第六讲公理化思想及构成公理化体系的要求

欧几里得与《原本》Euclid（about325BC-about265BC）1《几何原本》欧几里得（EuclidofAlexandria;约公元前330

公元前275）欧几里得的《几何原本》是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。234公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。5公理体系定义公设、公理命題定义命題定义命題命題命題6公理体系的完善希尔伯特（DavidHilbert;1862

1943）1899年发表著名的《几何基础》一书。引入了20条公理和6个不加解释的定义，建立起新的几何公理体系。7公理体系的完善6个不加解释的定义包括：

「点」、「线」、「面」、

「通过」、「在…之间」、「相等」20条公理分成5組：关联公理（I.18）、順序公理（II.14）、合同公理（III.15）、平行公理（IV.）、

联系公理（V.12）希尔伯特同时提出选择公理体系的原則：相容性、独立性、完备性8对《几何原本》的批评书中有部分的定义不清晰，阅读后反而令人更迷惘。在论证过程之中，欧几里得使用了一些公理系统未有提及的假設。对第5公设的怀疑。9第五公设（平行公设）第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到卷Ⅰ命题29才不得不使用它。10对第五公设的证明历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密（约公元150），后来普洛克鲁斯指出托勒密的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。替代公设：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。11几何原理中的家丑从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。18世纪中叶，达朗贝尔把平行公设的证明问题称为“几何原理中的家丑”。12萨凯里首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是与平行公设等价的。1763年，德国数学家克吕格尔（G.S.Klugel）在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一位对平行公设是否可以由其它公设加以证明表示怀疑的数学家。13高斯建立非欧几何最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。但高斯没有发表过任何有关非欧几何的文章，只在跟朋友的一些通信中提及，他在给一位朋友的信中说：“如果公布自己的这些发现，‘黄蜂就会围着耳朵飞’，并会‘引起波哀提亚人的叫嚣’”。

14勇敢的罗巴切夫斯基在非欧几何的三位发明人中，罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也最坚定地宣传和捍卫自己的新思想。他于1826年在喀山大学发表了演讲“简要论述平行线定理的一个严格证明”，而后又于1829年发表了《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献，但由于是用俄文发表在《喀山通讯》上的而未引起数学界的重视。15勇敢的罗巴切夫斯基1840年用德文出版的《平行理论的几何研究》引起高斯的关注，这使他在1842年成为德国哥廷根科学协会会员。面对种种攻击，罗巴切夫斯基表现得比高斯更有勇气。一直到1855年，当他已是一位双目失明的老人时，还口述发表了著作《泛几何学》，坚信自己新几何学的正确性。同一平面上的任何两条直线一定相交三角形内角和小于180度16非欧几何的发展与确认德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何学----黎曼几何。(同一平面上的任何两条直线一定相交)