2020-2021学年湖北省宜昌市九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年湖北省宜昌市九年级第一学期期末数学试卷

一、选择题：本大题共11个小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.以下四张扑克牌的图案，中心对称图形是()

▲触▲的OS♦♦工

2.将一元二次方程2尤2-l=3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是()

A.2,-3B.-2,-3C.2,-1D.-2,-1

3.下列事件是不可能事件的是()

A.任意画一个平行四边形，它是中心对称图形

B.李师傅买的彩票正好中奖

C.掷两次骰子，骰子的点数之积为14

D.翻开一本书，页码是奇数

4.关于尤的一元二次方程入2+2x+l=0有两个实根，则实数%的取值范围是()

A.kWlB.k<lC.且上WOD.%<1且上WO

5.在平面直角坐标系中，将点尸(4,3)绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是()

A.(4,-3)B.(-4,3)C.(3,4)D.(-4,-3)

6.将二次函数y=N+2x+l的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的

函数表达式是()

A.y=(x-1)2-2B.y=N+2C.y=(x-1)2+2D.y—(x+1)2+2

7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球

数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒

中,不断重复这一过程,共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球()

A.32个B.36个C.40个D.42个

8.如图，O。是四边形ABC。的外接圆，若/2。£>=120。，则NC的度数为(

D

w

A.130°B.120°C.60°D.150°

9.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒,

经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（）

A.y—2（1+无）2B.y=（2+x）2C.y=2+2x2D.y=（l+2x）2

10.如图，在△ABC中，/CAB=70：在同・・平面内，将△ABC绕点A旋转到夕C

A.30°B.35°C.40°D.50°

11.如图，抛物线yi=or2+bx+c与直线”=息+"7的交点为A(1,-3),B(6,1).当

A.l<x<6B.-3<x<lC.%<-3或无>1D.x<l或x>6

二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）

12.如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°,自

由转动转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是.

13.已知x=l是关于尤的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，则。的值是.

14.如图，将RtZkABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到Rtz\AOE,点8的对应点。

恰好落在BC边上.若A2=l,/B=60°,则CD的长为.

15.若点A(-2,口)，8(2,”)在如图所示的抛物线上，则yi,”的大小关系是

三、解答题(本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

16.解方程：x2+6x+8=0.

17.已知如图，扇形AOB的圆心角为120°,半径04为6c7".

(1)求扇形A0B的弧长和扇形面积；

(2)若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高0H.

18.如图，在平面直角坐标系尤Oy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,0),B(3,1),

C(1,3).

(1)按下列要求画图：

①将△A8C沿x轴向左平移2个单位长度，得到△AiBiCi,请画出△4B1C1；

②将△431G绕点。逆时针旋转90°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2.

(2)△BGC2是三角形，其外接圆的半径尺=

JA

19.901班召开“美丽宜昌”主题班会，准备随机选取1名主持人和两名介绍宜昌风光的学

生.班主任准备了“①号三峡大坝”、“②号三峡人家”、“③号清江画廊”、“④号

三峡大瀑布”四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同）.

（1）已知901班共有40名同学，请写出小明被选中为主持人的概率；

（2）小华和小丽被选中介绍宜昌风光，小华从四张照片中随机抽取一张，不放回；小丽

再从剩下的照片中随机抽取一张.请用树状图法求小华、小丽两人中恰好有一人抽中“①

号三峡大坝”的概率.

20.如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示.已

知/A=NO=90°,ZC=120°,其中A。、0c两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏

围成.设2C=x米，花圃的面积为y平方米.

（1）用含有无的代数式表示出DC的长；

（2）求这块花圃的最大面积.

21.Rt^ACB中，ZACB=90°,。为4B边上一点.。。经过点A,与AC,AB两边分别

交于点E,F,连接EF.

A

X_________XF\

\E

CBCD5

图1图2

（1）如图1,若NB=45°,AE=4,贝|AF=.

（2）如图2,A。平分NC4B,交C2于点。，。。经过点D

①求证：BC为。。的切线；

②若AE=6,。。的半径为5,求C。的长.

22.健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出A,8两种健康食品套餐，到

年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润1500万元.已知销售

一份A套餐可获利润20元，销售一份B套餐可获利润45元.

（1）用含。的代数式表示Ml；

（2）随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整.2017年，该公司将每份8套餐的

利润增加到100元，每份A套餐的利润不变.经核算，两种套餐在这一年的销售总量与

2016年相同，其中A套餐的销售量增加4，两种套餐的总利润增加760万元.

①求2017年每种套餐的销售量；

②由于2套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份3套

餐的利润在2017年的基础上增加x%,2019年在2018年的基础上又增加2%%.若B套

餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利2856万元，求x的值.

23.已知：O。是△A8C的外接圆，且窟=前，ZABC=60°,。为O。上一动点.

（1）如图1,若点。是窟的中点，求/O8A的度数.

（2）过点8作直线的垂线，垂足为点E.

①如图2,若点。在窟上，求证：CD=DE+AE.

②若点D在会上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求NA3Z）的最大

BBB

E

图1图2备用图

24.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，正方形A8C0的边04落在％轴上，0C

落在y轴上，OA—OC—2,已知直线/：y—x+k.

(1)填空：8(,)；当直线/与正方形A8CO没有交点时，人的取值范围是:；

(2)当上=0时，已知抛物线L：y—a(尤-wt)2+n(a<0)顶点P在直线/上，设抛物

线与直线/的另一个交点为过M作MN〃x轴交抛物线于另一点N,若MN=2,求。

的值；

(3)在(2)的条件下，抛物线工与边A8所在的直线交于点E.

①当点P向上运动的过程中，点E也随之向上运动，求此时机的取值范围，并写出点£

在最高位置时的坐标；

②若抛物线L与线段。4只有一个公共点，求相的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共11个小题，每小题3分，共33分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.以下四张扑克牌的图案，中心对称图形是（）

【分析】一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么

这个图形就叫做中心对称图形.根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

2.将一元二次方程2尤2-1=3尤化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（）

A.2,-3B.-2,-3C.2,-1D.-2,-1

【分析】根据一元二次方程的一般形式解答.

解：将一元二次方程2尤2-l=3x化为一般形式为：2x2-3x-1=0,其中二次项系数、一

次项系数分别是2,-3.

故选：A.

3.下列事件是不可能事件的是（）

A.任意画一个平行四边形，它是中心对称图形

B.李师傅买的彩票正好中奖

C.掷两次骰子，骰子的点数之积为14

D.翻开一本书，页码是奇数

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

解：A、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形，是必然事件;

8、李师傅买的彩票正好中奖，是随机事件；

C、掷两次骰子，骰子的点数之积为14,是不可能事件；

。、翻开一本书，页码是奇数，是随机事件；

故选：C.

4.关于龙的一元二次方程区2+2x+l=0有两个实根，则实数左的取值范围是()

A.0B.k<\C.左W1且4WOD.%<1且

【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△>(),即可得出关于k的一元一次不等式组,

解之即可得出结论.

解：；关于尤的一元二次方程fcc2+2x+l=0有两个实根，

,卜卢0

e，<.A=22-4k>0，

解得：且左W0.

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，将点尸(4,3)绕原点旋转180。后，得到对应点。的坐标是()

A.(4,-3)B.(-4,3)C.(3,4)D.(-4,-3)

【分析】根据题意可得，点尸和点P的对应点。关于原点对称，据此求出。的坐标即可.

解：•••将点P(4,3)绕原点。旋转180。后，得到的对应点。，

...点。和点尸关于原点对称，

:点尸的坐标为(4,3),

...点Q的坐标是(-4,-3).

故选：D.

6.将二次函数y=N+2尤+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的

函数表达式是()

A.y—(x-1)2-2B.y—x2+2C.y=(尤-1)2+2D.y=(x+1)2+2

【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据平移的单位可得新抛物线的解

析式.

解：y=x2+2x+l变为：y=(x+1)2,向右平移1个单位得到的函数的解析式为：y=(尤+1

-1)2,

即y=N,再向上平移2个单位后，所得图象的函数的解析式为y=x2+2,

故选：B.

7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球

数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒

中,不断重复这一过程,共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）

A.32个B.36个C.40个D.42个

【分析】可根据“黑球数量小黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑

白球总数=黑球个数+白球个数“，”黑球所占比例=随机摸到的黑球次数小总共摸球的

次数”.

解：设盒子里有白球无个，

黑球个数一摸到黑球次数

根据小球总数一摸球总次数待

8_80

x+8400

解得：尤=32.

经检验得x=32是方程的解.

答：盒中大约有白球32个.

故选：A.

8.如图，O。是四边形的外接圆，若,则/C的度数为（）

A.130°B.120°C.60°D.150°

【分析】根据圆周角定理和已知条件求出/4=//2。。=60。，根据圆内接四边形得

出NA+NC=180°,再求出答案即可.

解：V120",

.•./4=工/8。。=60。（圆周角定理）,

2

：O。是四边形ABCD的外接圆，

AZA+ZC=180°,

.•.ZC=180°-60°=120°,

故选：B.

9.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒,

经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为()

A.y=2(1+无)2B.y=(2+x)2C.y—2+2x2D.y—(l+2x)2

【分析】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种

传染病，即可得出y与x的函数关系式.

解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y=2+2x+(2+2x)尤=2(1+无)2.

故选：A.

10.如图，在△ABC中，ZCAB=70°.在同一平面内，将△A8C绕点A旋转到△AB，C

A.30°B.35°C.40°D.50°

【分析】旋转中心为点A,B与次，C与。分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋

转角/BAB，=NCAC',AC^AC,再利用平行线的性质得NCCA^ZCAB,把问

题转化到等腰中，根据内角和定理求NCAC'.

解：,/CC//AB,NCAB=70°,

：.ZCCA=/CAB=70°,

又：C、C为对应点，点A为旋转中心，

J.AC^AC,即△ACC'为等腰三角形，

：.ZBAB'=NCA。=180°-2ZCCA=40°.

故选：C.

11.如图，抛物线yi=ox2+bx+c与直线＞2=丘+，〃的交点为A(1,-3),B(6,1).当

A.l<x<6B.-3<x<lC.%<-3或%>1D.xVl或%>6

【分析】根据两函数的图象和A、8的坐标得出即可.

解：，・,二次函数州=〃%2+析+。与一次函数,2="+徵的交点A、8的坐标分别为（1,-3）、

（6,1）,

，当%>”时，力的取值范围是或x>6,

故选：D.

二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）

12.如图所示的转盘中，红、黄、蓝三色扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°,自

由转动转盘，当转盘停止后，指针落在黄色区域的概率是

【分析】用黄色区域的圆心角的度数除以360。得到指针落在黄色区域的概率.

解：指针落在黄色区域的概率=患=].

3604

故答案为：4-

4

13.已知x=l是关于x的一元二次方程N+2x+a=0的一个根，则a的值是-3.

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=l代入关于x的一元二次方程无2+2x+a=0,

列出关于a的方程，通过解该方程求得。值即可.

解：：尤=1是关于尤的一元二次方程N+2x+a=0的一个根，

.,.X—1满足关于尤的一元二次方程x2+2x+a=0,

.•.12+2Xl+a=0,即l+2+a=0,

解得，a=-3；

故答案是：-3.

14.如图，将Rt^ABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到RtaAOE,点B的对应点。

恰好落在8C边上.若A8=l,NB=60°,则。的长为1.

E

W\

c60^5

【分析】易证△A3。是等边三角形，再通过证明NC=NCAD=3O°,从而有AO=C。

=1,

解：・・•将RtAABC绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到RtAADE,

：.AD=ABf

VZB=60°,

：.AABD是等边三角形，

：.AD=BD=AB=1,ZADB=60°,

VZCAB=90°,ZB=60°,

—30°,

：.ZC=ZCAD=3O°,

：.AD=CD=1,

故答案为：1.

15.若点A(-2,州)，3(2,”)在如图所示的抛物线上，贝U刀，”的大小关系是yi

>y2.

【分析】根据抛物线的对称性得出”=0,观察图象得到yi>0,即可得到yi>”.

解：•..抛物线经过原点，对称轴为直线尤=1,

二抛物线过点(2,0),

当尤=2时，y=0,

由图象可知，当x=-2时，j>0；

；・yi>y2・

故答案为

三、解答题（本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16.解方程：N+6X+8=。.

【分析】先把方程左边进行因式分解得到（x+2）（%+4）=0,然后解一元一次方程即可.

解：Vx2+6x+8=0,

（%+2）（x+4）=0,

.*.x+2=0或x+4=0,

・・x\~~-2,X2~~-4.

17.已知如图，扇形A03的圆心角为120。，半径04为6aH.

（1）求扇形A05的弧长和扇形面积；

（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高0”.

【分析】（1）根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解；

（2）设圆锥底面圆的半径为r,根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于

圆锥底面的周长得到2叱=4皿解得〃=2,然后根据勾股定理计算O”.

解：（1）扇形492的弧长=I2。'/哨=41T（cm）

180

2

扇形ACB的扇形面积=I"」'兀'6=12TT（cm2）；

360

（2）如图，设圆锥底面圆的半径为心

所以2irr=4TT,解得r=2,

在中，HC=2,0C=6,

所以0H=«℃2_皿2=4y/^(cm).

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，ZsABC的三个顶点坐标分别为A（2,0）,B（3,1）,

C(1,3).

（1）按下列要求画图：

①将△ABC沿尤轴向左平移2个单位长度，得到△AiBiCi,请画出△4B1C1；

②将△4B1G绕点。逆时针旋转90°,得到△A2&C2,请画出△A2&C2.

（2）48c△是等腰直角三角形,其外接圆的半径7?=_百5_.

【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点4、Bi、G的位置，然

后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点Ci的坐标；②根据网格结构找出点3、

G绕点4逆时针旋转90°后的对应点&、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面

直角坐标系写出点C2的坐标.

（2）结合（1）根据网格可得BG=CIC2,ZBCIC2=90°,可得△8C1C2是等腰直角三

角形，其外接圆的半径是斜边上的中线，根据勾股定理即可得结果.

解：（1）①如图△481G即为所画.

②如图△A2&C2即为所画.

（2）484C2为等腰直角三角形,

其外接圆的半径为6.

19.901班召开“美丽宜昌”主题班会，准备随机选取1名主持人和两名介绍宜昌风光的学

生.班主任准备了“①号三峡大坝”、“②号三峡人家”、“③号清江画廊”、“④号

三峡大瀑布”四处景点的照片各一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同）.

（1）已知901班共有40名同学，请写出小明被选中为主持人的概率；

（2）小华和小丽被选中介绍宜昌风光，小华从四张照片中随机抽取一张，不放回；小丽

再从剩下的照片中随机抽取一张.请用树状图法求小华、小丽两人中恰好有一人抽中“①

号三峡大坝”的概率.

【分析】（1）直接利用班级人数即可得出小明被选中为主持人的概率；

（2）利用树状图展示12种等可能的结果数，从中找到小华、小丽两人中恰好有一人抽

中”①号三峡大坝”的结果数，根据概率公式计算可得.

解：（1）：901班共有40名同学，准备选取1名主持人，

.,.小明被选中为主持人的概率为：

40

（2）画树状图为:

共有12种等可能的结果数，其中其中小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”

的结果数有6种，

所以小华、小丽两人中恰好有一人介绍“①号三峡大坝”的概率为义.

20.如图，某小区为美化生活环境，拟在一块空地上修建一个花圃，花圃形状如图所示.已

知NA=ND=90°,/C=120。，其中A。、0c两边靠墙，另外两边由20米长的栅栏

围成.设8C=x米，花圃的面积为y平方米.

（1）用含有x的代数式表示出。C的长；

（2）求这块花圃的最大面积.

B

【分析】（1）过点C作CHLAB于H,用含X的式子表示8”，再由A8-BH即可得到

C。的长；

（2）用含x的式子表示出四边形ABC。的面积，根据二次函数的性质即可得出四边形的

面积的最大值.

解：（1）过点C作CHLA8于点H,

则四边形AOCW为矩形,

:./HCB=30°,

在中，卷X，CH冬

•••DC=(20-1"x)米.

x>0

（2）依题意有:20-1x>0,

解得：

:四边形ABC。是梯形,

y=（20—1-x+20-x）x^XX2+10>/3

乙ZZo

该二次函数的对称轴为：x=」=&且开口向下，

当尤=8时，ymax=40«,

花圃的面积的最大值为40y平方米.

21.RtZXACB中，ZACB=90°,。为AB边上一点.。。经过点A,与AC,AB两边分别

交于点E,F,连接EF.

A

三cB」cDB

图1图2

(1)如图1,若NB=45。,AE=4,贝(AE=4血.

(2)如图2,平分NC4B,交CB于点。，。。经过点D

①求证：8C为。。的切线；

②若AE=6,。。的半径为5,求8的长.

【分析】(1)证明是等腰直角三角形可得结论.

(2)①连接0D,欲证明BC是切线，只要证明。OLBC.

②过。作OGLAC于点G.证明四边形四边形GCD。为矩形，求出OG,可得结论.

图1

VAF是直径，

ZA£F=90°,

VZACB=90°,

/AEF=ZACB,

J.EF//CB,

；.NAFE=NB=45°,

AAA£F是等腰直角三角形,

：.AF=MAE=4近

故答案为：V2.

(2)①证明：如图2中，连接0D

：.ZDAO=ZODA,

VAD平分NCAB,

：.ZCAD=ZDAFf

：.ZCAD=ZODA,

J.AC//OD,

：.ZODB=ZACB,

又•・,NACB=90°,

：.ZODB=90°,

C.ODLBC,

又是OO的半径,

・・・5C为OO的切线.

②解：如图2中，过。作OGLAC于点G.

由垂径定理，得：AG=EG,

又,；AE=6,

：.AG=3,

・.・OG_LAC,

AZAGO=ZOGC=90°,

在RtZXAGO中，由勾股定理，得：AG2+GO2=AO2,

・・・。0的半径为5,

.*.AO=5,

：.y+GO2=52,

：.GO=4,

:ZOGC=ZACB=/ODB=90°,

四边形GCDO为矩形，

:.CD=OG=4.

22.健康食品越来越受到人们的青睐，某公司在2016年推出A,8两种健康食品套餐，到

年底共卖出m万份，其中A套餐卖出a万份，两种套餐共获利润1500万元.已知销售

一份A套餐可获利润20元，销售一份B套餐可获利润45元.

(1)用含a的代数式表示m；

(2)随着市场需求不断变化，经营策略也随之调整.2017年，该公司将每份B套餐的

利润增加到100元，每份A套餐的利润不变.经核算，两种套餐在这一年的销售总量与

2016年相同，其中A套餐的销售量增加4，两种套餐的总利润增加760万元.

①求2017年每种套餐的销售量；

②由于B套餐的需求量逐年上涨，而原材料供应不足，因此，2018年该公司将每份B套

餐的利润在2017年的基础上增加尤％,2019年在2018年的基础上又增加2x%.若B套

餐在近三年销售量不变的情况下，仅2019年一年就获利2856万元，求x的值.

【分析】(1)根据总利润=1500万元列出方程，并解答；

(2)①依题意得2017年A项套餐销售量为Ci4)a=^万份，B项套餐销售量为

万份，根据题意列出方程组并解答；

②2017年B项套餐每份盈利100元，2018年8项套餐每份盈利100(1+x%)元，2019

年B项套餐每份盈利100(1+x%)(1+2尤％)元，所以根据题意得：100(l+x%)(1+2尤％)

X17=2856.解方程即可.

解：(1)根据题意知，45(m-a)=1500-20a,

r-r,q300+5aZ-P.1005、

所以~7_(或1丁看7a)；

yoy

(2)①依题意得2017年A项套餐销售量为(1卷)a年万份，B项套餐销售量为

<20a+45(m-a)=1500

根据题意得:14

20X(1+^-a)+100(m^a)=2260

oO

[a=21

解得

lm=45

所以2017年A项套餐销售量为餐=28(万份).

3

2017年8项套餐销售量为(m-ya)=17(万份)；

②依题意可知,

2017年B项套餐每份盈利100元，

2018年5项套餐每份盈利100(1+尤％)元，

2019年8项套餐每份盈利100(1+x%)(l+2x%)元，

所以根据题意得：100(1+x%)(l+2x%)X17=2856.

设尤％=»则100(l+y)(l+2y)X17=2856.

解得力=0.2/=-1.7(不符合题意，舍去).

，x=20.

23.已知：是△ABC的外接圆，且窟=箴，ZABC=60°,。为上一动点.

(1)如图1,若点。是源的中点，求的度数.

(2)过点8作直线的垂线，垂足为点E.

①如图2,若点。在窟上，求证：CD=DE+AE.

②若点D在蓝上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求的最大

【分析】(1)证明AABC是等边三角形，再证明NACD=30°,可得结论.

(2)①过8作BH_LC£)于点H,则/8”C=/8"。=90°.证明△8EAg△B”C(A4S),

推出EA=CH,证明RtABED且RtZXBZ汨(上?)，推出。可得结论.

②连接BO并延长OO交于点I,则点D在才上.证明此时满足CD=DE+AE,当点D

运动到点/时取得最大值，此时NA2Z)=30°.

解：（1）如图1中，连接8D.

图1

.*****■'■'

•AB=BC，

\ZBCA=ZBAC,

：ZABC=6Q°,

\ZBCA=60°,

是窟的中点，

\ZDCA=30°,

*'AD4B

\ZDBA=ZDCA=30°.

(2)①过3作8”_LCQ于点H,则N3HC=NBHO=90°.

：.ZBED=90°,

・•・ZBED=ZBHC=NBHD,

又丁俞二前

NBAE=NBCH,

­AB=BO

：.BA=BCf

:•△BEAQWHC(AAS),

:,EA=CH,

又:四边形AC3Q是。。的内接四边形,

：.ZBDE=ZBCAf

又二窟二底，

：.ZBCA=ZBDC,

：・/BDE=/BDC,

又NBED=/BHD=90°,BD=BD,

：.Rt/\BED^RtABDH(HL),

:・DE=DH,

：.DC=DH+HC=DE+AE.

（2）②连接50并延长。0交于点/,则点。在言上.

如图：过5作于点〃，

则N8HC=90°,ZBHD=90°,

又・・，BE_LAD于点E,

：.ZBED=90°,

・・・ZBED=NBHC=NBHD,

又・・•四边形ABC。是O。的内接四边形,

:・NBAE=NBCD,

又••场球，

：.BA=BCf

:•△BEAQXBCH(A4S)

:・EA=EH,

7AB=BO

：.ZBDA=ZBDC,

又BD=BD.ZBED=ZBHD=90°,

RtAB££)^RtABH£>(HL)

：.ED=HD,

：.CD=HD+HC=DE+AE,

/是(DO直径，

AB=BO

...5/垂直平分AC