人教版八年级数学上册第12章《全等三角形》检测卷（带答案）

人教版八年级数学上册

第12章《全等三角形》测试卷（带答案）

一'选择题

1.如图，在4ABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为（1,«）,则点

C的坐标为（）

A.（-«,1）B.（-1,V3）C.（瓜1）D.（-73，-D

3.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示

某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）

4.如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且

AB=BC=5.若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E两点在y

轴上，则F点到y轴的距离为何？（）

5.平面上有4ACD与^BCE,其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

ZACE=55°,ZBCD=155°,则NBPD的度数为（）

6.如图，在AABC和4BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,则NACB等于（）

A.NEDBB.NBEDC.—ZAFBD.2NABF

2

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=

,作EFLDE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关

于x的函数解析式是（

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,点M、N分别在AB、

AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、

EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为

()

A.4B.-7a2C.1a2D.4

3499

二'解答题(共21小题)

10.如图,已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的长；

(2)求证：△ABFgZWEC；

(3)求证：四边形BCEF是矩形.

E

■D

11.已知aABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在DC

两侧作等边aDCE和等边4DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接

AE、BF

（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数

量关系？并证明你的结论；

（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关

系？请直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、

BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

12.如图，ZXABC与4DCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求证：AABE^DCE；

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数？

13.如图，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DE_LAB于点E.

(1)求证：ZXACD丝Z\AED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的长.

14.如图，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证：AD=AE.

A

BDEC

15.已知:如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB/7CD.

求证：AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C

旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,延

长CF与DG交于点H.

(1)求证:CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB//ED,AC〃FD,求证：AC二DF.

18.如图，Z\ABC和AADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,D在同一

条直线上.求证：BD=CE.

RCD

19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB/7DE,ZA=ZD.求证：AB=DE.

20.已知aABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点

P在4ABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP绕点B

顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在4ABC内部时，

①0A=0B是否成立？请说明理由；

②直接写出NBPC为多少度时，AB=DE.

21.(1)如图1,在AABC和4DCE中，AB〃DC,AB=DC,BC=CE,且点B,C,E在一条直线

上.求证：NA=ND.

(2)如图2,在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的长.

22.(1)如图，AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

(2)列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺

25本，这个班有多少学生？

D

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求证：BC=AE.

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全

等的判定方法（即“HL"）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相

等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在4ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，

对NB进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，AABC丝Z\DEF.

(1)如图①，在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根据,可以知道Rt

△ABC丝RtZXDEF.

第二种情况：当NB是钝角时，^ABC且ZkDEF.

(2)如图②，在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是钝角，求证：

△ABC^ADEF.

第三种情况：当NB是锐角时，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规在图

③中作出ADEF,使4DEF和aABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使aABC丝ADEF?请直接写出结论：在aABC和4DEF

中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，若,则△ABC丝ZXDEF.

25.问题背景:

如图1:在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120",ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,CD

上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE丝Z\ADG,

再证明4AEF丝4AGF,可得出结论，他的结论应是______；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=

yZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用:

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥

中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向

正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度

前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为

70°,试求此时两舰艇之间的距离.

26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于0点，0C=0A,若E是CD上

任意一点，连接BE交AC于点F,连接DF.

(1)证明：4CBFgZ\CDF；

(2)若AC=2«,BD=2,求四边形ABCD的周长；

(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.

D

27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证:

AE=CF.

28.(1)如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD±,NEAF=45°,延长CD到

点G,使DG=BE,连结EF,AG.求证：EF=FG.

(2)如图，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且NMAN=45°,

若BM=1,CN=3,求MN的长.

29.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD_LAB交BE的

延长线于点D,CG平分NACB交BD于点G,F为AB边上一点，连接CF,且NACF=NCBG.求

证：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

30.如图，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180°,ZiABC不动，AADE

绕点A旋转，连接BE、CD,F为BE的中点，连接AF.

(1)如图①，当NBAE=90°时，求证：CD=2AF；

(2)当NBAE丰90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由.

BCB

图①图②

参考答案

一'选择题（共9小题）

1.如图，SAABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，贝I]BF的长是（）

【解答】解：：F是高AD和BE的交点，

NADC=ZADB=ZAEF=90°,

/.ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

■/ZAFE=ZBFD,

/.ZCAD=ZFBD,

---ZADB=90°,NABC=45°,

/.ZBAD=45°=NABD,

.,.AD=BD,

在4DBF和4DAC中

'NFBD=NCAD

<DB=AD

ZFDB=ZCDA

.,.△DBF^ADAC(ASA),

.".BF=AC=8cm,

故选C.

2.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，。是原点，A的坐标为（1,73）,则点

C的坐标为（）

A.（-73，1）B.（-1,V3）C.（«,1）D.（-73，-1）

【解答】解：如图，过点A作AD_Lx轴于D,过点C作CE_Lx轴于E,

:四边形OABC是正方形,

，OA=OC,ZA0C=90°,

ZC0E+ZA0D=90°,

又；N0AD+NA0D=90°,

Z0AD=ZC0E,

在AAOD和aOCE中，

'/OAD=/COE

<NADO=NOEC=90°,

OA=OC

.,.△AOD^AOCE(AAS),

.•.OE=AD=«,CE=OD=1,

•••点C在第二象限，

•••点C的坐标为(-如,1).

故选：A.

3.（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中

的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的

行进路线图是（）

H

65。367°

65。

70°

VZCAB=ZEDB=45°,

・・・AS〃ED,贝l]SC〃DE.

同理SE/7CD,

・•・四边形SCDE是平行四边形,

・・・SE=CD,DE=CS,

即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延长AF、BH交于作FK〃GH与BH的延长线交于点K,

•・・NSAB=NSiAB=45°,NSBA=NS|BA=70°,AB=AB,

ASAB^AS^B,

/.AS=AS15BS=BSn

VZFGH=180°-70°-43°=67°=ZGHB,

・・・FG〃KH,

VFK//GH,

・•・四边形FGHK是平行四边形,

/.FK=GH,FG=KH,

AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

VFS1+S1K>FK,

/.AS+BS>AF+FK+KH+HB,

C、D、同理可证得AI+IK+KM+MBVASz+BSzVAN+NQ+QP+PB.

综上所述，D选项的所走的线路最长.

故选：D.

4.如图，坐标平面上，AABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F,且

AB二BC=5.若A点的坐标为（-3,1）,B、C两点在方程式y=-3的图形上，D、E两点在y

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P.

ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

,/AB=BC,

ZBAC=ZBCA.

在AAKC和aCHA中

"ZAKC=ZCHA

<AC=CA,

ZBAC=ZBCA

.,.△AKC^ACHA(ASA),

.,.KC=HA.

••・B、C两点在方程式y=-3的图形上，且A点的坐标为(-3,1),

.,.AH=4.

；.KC=4.

,/△ABC^ADEF,

ZBAC=ZEDF,AC=DF.

在AAKC和4DPF中，

'NAKC=NDPF

•NBAC=NEDF,

AC=DF

.,.△AKC^ADPF(AAS),

.,.KC=PF=4.

5.平面上有4ACD与^BCE,其中AD与BE相交于P点，如图.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

【解答】解:在4ACD和4BCE中,

"AC=BC

<CD=CE,

AD=BE

.,.△ACD^ABCE(SSS),

ZA=ZB,ZBCE=ZACD,

ZBCA=ZECD,

ZACE=55°,ZBCD=155°,

ZBCA+ZECD=100",

ZBCA=ZECD=50°,

ZACE=55",

ZACD=105°

ZA+ZD=75",

NB+ND=75°,

ZBCD=155°,

/.ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故选：C.

6.如图，在△ABC和ABDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,则NACB等于(

C.—ZAFBD.2NABF

2

【解答】解:在ZkABC和ADEB中,

rAC=BD

<AB=ED,

BC=BE

.,.△ABC^ADEB(SSS),

/.ZACB=ZDBE.

••.NAFB是4BFC的外角,

ZACB+ZDBE=ZAFB,

ZACB=yZAFB,

故选：C.

7.如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=

《OB,作EF，DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关

于x的函数解析式是（）

【解答】解：作FGLBC于G,

•.,ZDEB+ZFEC=90",NDEB+NBDE=90°；

NBDE=NFEG,

在4DBE与4EGF中

'NB=NFGE

<ZBDE=ZFEG

DE=EF

.,.△DBE^AEGF,

.,.EG=DB,FG=BE=x,

.,.EG=DB=2BE=2x,

GC=y-3x,

•/FG±BC,AB±BC,

・・・FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

xy-3x

即BnT-----，

4y

12x

-

--y=x-4T.

故选：A.

8.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,点M、N分别在AB、

AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2,则tanNMCN=()

A3百2&2Mr-

13119

【解答】解:,.'AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,

.,.AM=AN=2,BM=DN=4,

连接MN,连接AC,

•.•AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°

在RtAABC与RtAADC中，

[AB=AD

1AC=AC,

.,.RtAABC^RtAADC(HL)

ZBAC=ZDAC=yZBAD=30°,MC=NC,

.,.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

>'-BC=2A/3»

在RtABMC中,CM=VBM2+BC2=742+(2V3)2=2VT-

,.,AN=AM,ZMAN=60°,

.'.△MAN是等边三角形，

.,.MN=AM=AN=2,

过M点作ME_LCN于E,设NE=x,则CE=^/7-x,

.■.MN2-NE2=MC2-EC2,即4-XJ(2V7)(277-x)2,

解得：x=乎,

.'.EC=2V7-氏1377

77'

ME~A/MN2-

..."MCN器等

故选:A.

9.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、

EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为

()

A.4a2B.a20.1a2D.4

3499

【解答】解：过E作EPLBC于点P,EQLCD于点Q,

G

A

P\

.・.四边形ABCD是正方形,

/.ZBCD=90°,

/.ZPEQ=90°,

ZPEM+ZMEQ=90°,

.「三角形FEG是直角三角形，

ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,

ZPEM=ZNEQ,

「AC是NBCD的角平分线，NEPC二NEQC=90°,

・・.EP=EQ,四边形PCQE是正方形，

在AEPM和AEON中，

'NPEM=NNEQ

<EP=EQ,

NEPM二NEQN

/.△EPM^AEQN(ASA)

•，SAEQN-S^EPM，

,二四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积,

.・.正方形ABCD的边长为a,

•/EC=2AE,

.,.EC=-^^a,

3

2

・・.EP=PO|a,

.二正方形PCQE的面积X-1"a=

d

・・・四边形EMCN的面积言az,

故选:D.

二、解答题(共21小题)

10.如图，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的长；

(2)求证：ZXABF丝ZXDEC；

(3)求证：四边形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：••,NCEF=90°.

..cosZECF-------.

CF

•.,ZECF=30",CF=8.

.•.CF=CF・cos30°=8X2ZI=4遂；

(2)证明：；AB〃DE,

NA=ND,

,■,fiAABF和Z\DEC中

'AB=DE

<ZA=ZD

,AF=DC

.,.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)证明：由(2)可知：4ABF咨

.,.BF=CE,ZAFB=ZDCE,

■.,ZAFB+ZBFC=180°,ZDCE+ZECF=180°,

ZBFC=ZECF,

；.BF〃EC,

二.四边形BCEF是平行四边形，

ZCEF=90°,

四边形BCEF是矩形.

11.已知AABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC,以DC为边在DC

两侧作等边4DCE和等边4DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接

AE、BF

（1）如图1,若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数

量关系？并证明你的结论；

（2）如图2,若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关

系？请直接写出结论（不需要证明）；

（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、

BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）

【解答】解：(1)AE+BF=AB,如图1,

".'△ABC和4DCF是等边三角形，

.,.CA=CB,CD=CF,ZACB=ZDCF=60°.

NACD=NBCF,

在AACD和ABCF中

"CA=CB

-ZACD=ZBCF

CD=CF

.,.△ACD^ABCF(SAS)

.,.AD=BF

同理：△CBDgACAE(SAS)

.,.BD=AE

.-.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如图2,易证△CBFgZ\CAD和4CBD义Z\CAE,

.,.AD=BF,BD=AE,

.,.BF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如图3,易证4CBF出Z\CAD和4CBD丝ZXCAE,

.-.AD=BF,BD=AE,

/.BF-AE=AD-BD=AB.

12.(2013•舟山)如图，Z\ABC与ADCB中，AC与BD交于点E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求证：ZkABE丝DCE；

(2)当NAEB=50°,求NEBC的度数？

D

【解答】(1)证明：•••在4ABE和4DCE中

'NA二ND

<ZAEB=ZDEC

AB=DC

.,.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：-.'△ABE^ADCE,

.,.BE=EC,

ZEBC=ZECB,

NEBC+NECB=NAEB=50°,

ZEBC=25°.

13.如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于点D,过点D作DELAB于点E.

(1)求证：Z\ACD&Z\AED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的长.

【解答】（1）证明：:AD平分NCAB,DE±AB,NC=90°,

.,.CD=ED,ZDEA=ZC=90°,

•..在RtAACD和RtAAED中

[AD=AD

lCD=DE

/.RtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解:,.,DC=DE=1,DE±AB,

ZDEB=90°,

ZB=30°,

.,.BD=2DE=2.

14.如图，点D,E在aABC的边BC上，AB=AC,BD=CE.求证:AD=AE.

r.ZB=ZC,

在AABD与AACE中，

'AB=AC

•••<ZB=ZC,

BD=EC

「.△ABD丝△ACE(SAS),

.,.AD=AE.

15.已知:如图，AD,BC相交于点0,0A=0D,AB〃CD.

求证:AB=CD.

【解答】证明：.；AB〃CD,

ZB=ZC,NA=ND,

•.•在△AOB?nAD0C中,

"B=NC

-ZA=ZD,

OA=OD

」.△AOB丝△DOC(AAS),

.,.AB=CD.

16.如图，把一个直角三角形ACB(ZACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C

旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别是BD,BE上的点，BF=BG,延

长CF与DG交于点H.

(1)求证:CF=DG；

(2)求出NFHG的度数.

【解答】(1)证明：：在4CBF和4DBG中,

'BC=BD

-ZCBF=ZDBG,

BF=BG

.,.△CBF^ADBG(SAS),

；.CF=DG；

(2)解：'.•△CBF^ADBG,

ZBCF=ZBDG,

又丫ZCFB=ZDFH,

又,:△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-NCFB,

△DHF中，ZDHF=180°-ZBDG-NDFH,

...NDHF=NCBF=60°,

ZFHG=1800-ZDHF=180°-60°=120°.

17.如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,AC〃FD,求证：AC=DF.

；.FB+FC=CE+FC,

.,.BC=EF,

；AB〃ED,AC〃FD,

/.ZB=ZE,ZACB=ZDFE,

,.,fiAABC和2XDEF中，

'/B=NE

-BC=EF,

ZACB=ZDFE

.'.△ABC^ADEF(ASA),

；.AC=DF.

18.如图，Z^ABC和4ADE都是等腰三角形，且ZBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同一

条直线上.求证：BD=CE.

【解答】证明：:△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

.,.AD=AE,AB=AC,

又；NEAC=90°+ZCAD,NDAB=90°+NCAD,

ZDAB=ZEAC,

,在AADB和AAEC中

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.'.△ADB^AAEC(SAS),

.,.BD=CE.

19.如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF,AB/7DE,NA=ND.求证：AB=DE.

【解答】证明：：BE=CF,，BC=EF.

；AB〃DE,ZB=ZDEF.

在AABC与ADEF中，

fZA=ZD

，ZB=ZDEF,

BC=EF

.,.△ABC^ADEF(AAS),

.,.AB=DE.

20.已知AABC为等腰直角三角形，NACB=90°,点P在BC边上(P不与B、C重合)或点

P在AABC内部，连接CP、BP,将CP绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE；将BP绕点B

顺时针旋转90°,得到线段BD,连接ED交AB于点0.

(1)如图a,当点P在BC边上时，求证：0A=0B；

(2)如图b,当点P在4ABC内部时,

①0A=0B是否成立？请说明理由；

②直接写出NBPC为多少度时，AB=DE.

A

D

OD

图

【解答】(1)证明：•；△ABC为等腰直角三角形,

.,.CA=CB,NA=NABC=45°,

由旋转可知：CP=CE,BP=BD,

.■.CA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

.'.AE=BD.

又•.•NCBD=90°,Z0BD=45°,

在aAEO和△BDO中，

"ZAOE=ZBOD

<NA=N0BD=45°,

,AE=BD

.-.△AEO^ABDO(AAS),

/.OA=OB；

(2)成立，理由如下：

连接AE,则AAEC丝4BCP,

；.AE=BP,ZCAE=ZBPC,

,.,BP=BD,

.,.BD=AE,

,/Z0AE=45°+NCAE,N0BD=90°-N0BP=90°-(45°-NBPC)=45°+ZPBC,

ZOAE=ZOBD,

在AAEO和△BDO中，

"ZAOE=ZBOD

,ZOAE=ZOBD,

,AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB,

②当NBPC=135°时，AB=DE.理由如下：

解法一：

当AB=DE时，由①知OA=OB,.,.OA=OB=OE=OD.

设NPCB=a,由旋转可知，ZACE=a.

连接0C,则OC=OA=OB,.-.OC=OE,

ZDEC=Z0CEM5°+a.

设NPBC=B,则NABP=45。-(3,Z0BD=90°-ZABP=45°+p.

,.,OB=OD,ZD=Z0BD=450+p.

在四边形BCED中，ZDEC+ZD+ZDBC+ZBCE=360",

即：(45°+a)+(45°+B)+(90°+B)+(90°+a)=360",

解得：a+B=45°,

ZBPC=180°-(a+B)=135°.

解法二(本溪赵老师提供，更为简洁)：

当AB=DE时，四边形AEBD为矩形

贝ljNDBE=90。=NDBP,

•••点P落在线段BE上.

••,△ECP为等腰直角三角形，

ZEPC=45°,

/.ZBPC=1800-ZEPC=135°.

21.(1)如图1,在aABC和4DCE中，AB/7DC,AB=DC,BC二CE,且点B,C,E在一条直线

上.求证：NA=ND.

(2)如图2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的长.

r.ZB=ZDCE,

'AB=DC

在4ABC和4DCE中(ZB=ZDCE,

CB=CE

.,.△ABC^ADCE(SAS),

r.NA=ND；

(2)解：•.•四边形ABCD是矩形,

.,.AO=BO=CO=DO,

,.'ZA0D=120°,

ZA0B=60°,

.•.△AOB是等边三角形，

.'.AO=AB=4,

/.AC=2A0=8.

22.(1)如图，AB平分NCAD,AC=AD,求证：BC=BD；

(2)列方程解应用题

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺

25本，这个班有多少学生？

【解答】(1)证明：:AB平分NCAD,

/.NCAB=NDAB,

在4ABC和4ABD中

'AC=AD

<ZCAB=ZDAB

AB=AB

.,.△ABC^AABD(SAS),

.,.BC=BD.

（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：这个班有45名学生.

23.已知：如图，D是AC上一点，AB=DA,DE/7AB,NB=NDAE.求证：BC=AE.

【解答】证明：：DE〃AB,

ZCAB=ZADE,

,•・在4ABC和Z\DAE中，

'NCAB=NADE

•AB=DA,

ZB=ZDAE

.,.△ABC^ADAE(ASA),

.,.BC=AE.

24.【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全

等的判定方法（即“HL"）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相

等”的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在aABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，

对NB进行分类，可分为“NB是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况：当NB是直角时，Z\ABC丝ADEF.

(1)如图①，在aABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE=90°,根据HL,可以知道Rt

△ABC^RtADEF.

第二种情况：当NB是钝角时，^ABC四4DEF.

(2)如图②，在4ABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是钝角，求证：

△ABC^ADEF.

第三种情况：当NB是锐角时，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是锐角，请你用尺规在图

③中作出aDEF,使aDEF和AABC不全等.(不写作法，保留作图痕迹)

(4)NB还要满足什么条件，就可以使aABC也ADEF?请直接写出结论：在aABC和4DEF

中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是锐角，若NBNNA,贝l]Z\ABC丝Z\DEF.

【解答】(1)解：HL；

(2)证明：如图，过点C作CGJ_AB交AB的延长线于G,过点F作FHJLDE交DE的延长线

于H,

ZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是钝角，

.-.180°-ZABC=180°-NDEF,

即NCBG=NFEH,

在ZkCBG和AFEH中,

"ZCBG=ZFEH

<NG=NH=90°,

BC=EF

.,.△CBG^AFEH(AAS),

.,.CG=FH,

在RtAACG和RtADFH中，

[AC=DF

lCG=FH'

.'.RtAACG^RtADFH(HL),

NA=ND,

在AABC和ADEF中，

'NA=ND

<ZABC=ZDEF,

AC=DF

.'.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如图，ADEF和AABC不全等;

C(F)

(4)解：若NB2NA,则△ABCg^DEF.

25.(2014•德州)问题背景：

如图1:在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120",NB=NADC=90°.,F分别是BC,CD

上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE且AADG,

再证明4AEF丝ZXAGF,可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；

探索延伸：

如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=

yZBAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥

中心南偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向

正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度

前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处，且两舰艇之间的夹角为

70°,试求此时两舰艇之间的距离.

【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

证明如下：如图，延长FD到G,使DG=BE,连接AG,

；NB+NADC=180°,NADC+NADG=180°,

ZB=ZADG,

在AABE和4ADG中，

rDG=BE

<NB=NADG,

AB二AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.,.AE=AG,NBAE=NDAG,

---NEAF[NBAD,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=NBAD-NEAF=ZEAF,

NEAF=FGAF,

在ZkAEF和AGAF中,

'AE=AG

•NEAF=/GAF,

,AF=AF

.'.△AEF^AGAF(SAS),

.,.EF=FG,

：FG=DG+DF=BE+DF,

.,.EF=BE+DF；

实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,

•rZA0B=30°+90°+(90°-70°)=140",

ZE0F=70",

ZE0F=—ZAOB,

2

又；OA=OB,

ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

二符合探索延伸中的条件，

二结论EF=AE+BF成立，

即EF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此时两舰艇之间的距离是210海里.

26.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于。点，OC=OA,若E是CD上

任意一点，连接BE交AC于点F,连接DF.

(1)证明：4CBF乌ACDF；

(2)若AC=2巡，BD=2,求四边形ABCD的周长；

(3)请你添加一个条件，使得NEFD=NBAD,并予以证明.

【解答】(1)证明：在4ABC和aADC中，

'AB=AD

,BC=DC,

AC=AC

/.△ABC^AADC(SSS),

ZBCA=ZDCA,

在ACBF和4CDF中，

rBC=DC

•ZBCA=ZDCA,

CF=CF

.,.△CBF^ACDF(SAS),

(2)解：•「△ABCgZ\ADC,

AABC和AADC是轴对称图形，

/.OB=OD,BD±AC,

,.■OA=OC,

.•・四边形ABCD是菱形，

.-.AB=BC=CD=DA,

；AC=2«,BD=2,

:QA=M,0B=1,

AB=VOA2+OB^7(V3)2+l2=2-

四边形ABCD的周长=4AB=4X2=8.

(3)当EB_LCD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，NEFD=NBCD,

理由：二.四边形ABCD为菱形，

・・・BC=CD,ZBCF=ZDCF,NBCD二NBAD,

".,△BCF^ADCF,

ZCBF=ZCDF,

•.•BE±CD,

ZBEC=ZDEF=90",

ZBCD+ZCBF=90",NEFD+NCDF=90°,

r.ZEFD=ZBAD.

27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF.求证:

AE=CF.

【解答】证明：..•四边形ABCD是平行四边形,

/.AB=CD,AB/7CD,

NABD=NCDB,

.-.180°-ZABD=180°-ZCDB,

即NABE=NCDF,

在4ABE和4CDF中，

'AB=CD

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

.,.AE=CF.

28.(1)如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD±,ZE