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文档简介
5.4.3正切函数的性质与图象
3争分夺秒一刻钟,狠抓基础零失误)/
必备知识•基础练
概念定理乃加跖
1.正切函数是奇函数,最小正周期是2兀.()
2.函数y=tanx,xe。,牙的图象从左向右呈不断上升趋势,且向
右上方无限逼近直线x=3.()
3.正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x=f+k7r,k£Z所隔开
的无穷多支形状相同的曲线组成的.()
4.正切函数在定义域内单调递增,值域是实数集R()
1.提示:x.最小正周期应该是兀
2.q
3.4
4.提示:x.正切函数在每一个区间(-k兀,*可(k£Z)上都单
调递增,不能说整个定义域上都递增.
基础分组走通关
•题组一求正切型函数的定义域、值域
1.函数y=tan1+幻的定义域是()
A.|x|x#k7r+彳,k£Zj
B「x|xr-3
C.卜|xWk7t+会,kCZ>
D.|x|x#^,
选C.函数y=tan(x+皆中,令x+£奇+lor人£Z解得x^ls+
kez;所以f(x)的定义域是]x|x#k兀+京,k^z1.
2.函数y=tanx[-*用的值域是()
选C.因为函数y=tanx在(册局上单调递增,
且tan亨=\[3,tan(司=-1,
则所求函数的值域是(-1,小).
•题组二求正切型函数的周期、单调区间
1.关于函数f(x)=|tanx|的性质,下列叙述不正确的是()
7T
A.f(x)的最小正周期为]
B.f(x)是偶函数
c.f(x)的图象关于直线x=^(k£Z)对称
D.f(x)在每一个区间,兀,k?r+野(k£Z)内单调递增
选A.对于函数f(x)=|tanx|的性质,根据该函数的图象知,其最小正
周期为冗,A错误;
又f(-x)=|tan(-x)|=|tanx|=f(x),所以f(x)是定义域上的偶函数,B
正确;
根据函数f(x)的图象知,f(x)的图象关于直线x=y(k£Z)对称,C
正确;
根据f(x)的图象知,f(x)在每一个区间小,k7r+§(k£Z)内单调递增,
D正确.
2.函数y=tan管+g的单调递增区间是()
A.1-Q+2k,w+2k),k£Z
B.f-|+k7Tr|+kn\,k£Z
C.1-q+k,w+kj,k£Z
(九~5加八.、
D.I-g+2k,y+2kl,kGZ
\ti_7T兀7T.兀八r-9x
选A.令-2+k7r<2x+<kn+-(kZ),
解得:-%+2k<x<|+2k(k£Z),故函数的单调递增区间为
-g+2k,w+2k),k£Z.
3.函数f(x)=tan《-x]的单调递减区间为()
f,37r,7fl
A.际-彳,k7t+,k£Z
(.兀,37fl
B.IkK-a,k兀+~^\,k£Z
C.(kir-,k7r+野,k£Z
D.(kn,(k+l)7r),kez
选B.由f(x)=-tan(x-,
可令kn-<x-<kn+,
jr3
解得kjr-a<x<kK+彳7i,k£Z.
•题组三利用单调区间解不等式
1.在(0,兀)内,使tanx>-y/3成立的x的取值范围为()
选B.画出y=tanx(0<x<7T)和直线
y=-小的图象,
由图象可得tanx>-小,在(0,兀)上的解集为(0周U停,J.
2.求使得不等式tanx-小>0成立的x的取值范围
因为tanx-y]3>0,可得:tanx>事,
「兀7T1
所以由正切函数的图象和性质可得:x^g+k兀,i+k/rj(k£Z).
f-「兀.瓦.、
答案:[j+kjt,2+呵(k£Z)
•题组四利用正切函数性质求参数
1.已知函数y=tancox在(4用内是增函数,则()
A.0<a)<2B«-2<co<0
C.co>2D,3s-2
选A.根据函数y=tancox在1-。称内是增函数,可得余①《,求
得oo<2,再结合o)>0.
2.若函数y=tan(2x-2+k,x£(0,"的图象都在x轴上方,则
实数k的取值范围为()
A.[小,+co)B.(小,+oo)
C.(-小,+s)D.(-小,0)
选A.因为,
所以-<2x-<0,
所以-小<tan"x-2<0,
函数y=tan(2x-§+k,
x£(0周的图象都在x轴上方,
即对任意的x£(0,V,
都有tan(2x-本
+k>0,
即tan(2x->-k,
因为tan12x-3J>~小,
所以-kS-木,即k>木.
易错易混6场遁
易错点一记错正切型函数图象的对称中心坐标
函数f(x)=3tanA+孑的图象的对称中心是__
对于函数f(x)=3tan(2x+外,令2x+g=y,k£Z,求得x二竽
-1,故函数的图象的对称中心是肾J,0),kez.
—(kjr7t八
答案:_6z0J,k£Z
【易错误区】本题易将正切函数的对称中心与正余弦函数的对称中心
混淆引起失误,y=tanx的对称中心为佟,0),而不是(k;r,0).
易错点二忽略正切函数的定义域
函数y=1g(^3-tanx)的定义域为.
由题可知:巾-tanx>0,
所以tanx〈巾.
7171
所以--+k7T<X<W+kit,kGZ,
所以函数的定义域是
[兀1兀11__
'x|--+kTr<x<Q+k7r,kGZ".
答案:,x|--+kn:<x<2+k兀,kGZr
【易错误区】本题易忽略正切函数的定义域为[x|xHkTT+]kez],
从而造成所解的范围中含有不符合条件的解.
◎晚间小练半小时,突破课堂重难点!/
关键能力•综合练
限时30分钟分值50分战报得分
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.现有下列四个命题:
①函数y=tanx在定义域内是增函数;
②函数y=tan(2x+1)的最小正周期是兀;
③函数y=tanx的图象关于点(兀,0)成中心对称;
④函数y=tanx的图象关于点11,0)成中心对称.
其中正确命题的个数是()
A.0B.1C.2D.3
选C.①函数y=tanx在定义域内不是单调函数,故①错误;
②函数y=tan(2x+1)的最小正周期是方,故②错误;
③函数y=tanx的图象关于点修,0)成中心对称,当k=2时,对称
中心为(兀,0),故③正确;
④函数y=tanx的图象关于点吃,0)成中心对称,当k=-1时,关
于[-]成中心对称.故④正确.
2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x+l)=f(-x+1),且当
0<x<l时,f(x)=tanx,则下列结论正确的是()
A.{-习<f(3)硝
<f(3)
C.f(3)<(|)<(-m
D,f(3)<(-I)
选D.函数f(x)是定义域为R的奇函数,
1
-tan2;
因为f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1);
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1),故f(x+4)=f(x),即f(x)关于x=1
对称且周期为4;
而f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(l)=-tan1,
因为f(x)=tanx在0<x<l上单调递增且f(x)>0;
所以f(3)<<-<用.
3.在区间(普,空内,函数y=tanx与函数y=sinx图象交点的
个数为()
A.5B.4C.3D.2
选C.在同一直角坐标系中,分别作出函数y=tanx与函数y=sinx
的图象,如图所示;
观察图象知,在-兀,0,兀处,两个函数的函数值都是0;
即两个函数的图象有3个交点.
4.已知函数f(x)=tan(ox在14局上单调递减,则co的取值范围
是()
A.0<co<lB.-1<CD<0
C.-2<co<0D.0<3<\
一~2
选B.由f(x)在居周上单调递减知:co<0,且(J局之
/,-第,因此弋言,解得-号30,故选B.
5.(多选)下列关于函数y=tan(-2x+§的说法正确的是()
A.在区间[-f,-日上单调递增
B.最小正周期是方
C.图象关于点传,0)成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
选BC.y=tan(-2x+
c叫
=_tan12x-I,
入兀兀兀11r/E371k7r5兀kit
令-5+k兀<2x-T<T+k兀,导-方+—<x<方+7,k
乙J乙Jl乙4JL乙乙
£Z,
所以当k=-1时,-普<x<-,
所以y=tan1-2x+§在(J,-匍上单调递减,A错误.
由上知:最小正周期为T/,B正确.
当x二工时,有2X-£=?/
所以y=tan[-2x+斗的图象关于点悟,0)成中心对称,C正确.
由正切函数的性质知:正切函数无对称轴,D错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=tan信+§的单调递增区间为.
人兀兀
令6x+3e
/兀1兀1•
[-g+k兀,]+k7iJ,keZ,
DC冗.兀兀71..r
BP-2+k7t<x+3<2+k7t,kGZ,
可解得:6k-5<x<6k+1,k^Z,
所以函数丫=tan底+?的单调递增区间是(6k-5,6k+1),keZ.
答案:(6k-5,6k+1),k£Z
1g(sinx)
7.函数y=i的定义域为________.
7tanx-1
1g(sinx)
要使y=―/,则有sinx>0且tanx>l,
弋tanx-1
由sinx>0得x£(2kn,2kn+九),k£Z,
由tanx>l得x£1k兀+:,k7t+舒,
keZ,
因为(2k7t,2kn+兀)+,kn+
=12k7t+w,2k7t+,kGZ,
所以原函数的定义域为12k兀+12k兀+1,kez.
答案:12k7r+4,2k兀+2I,k£Z
8.已知函数f(x)=2tanJaTrx+胃(a>0)的最小正周期是3.则a=
f(x)的对称中心为.
函数f(x)
=2tan(airx+1(a〉0)的最小正周期是3,则3=亲,得a=;,
所以函数f(x)=2tan,
,1K1,,~
田q兀x+d=/k兀,k£Z,
31
得x=3k-],k£Z,
故对称中心为快-1,o],keZ.
答案:3快4,7keZ
三、解答题
9.(10分)设函数f(x)=tana-2.
⑴求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-lSf(x)S小的解集.
⑴由/-#兀+方(keZ),得到函数的定义域
'x|x#苧+2k兀,k£z);
周期T=2TT;增区间(-1+2k7r,y+2kjrj(k^Z),无减区间;对称
中心售+k?r,0)(keZ).
(2)由题意,kn-<|-1<k;r+|(keZ),可得不等式-l<f(x)<y/3
jl47c
的解集为|xW+2k7T<x<y+2k7T,k£Z,.
自我挑战区
已知函数f(x)=x2+2xtan0-1,其中。盛+k兀,k£Z.
(1)当6=,x£[-1,小]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
f(x)
⑵函数g(x)=--为奇函数,求9的值;
X
⑶求0的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,^3]上是单调的.
⑴当e=V时,
“、2"J回24
f(x)=x2-3x-1=[x-2-w,
因为xg-l/,所以当X邛时,
4
f(X)min="^,当X=-l时,
f(X)max=.
(2)g(x)=x-J+2tan0,
A
因为g(x)为奇函数,
所以0=g(-x)+g(x)=-x+1+
A.
2tan0+x--+2tan0=4tan0,所以tan0=0,所以0=kn:,k£Z.
X
⑶函数f(x)的对称轴为x=-tan0,因为f(x)在区间[-1,巾]上是
单调的,
所以-tang-1或-tan,即tang-小或tan。三1,则-5+
k?r<9<-+k?r,k£Z或会+k7t<0<+JOT,k£Z.
C5周末抽出一小时,阶段复盘再提升!
考点综合•提升练11
限时60分钟分值100分战报得分
一、选择题(每小题5分,共30分,在每小题给出的选项中,只有一
个正确选项)
1.已知角a的终边过点(小,-2),则tan(a-3兀)=()
A2「空〃近-2
A--3B--5C--2D3
选B.角a的终边过点(小,-2),则tana=-哀=-,所以
tan(a-3兀)=tana=-.
2.已知tan。=2,则sin,+0)cos0-sin0cos岸+0)=()
4「3_3「4
AA,_5B•_5C,5D,5
选B.由题意,tan0=2,
则sin住+0jcos0-sin0cos俘+0)
,,cos20-sin2。1-tan203
=cos20-sin20=----;-----------=----------=-7
sin20+cos201+tan20。
【变式备选】
在直角坐标系中,若角a与B的终边关于y轴对称,则下列恒等式
中成立的是()
A.sinl^a+KJ=sin0B.sin(a-句=sinp
C.sin(2兀-a)=-sinPD.sin(-a)=sin0
选C.在角a的终边上任取一点P(xo,yo),则点P关于y轴对称的点
p(-xo,yo)在角p的终边上,根据三角函数的定义可知,sina=sin
p=~I—.根据诱导公式可得sin(a+兀)=-sina^sinp,sin
,+yo
(a-7t)=-sinaRsin0,sin(2冗-a)="sina=-sinP,sin(-a)=
-sina^sinp.K
3.下列函数中,周期为兀,且在(0,野上单调递增的是()
A.y=tan|x|B.y=|tanx|
C.y=sin|x|D.y=|cosx|
选B.函数y=tan|x|不是周期函数,函数y=|tanx|周期为兀,且在
(o,号上单调递增.
TT___JT
4.“(P=-4"是“函数f(x)=cos(3x-(P)的图象关于直线X=4对称”
的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
选A.当(p=:时,
f(x)=cos(3x+V,
若X?时,制=COS胃+皆=COS7T=-1,故直线x=1是对
称轴,排除B,D.
..jr371
函数f(x)=cos(3x-(P)对称轴若是x=4,则4-(p=k兀(k£Z),则(P
37r
-kTT(kez),故排除C,所以选A.
蜀【变式备选】
设好R,则“f(x)=cos(x+<p)(x£R)为偶函数”是“(p=兀”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C,充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
选B.由于函数f(x)=cos(x+(p)(x£R)为偶函数,则f(0)=cos(p=
±1,得(P=k7i(keZ),因此,tcf(x)=cos(x+(p)(x£R)为偶函数”
是“(p=兀”的必要不充分条件.
、,、,r兀兀
5.已知函数f(x)=cos(cox+(p)(co>0,0<(p<兀)是奇函数,且珥-g,4
上单调递减.则(D的最大值是()
123
A.2B.C.2D.2
选C.因为f(x)是奇函数,
所以f(0)=COS(P=0,且O<(P<7T,
所以q)U,
所以f(x)=cos(cox+软,
令:2k7t<cox+2<2kn+兀,(k£Z),
2k7T712k兀71八_一、
解得:-----丁<x<-----+丁,v(k£Z),
R十bco2(oco2o)''
由于函数在[-14]上单调递减,
2knn7i
-------------------<--
co2(o-3'
故:<9V
兀2k兀71
席京+而,
当k=0时,
JcD<|,
整理得:\2
l0<2,
故CO<3|,可得(0的最大值为]3.
6.已知函数f(x)=2cos(x-看,若函数h(x)=f(x)+1的两个不同零
点分别为XI,X2,则|x】-X21的最小值为()
2兀-兀-4兀一
A,行B-2C・WD.7i
选A.因为f(x)=2cos|x-|j
所以h(x)=2cos(x-+1,
1
当h(x)=0时,cosx-V=2-
得xV=中+2k兀,k£Z或x-聿+2k兀,k£Z,
解彳导:x=不+2kn,k£Z或X=E+2kn,k£Z,
相邻的零点XI,X2中,|XLX21的最小值是:-y=y.
二、选择题(每小题5分,共10分,在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求的,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的
得3分)
7.若函数f(x)=sin(cox+®>0)在[o,TC]上有且仅有3个零点和
2个最小值点,则3的取值可以为()
107
A.3B.C.5D.4
选BC.如图作出简图,
由题意知,兀£[X4,X5),设函数f(x)的最小正周期为T,因为Xo=-
兀mi7-72K10Kc2兀
7~,贝[]X4=x()+,T=x()+1•一=—,xs=xo+2T=x()+2--=
6co744co3(ozco
23兀4+入r\-t-IOTT_237r际,曰F1023)
商,结合兀目X4,X5)有破而且兀<而,解得3$[9,yj
又3J阴用,所以选BC.
8.若函数f(x)=1+4sinx-t在区间管,2力上有2个零点,贝h的值
不可能是()
A.-3B.0C.3D.4
选AC.令f(x)=O,可得sinx二飞一,可知两个函数在区间用,2兀]
上的图象有两个交点,
作出函数y=sinx与y=《一在区间七,2冗]上的图象,如图所示:
1t-1t-1
则I(丁<1或-1<丁<0,解得3«<5或-3<t<l.
三、填空题(每小题5分,共20分)
9.已知函数f(x)=-2^2cos3x(3>0)的图象关于点洋,0)对称,
且f(x)在区间(0,y)上单调,则co的值为.
函数f(x)=-2啦coscox的图象关于点胃,0)对称,
所以-2媳cos律co)=0,
即寸co=kn+,kGZ,
42
得至I」(o=gk+q,kez,
又因为f(x)在区间(0,y)上单调,
所以T,即1泮,
所以27r管47涔r,_而3>0,所以退3,
.2
所以k=0时,a)=^.
2
分口室•--3
10.若0<X<2K,则不等式sinx>|的解集为
因为sinx>^,
所以季+2k7i<x<-^+2kn,k^Z,
又因为0<X<2K,所以k=0时,聿<x<^.
兀
答案:L5
~6
E刎0
蜀【变式备选】
函数y=sinx-cosx的定义域为
要使函数有意义,必须使sinx-cosx>0.
利用图象,在同一坐标系中画出[0,2兀]上y=sinx和y=cosx的图
象,如图所示.
在[0,2兀]内,满足sinx=cosx的x为彳,竽
再结合正弦、余弦函数的周期是27r,所以定义域为
,+2k7t<x<^+2k7r,k£z).
答案:'x£+2kK<x<y+2k7r,kezj
11.已知函数f(x)=2sin[cox-+l(xeR)的图象的一条对称轴为
x=兀,其中co为常数,且co《l,2),则函数f(x)的最小正周期为
由函数f(x)=2sin|o)x圉+l(xeR)的图象的一条对称轴为x=7i.
可得3兀=k7t+^,k£Z,所以(o=k+|,又(o£(l,2),所以
5
w=3,
因此,函数y=f(x)的最小正周期为T潦=y.
3
生索.—
口木•5
12.已知函数f(x)=sin[+聿],其中x£-,a.若f(x)的值域是
4,1],则实数a的最小值为最大值为.
、“「兀]兀「九71
3xC$a时,x+石金-4,a+x,
因为f(x)的值域是[-,1],
所%<a+1,所烤<a<7t,
所以实数a的最小值为W,最大值为兀
答案:,兀
四、解答题(每小题10分,共40分)
yio
13.已知a是第三象限的角,且cosa=io-
⑴求tana的值;
cos(兀-a
(2)化简并求值——-
兀
2sin(-a)+sin]+a
⑴由题意得,a是第三象限的角,
3/
所以sina=1-cos2a
10
所以tana="^=3.
cosa
-cosacosa11
⑵原式=
-2sina+cosa2sina-cosa2tana-15
14.设x£R,函数f(x)=cos(cox+(p)(co>0,-$<(p<0)的最小正周期
为兀,且
(1)求3和§的值;
⑵在给定坐标系中作出函数f(x)在,兀]上的图象;
1
语-
3)f(x)>2,求X的取值范围.
⑴因为f(x)的最小正周期是7T,所以T=—=7T=>C0=2,
0=cos(2x:+(p)=
即sin(p=-坐,因为-«p<0,
所以q)=V.
(2)由⑴可知f(x)=cos(2x-1
列表
7U57r27r11兀
X071
612T12
c
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