湖南省岳阳汨罗市弼时片2023-2024学年九年级下册第一次联考数学试题（含解析）

2024年弼时片九年级数学科第一次联考试卷时量120分钟满分120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．的倒数是（

）A． B． C． D．2．如图所示的几何体，其俯视图是（）A． B． C． D．3．下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．4．如图，已知AB//CD，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数是（

）A．20° B．22.5° C．30° D．45°5．某校6名学生参加课外实践活动的时间分别为：3，3，6，4，3，7（单位：小时），这组数据的众数和中位数分别为（

）A．6和7 B．3和3.5 C．3和3 D．3和56．下列命题中错误的是（）A．若，则 B．两直线平行，内错角相等C．长度相等的弧所对圆周角相等 D．对顶角相等7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出七，盈十一；人出五，不足十三，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出七钱，那么多了十一钱；如果每人出五钱，那么少了十三钱．问：共有几个人?”设有个人共同买兔，依题意可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，四边形ABCD内接于，弦BD，若，则的大小为（

）A．62° B．56° C．52° D．50°9．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A． B．8 C． D．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）11．若分式有意义，则x的取值范围是．12．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，将数9500000000000用科学记数法表示应为．13．解分式方程的解是14．在一个不透明的袋子里，装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是．15．如图，在中，，D是边上的中点，若，，则的长为．16．若是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值为．17．如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊的两条栈道，若，，则游客中心A到观景长廊的距离的长约为（结果精确到，）．18．如图，为外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，①若，的直径为4，则扇形的面积为；②若，，则．三、解答题（第19、20题为每下题6分，第21、22题为每小题8分，第23，24题为每小题9分，第25、26题为每小题10分）19．计算：．20．先化简，再求值：，其中．21．如图，在中，，分别是边的中点，求证：四边形是菱形．22．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．23．如图，一次函数经过点，，与反比例函数的图象交于点，D两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积．24．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求w与x之间的函数关系式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？25．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=，D，E分别为AB，AC的中点，F为DE的中点，连接AF．(1)如图1，过F作FG⊥BD于G，交BC于H，直接写出线段AF与CH的数量关系；(2)将ΔADE绕点A顺时针旋转到如图2所示位置，过F作FG⊥BD于G，过C作DE的平行线与直线FG交于点H，得到线段FH，CH．①（1）中的结论是否成立？请说明理由；②从图2的位置开始将ΔADE绕点A顺时针旋转，当D，E，H共线时，直接写出FH的长度．26．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

参考答案与解析1．C【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数．【解答】解：的倒数是，故选：．2．C【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，直接判断即可．【解答】解：根据题意得：其俯视图是．故选：C【点拨】本题考查了三视图，解题关键是明确俯视图是从上往下看到的图形．3．D【分析】根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，逐项判断，即可求解．【解答】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项正确，符合题意；故选：D【点拨】本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．B【分析】利用平行线的性质，得出∠A的同位角∠DOE的大小，再借助外角的性质，得出∠C的大小，【解答】解；∵AB∥CD，∠A=45°，∴∠DOE=∠A=45°，∵∠DOE是△EOC的外角，∠C=∠E，∴∠C=∠DOE=×45°=22.5°．故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质及外角的性质，较简单，关键把握∠DOE=∠C+∠E即可．5．B【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．【解答】解：将数据从小到大排列：3、3、3、4、6、7，出现次数最多的是3，因此众数为3，3处在第3位，4处在第4位，该数据的平均数为，因此中位数为：3.5，故选：B．【点拨】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，是解题的关键．6．C【分析】根据等式的性质，平行线的性质和等弧的概念以及对顶角的性质进行判断即可．【解答】解：A．若，则，原说法正确；B．两直线平行，内错角相等，原说法正确；C．长度相等的弧所对圆周角不一定相等，原说法错误；D．对顶角相等，原说法正确；故选：C．【点拨】本题考查了命题，等式的性质，平行线的性质和等弧的概念以及对顶角的性质，解题的关键掌握以上知识点．7．D【分析】根据买兔所需的钱建立等量关系列出方程即可．【解答】解：根据每人出七钱，那么多了十一钱，可得买兔所需的钱为，根据每人出五钱，那么少了十三钱，可得买兔所需的钱为，∴，故选：D．【点拨】本题考查了列一元一次方程，解题关键是找等量关系．8．B【分析】由垂径定理，即；由等腰三角形的性质可得，即，最后根据圆的内接四边形对角互补即可解答．【解答】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形ABCD为的内接四边形，∴．故选：B．【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆的内接四边形等知识点，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．9．D【解答】解∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．设⊙O的半径为r，则OC=r－2，在Rt△AOC中，∵，∴，即，解得r=5．∴．连接BE，∵AE是的直径，∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，∵，∴．在Rt△BCE中，∵，∴．故选：D．10．D【分析】结合题意，根据抛物线开口方向和对称轴即可判断选项①；根据抛物线对称性，得9a+3b+c＝0，根据抛物线对称轴的性质，得b＝﹣2a，结合抛物线开口方向的性质，通过计算即可判断②；根据抛物线图像和一元二次方程的性质分析，即可判断③；根据顶点坐标及抛物线对称性，即可判断出④；从而得解．【解答】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∴8a+c＝8a-3c＝5a∴8a+c＜0，故②正确，∵顶点坐标（1，n）∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n﹣1时，与抛物线有两个交点，故③正确，∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|∵抛物线开口向下，抛物线关于x＝1对称，∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故④正确，∴结论正确的是①②③④共4个．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．11．【分析】根据分式有意义的条件列式求解即可．【解答】解：∵分式有意义，∴，解得．故答案为：．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键．12．【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【解答】解：9500000000000=．故答案为：【点拨】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．13．-1【分析】两边同时乘最简公分母（x+2）(x+4)化为整式方程，解整式方程并检验即可．【解答】解：两边同时乘最简公分母（x+2）(x+4)整理得：x+4=3x+6，解得x=-1，经检验x=-1是方程的解，故答案为：x=-1．【点拨】本题考查了解分式方程，题目简单，但要注意验根．14．【分析】根据题意，确定出符合条件的可能数，和出现的总可能数，利用概率定义求解即可．【解答】根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，共5个，摸到红球的概率为：．故答案为：．【点拨】本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．15．10【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后利用勾股定理求解即可．【解答】∵在中，，D是边上的中点，∴，，∵，，∴，∴．故答案为：10．【点拨】此题考查了等腰三角形三线合一性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．16．2023【分析】由根与系数的关系得到，将代数式变形代入计算即可．【解答】解：∵是一元二次方程的两个实数根，∴，∴．故答案为：2023．【点拨】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形结合解题是一种经常使用的解题方法．17．64【分析】分别在和中，利用锐角三角函数可得，，再由，即可求解．【解答】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得：．故答案为：【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．18．####【分析】①首先根据圆周角定理得到，然后利用扇形面积公式求解即可；②作交于点E，作交于点F，根据三角形内心的性质求出，进而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，进而求解即可．【解答】①∵，，∴∵的直径为4，∴的半径为2，∴扇形的面积为；②如图所示，作交于点E，作交于点F，∵，，∴∴∵点M为的内心，∴是内切圆的半径，∴，∵点M为的内心，∴是的角平分线，∴，，∵∴∴是等腰直角三角形∵∴∵∴∴∴∴∴∴．故答案为：，．【点拨】此题考查了圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．19．1【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简计算即可．【解答】．【点拨】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．20．，【分析】先根据分式的加减，计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．【解答】解：；当时，原式．【点拨】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．21．见解析【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定，由三角形中位线定理得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，结合得出，即可得证．【解答】证明：点分别是边的中点，，且，同理，，且．∴四边形是平行四边形又，，∴平行四边形是菱形．22．(1)调查学生人数200人，补图见解析(2)愿意参加劳动社团的学生人数900人(3)作图见解析，P（同一社团）【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比，可得总人数，再用总人数乘以科普类所占的百分比，即可求解；（2）用3600乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的百分比，即可求解；（3）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式，即可求解．【解答】（1）解：调查学生人数：人，科普类人数：人，补全条形统计图，如图：（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：人；（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．∴恰好选中同一社团的概率为．【点拨】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．(1)一次函数的解析式为，反比例函数解析式为(2)6【分析】（1）首先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后求出点C的坐标，然后代入即可求出反比例函数解析式；（2）连接，联立一次函数和反比例函数求出点D的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．【解答】（1）∵一次函数经过点，，∴，解得∴；将代入得，∴将代入得，∴；（2）如图，连接，联立，得，解得，∴将代入得，∴∴．【点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．24．(1)；(2)，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；(3)每天的销售利润最大值为160元．【分析】（1）根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量为5(x—20)千克，进而再根据题意列出函数解析式即可；（2）根据“总利润=(售价一进价)×销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质即可得答案；（3）根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得a的取值范围，再由二次函数的性质求最大值．【解答】（1）根据题意得，，即；（2）根据题意得，，即w与x之间的函数关系式为，又∵，∴当时，w有最大值，最大值为180．答：w与x之间的函数关系式为：，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；（3）由题意得，，解得，，∴．∵，∵，开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，∴当时，w有最大值，最大值为：，答：商家每天销售利润的最大值是160元．【点拨】本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，解题的关键是在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性求最值．25．(1)AF=CH；(2)①成立，理由见解析；②或；【分析】（1）连接EH，根据三角形的中位线定理，可得到四边形EFHC是平行四边形，即可证明；（2）①连接CE，并延长交BD于点I，可证明△AEC和△ADB全等，再证明四边形CEFH是平行四边形，即可得到结论；②分两种进行分类讨论，利用勾股定理算出FC的长，即可表示出FH的长；【解答】（1）结论：AF=CH；证明：连接EH，∵D、E是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，DEBC，又∵G、F是△ADE的中点，∴GHAC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF=CH，又∵△ADE是等腰直角三角形，∴AF=EF，∴AF=CH；（2）①成立．理由：连接CE，并延长交BD于点I．由旋转的性质可知：∠EAC=∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠DBA=∠ECA，∴∠BIC=∠BAC=90°，∴GHIC，又∵CHDE，∴四边形CEFH是平行四边形，∴CH=EF，又∵AF=EF，∴AF=CH，故结论成立；②或；第一种情况：当D、E、H三点共线时，如图所示，∴AF⊥CD，又∵AB=AC=，AD=AE=，∴AF=DF=EF=2，∴FC=，又∵CH=AF=2，∴FH的长为-2；第二种情况：当D、E、H三点共线时，如图所示，同理可得：FC=，又∵CH=AF=2，∴FH=FC+CH=2，综上所述，FH的长为或．【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，第二问的关键是添加辅助线构造全等三角形，第三问利用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题．26．(1)；(2)P（1+）或（1-）；(3)【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两