湖南省益阳市三官桥中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省益阳市三官桥中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知2，则的值是(

)

A．-7

B．

C．

D．参考答案：D略2.函数在上取最大值时，的值为（）

]A．0

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知λ∈R，函数g（x）=x2﹣4x+1+4λ，若关于x的方程f（g（x））=λ有6个解，则λ的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，画出y=f（t）与y=λ的图象，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ再由g（x）=t，应用判别式大于0，分别求解，最后求交集即可．【解答】解：令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为（0，）．故选D．4.已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）=1，则f+f=(

)A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）和f（x+1）的奇偶性便可得到f（x）=f（x﹣1+1）=f（x﹣4），从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而可以求出f（2）=0，从而可以得出f+f=f（2）﹣f（1）=﹣1．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，∴f（x）=f（x﹣1+1）=f（﹣x+2）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；∴f（x）是周期为4的周期函数；∴f+f=f（2+503×4）+f（﹣1+504×4）=f（2）﹣f（1）=f（2）﹣1；f（﹣1+1）=f（1+1）=0；即f（2）=0；∴f+f=0﹣1=﹣1．故选：B．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，以及周期函数的定义，清楚偶函数的定义：f（﹣x）=f（x），是自变量换上﹣x后函数值不变．5.若变量满足约束条件，则的最大值为(

▲

)

A．

B．

C． D．参考答案：C6.已知{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈N*），Sn=a1+4a2+42a3+…+4n﹣1an，则5Sn﹣4nan=（）A．n﹣1 B．n C．2n D．n2参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】an+an+1=（）n（n∈N*），变形为：an+1﹣=﹣，利用等比数列通项公式即可得出．【解答】解：∵an+an+1=（）n（n∈N*），∴an+1﹣=﹣，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣1．∴an=+×（﹣1）n﹣1．4n﹣1an=+（﹣1）n﹣1××4n．4nan=+（﹣1）n﹣1×．∴5Sn=n﹣=n+﹣．∴5Sn﹣4nan=n．故选：B．7.下列四个命题中，正确的是A.已知服从正态分布，且，则B.已知命题；命题,则命题“”是假命题．C.设回归直线方程为,当变量增加一个单位时,平均增加2.5个单位D.已知直线,，则的充要条件是

参考答案：B8.执行如图的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 B． C．1 D．﹣1参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；归纳法；算法和程序框图．【分析】框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1，然后判断k＜2016是否成立，成立则执行S=，否则跳出循环，输出S，然后依次判断执行，由执行结果看出，S的值呈周期出现，根据最后当k=2015时算法结束可求得S的值．【解答】解：框图首先给变量S，k赋值S=2，k=1．判断1＜2016，执行S==﹣1，k=1+1=2；判断2＜2016，执行S==，k=2+1=3；判断3＜2016，执行S==2，k=3+1=4；判断4＜2016，执行S==﹣1，k=4+1=5；…程序依次执行，由上看出，程序每循环3次S的值重复出现1次．而由框图看出，当k=2015时还满足判断框中的条件，执行循环，当k=2016时，跳出循环．又2015=671×3+2．所以当计算出k=2015时，算出的S的值为．此时2016不满足2016＜2016，跳出循环，输出S的值为．故选：B．【点评】本题考查了程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题．9.已知两个非零向量的值为（

）A．3

B．24

C．21

D．12参考答案：C10.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是 A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将正奇数排成下图所示的三角形数表：，，，，，，……其中第行第个数记为（、），例如，若，则____．参考答案：12.则=

参考答案：答案：113.在区间[﹣1，1]上任取一个数a，则曲线y=x3﹣x2在点x=a处的切线的倾斜角为锐角的概率为．参考答案：

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，可得曲线在x=a处切线的斜率，由题意可得斜率大于0，解不等式可得a的范围，再由几何概率的公式，求出区间的长度相除即可得到所求．【解答】解：y=x3﹣x2在的导数为y′=2x2﹣x，则曲线y=x3﹣x2在点x=a处的切线的斜率为k=2a2﹣a，倾斜角为锐角，即为2a2﹣a＞0，解得a＞或a＜0，由﹣1≤a≤1，可得＜a≤1或﹣1≤a＜0，则切线的倾斜角为锐角的概率为=．故答案为：．【点评】本题考查导数的应用：求切线的斜率和倾斜角，考查不等式的解法，同时考查几何概率的求法，注意运用区间的长度，考查运算能力，属于中档题．14.（5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．参考答案：55【考点】：类比推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55【点评】：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．15.若直线y＝kx与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，则k的值是____．参考答案：略16.函数的值域为,则实数的取值范围是____.参考答案：17.已知函数的图象关于直线x=1对称，则__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

在中，角所对的边分别为，角为锐角，且（1）求的值；（2）若，求的最大值。参考答案：【知识点】二倍角

余弦定理

C6

C8（1）；（2）3.（1）

（7分）（2）由余弦定理得代入得又即（当且仅当时取等号成立）∴的最大值为3。

（7分）【思路点拨】由已知可得，将已知式子降幂升角再由化简代入即可求值；由余弦定理可得，再利用基本不等式即可求得.19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=*，∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，则b=c，，代入*式得b=c=1即a=b=，故所求椭圆方程为+y2=1；（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0∴，设S（x1，y1），T（x2，y2）则，当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．当t≠0时得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，∴，，将上式代入椭圆方程得：，整理得：由知0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，2）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线与圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，运用韦达定理，注意判别式大于0的条件，考查运算能力，属于中档题．20.已知数列{an}满足递推式an=2an﹣1+1（n≥2），其中a3=7（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知数列（bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：考点：数列递推式；数列的求和．分析：（1）an=2an﹣1+1两边同时加上1，构造出数列{an+1}是以2为公比的等比数列，通过数列{an+1}的通项公式求出{an}的通项公式（2）由（1）求得bn==，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）由已知，a3=2a2+1，得a2=3，同理得a1=1在an=2an﹣1+1两边同时加上1，得出an+1=2（an﹣1+1），所以数列{an+1}是以2为公比的等比数列，首项为a1+1=2故an+1=2×2n﹣1=2n化简得数列{an}的