江苏省无锡市宜兴荆溪中学高三数学理上学期摸底试题含解析

江苏省无锡市宜兴荆溪中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设命题，则是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x的函数关系为y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，则每两客车营运多少年，其运营的年平均利润最大()A．3

B．4C．5

D．6参考答案：C略3.如图所示，由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】定积分．【分析】首先利用定积分的几何意义表示阴影部分的面积，然后计算定积分即可．【解答】解：由抛物线y2=x和直线x=1所围成的图形的面积等于=2×|=；故选：B4.如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是A.24

B.12

C.8

D.4参考答案：B由三视图可知，该几何体是有两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，所以三角形的底面积为，所以三棱柱的体积为，所以该几何体的体积为，选B.5.锐角、的终边上各有一点，则的值为（）A.6或—1

B.—6或1

C.1

D.6参考答案：C6.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是减函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为.其中正确的是A．甲、乙、丁

B．乙、丙

C．甲、乙、丙

D．甲、丙参考答案：A由，得，所以周期是8.所以，所以甲正确.当时，函数递增，因为是奇函数，所以在也是增函数，由，所以关于直线对称，所以丙不正确，所以在上函数递减，在上函数递增，所以乙不正确.由于函数关于直线对称，且在上递增，在上函数递减，所以的根有两个，且关于直线对称，所以所有根之和为，丁正确，所以答案选A.7.设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，

是底角为的等腰三角形，则的离心率为（

）

参考答案：C8.下列关系中，成立的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可得结论．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．10.已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间[0，8]内所有零点的和为（）A．16 B．30 C．32 D．40参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=cosπx的图象，由图象的局部对称可得结果．【解答】解：当0≤x≤1时，f（x）=x，当1＜x＜2时，f（x）=﹣x+2，当2≤x≤3时，f（x）=3f（x﹣2）=3（x﹣2），当3＜x＜4时，f（x）=3f（x﹣2）=3[﹣（x﹣2）+2]=﹣3（x﹣4），当4≤x≤5时，f（x）=3f（x﹣2）=3（3x﹣6）=9（x﹣2），当5＜x＜6时，f（x）=3f（x﹣2）=﹣9（x﹣6），当6≤x≤7时，f（x）=3f（x﹣2）=27（x﹣6），当7＜x≤8时，f（x）=﹣27（x﹣8），在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=cosπx的图象，如图：

由图可知点A，B关于x=1对称，点C，D关于x=3对称，点E，F关于x=5对称，点G，H关于x=7对称，设A，B，C，D，E，F，G，H的横坐标分别为a，b，c，d，e，f，g，h，则a+b=2，c+d=6，e+f=10，g+h=14，∴a+b+c+d+e+f+g+h=32．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲选做题)如图，在中，，，，以点为圆心，线段的长为半径的半圆交所在直线于点、，交线段于点，则线段的长为

.参考答案：12.已知等比数列{an}的各项均为正数，a3=4，a6=，则a4+a5=

．参考答案：3【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出，由此能求出a4+a5．【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，a3=4，a6=，∴，解得，∴a4+a5=16×[]=3．故答案为：3．【点评】本题考查等比数列的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．13.在中，，，，是边上的动点（含，两个端点）．若（，），则的取值范围是

．参考答案：

14.函数f(x)＝的值域是_____________。参考答案：15.设△ABC的外心P满足，则__________．参考答案：【分析】根据向量表示确定外心为重心，即得三角形为正三角形，即得结果.【详解】设BC中点为M,所以,因此P为重心，而为的外心，所以为正三角形，.【点睛】本题考查向量表示以及重心性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.16.已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：

①若m平行与平面内的无数条直线

②若

③若

④若上面命题中，真命题的序号是

（写出所有真命题的序号）参考答案：答案：①③④17.已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，，，则的值为_________．参考答案：因为，所以，即，因为是上的偶函数，所以，即，所以，即函数的周期是4，所以。因为，所以。所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（改编）（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，,．（I）求证：平面⊥平面；（II）若二面角为30°，设,试确定的值参考答案：（本小题14分）（I）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；，，，．设，则，，∵，∴，

∴

…………12分在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．

∵二面角M-BQ-C为30°，

，∴．…………15分19.全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：空气质量指数（μg/m3）0﹣5051﹣100101﹣150151﹣200201﹣250空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方图：（2）由頻率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】解：（1）由，求出n=100，从而求出m=25，由此能完成频率分布直方图．（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数与中位数．（3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e，利用列举法求出从中任取2天的基本事件和事件A“两天空气都为良”包含的基本事件，由此能求出事件A“两天都为良”发生的概率．【解答】解：（1）∵，∴n=100，∵20+40+m+10+5=100，∴m=25，．由此完成频率分布直方图，如下图：（2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4，∴中位数为：50+=87.5．（3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e，从中任取2天的基本事件分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种，其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6种，所以事件A“两天都为良”发生的概率是．20.（本小题满分12分）在中，边a,b,c的对角分别为A,B,C；且，面积． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）设，将图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调增区间．参考答案：（Ⅰ）在中

…………2分 ∴

…………4分（Ⅱ）∵

又∵∴……6分 ∴，…………8分 将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，……9分 所以的单调增区间为…………10分 即…………11分 的单调区间为…………12分21.（12分）已知，函数(Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.参考答案：解：（1）当a=2时,，则方程f(x)=x即为

解方程得：

4分（2）（I）当a>0时,，作出其草图见右,易知有两个极值点借助于图像可知当时，函数在区间[1,2]上为增函数，此时当时,显然此时函数的最小值为当时，，此时在区间为增函数，在区间上为减函数，∴，又可得∴

12分则当时，，此时当时，，此时当时，,此时在区间为增函数，故(II)当时，，此时在区间也为增函数，故（III）当时，显然函数在区间为增函数，故22.已知函数上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）当m=0时，求函数f（x）的单调区间和极值；（3）若在上至少存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题；函数的性质及应用．【分析】（1）由函数上为增函数，得g′（x）=﹣+≥0在上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函数上为增函