,xeR.

2.函数y=2smx的单调增区间是().

TTTTTT37r

A.\2k?i-—.2k7i+—](kGZ)B.[2k7T+彳,2左〃+芸](左£Z)

C.[2k7r-7i,2kG(kGZ)D.[2左肛2左乃+乃](左wZ).

x

3.函数y=—sin—的单调递减区间是(）.

2

7T7TJT3乃

A.\kn---，左》+——](左GZ)B.[k7T-\——,kn-\---]（左eZ）

4444

C.[4左乃-兀,4k兀+万](左£Z)D.[4左乃+兀,4k兀+3乃]（左£Z）.

4.设函数/（%）=sin|二x一工|-2cos2巴+1.

468

(1)求/(%)的最小正周期;

A>rr

(2)若函数y=g(x)与y=/(x)的图像关于直线x=l对称，求当xe0,y时，y=g(x)的

最大值.

反思总结

三角函数是高中重要知识点，亦是高考中考查的热点内容，本章学习过程中学生应理解正弦、

余弦函数的概念以及会用“五点法”作图；掌握其奇偶性、单调性、值域及最值；其中对三角函数

图像的直观反映是学生研究三角函数及其性质的重要工具，对函数图像清晰而准确的掌握也为学生

在解题实践中提供了有力的工具。

课后练习

1、函数y=binx|-2sinx的值域为（）

A[-3丁]C.[0,3]D.[-3,0]

2、若函数y=sin（s+?-l的最小正周期为那么正数。的值是（）

A8B.4C.2DA

3、函数y=binx|的一个单调增区间是（）

4、函数sinx・|cosx|的最小正周期是.

5、函数/（x）=2sin3x+3卜in4H的最小正周期是

6、已知函数f(x)=(sinx+cosx)-|sinx-cosx\,f(x)的值域是

7、函数/（x）=|cosx|+|sinx|的最小正周期是

8、函数y=sm（x+：）的最小正周期为-----------'单调增区间为

9、在同一平面直角坐标系中，＞=（尤e[0,2兀]）的图象和直线y=的交点个数是（）

A0B.1C.2D.4

10、已知函数y=2sin(0x+e)(Ov°〈兀)为偶函数，其图象与直线y=2相邻的两个交点的横坐标分

别为王，马，且上一•二兀，贝4()

A.co=2,(p=—B.co=-^(p=—C.co=—,(p=—D.a>=2,<p=—

222244

IK/(%)是定义在火上的以3为周期的奇函数且/(2)=0,则方程/(x)=0在区间(0,6)内解的个

数的最小值是()

A2B.3C.4D.5

12、函数y=sins(G>0)在区间［0,1］上恰好有50个最大值，则。的取值范围是.

在区间m,。+引上的值工出现的次数不

13、函数y=5COS-“；1TLX—(kGN*)对于任意实数a,

4

少于4次且不多于8次，试求上的值.

14、已知函数/(x)=kinx-a|,a&R

⑴讨论函数/(X)的奇偶性

⑵求当了(X)取最大值时，自变量X的取值集合.

15、设函数/("小+高(.&,则於)()

A.在区间「生，上是增函数B.在区间

-兀，上是减函数

_36J2_

C.在区间「色，二］上是增函数D.在区间空］上是减函数

8436

16、设函数/(x)=sin3x+|sin3x|,则/(尤)为(）

A.周期函数，最小正周期为四B.周期函数，最小正周期为2

33

C.周期函数，最小正周期为2兀D.非周期函数

17、函数/(x)=sinx+2binx|,xe［0,2无］的图象与直线y=%有且仅有两个不同的交点，则上的取

值范围是

18、函数y=cos(sinx)的值域为

19、函数y=l-2sinx的值域是（）

A[-2,1]B[-1,3]C[0,1]D[-2,2]

20、根据正弦函数的图像得使不等式&+2sinxV0,xeR成立的x的取值集合为()

A[-斗,-勺

44B亨掌

C[--+2k7r,--+2k7i]D[-+2^,—+2^]

4444

21、函数y=3sin£-x)的单调递增区间是

22、函数y=sin^x在区间［0,*上恰好取得最大值，则实数r的取值范围是________.

3

23、设函数/(%)=25抽弓工+1),若对任意工£尺,都有/(%)W/(x)W/(%2)成立，则1%-引的最小值

()

A.4B.2C.lD.-

2

5

24、函数y=sin(2元+蓑TT)图-像的一条对称轴方程是()

.TT「7C_,TC__5»

Ax=----Bx=----C