2021年辽宁省本溪市中考数学真题试卷

2021年辽宁省本溪市中考数学试卷

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.-5的相反数是（）

A.，B.AC.-5D.5

55

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【解答】解：-5的相反数是5.

故选：D.

2.下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的,

这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.

【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形,故本选项不合题意；

C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意；

D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意.

故选：A.

3.下列运算正确的是（）

A.A2,X=2X2B.（xy3）2=//6

C.Jt6-?x3=x2D.JC2+X=X3

【分析】根据同底数幕的乘法，积的乘方，同底数基的除法，合并同类项法则进行计算,

从而作出判断.

【解答】解：A.故此选项不符合题意；

B.（肛3）2=/y6,计算正确，故此选项符合题意;

C.故此选项不符合题意；

D.7,x不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意;

故选：B.

【分析】根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓

线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示.

【解答】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示,

图形如下:

故选：D.

5.下表是有关企业和世界卫生组织统计的5种新冠疫苗的有效率，则这5种疫苗有效率的

中位数是（）

疫苗名称克尔来福阿斯利康莫德纳辉瑞卫星M

有效率79%76%95%95%92%

A.79%B.92%C.95%D.76%

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的

平均数）为中位数.

【解答】解：从小到大排列此数据为：76%、79%、92%、95%、95%,92%处在第3位

为中位数.

故选：B.

6.反比例函数y=区的图象分别位于第二、四象限，则直线>=丘+左不经过的象限是（）

X

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根据反比例函数y=K的图象经过第二、四象限可判断出k的符号，进而可得出

X

结论.

【解答】解：•••反比例函数y=K的图象分别位于第二、四象限，

x

：.k<0,

一次函数），=履+4的图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限.

故选：A.

7.如图为本溪、辽阳6月1日至5日最低气温的折线统计图，由此可知本溪，辽阳两地这

C.本溪、辽阳波动一样D.无法比较

【分析】利用方差的定义列式计算，再比较大小，从而根据方差的意义得出答案.

【解答】解：本溪6月1日至5日最低气温的平均数为15+13+12+12+12=12.8（℃）,

5

辽阳6月1日至5日最低气温的平均数为16+14+13+13+13=13.8CC）；

5

本溪6月1日至5日最低气温的方差Si2=Ax[(12-12.8)2X3+(15-12.8)2+(13

5

-12.8)2]=1.36,

辽阳6月1日至5日最低气温的方差S22=LX[(13-13.8)2X3+(16-13.8)2+(14

5

-13.8)2]=1.36,

22

V5I=S2，

二本溪、辽阳波动一样.

故选：C.

8.一副三角板如图所示摆放，若Nl=80°,则N2的度数是()

A.80°B.95°C.100°D.110°

【分析】根据直角三角形的性质求出N5,根据三角形的外角性质求出/3,根据对顶角

相等求出N4,再根据三角形的外角性质计算，得到答案.

【解答】解：如图，Z5=90°-30°=60°,Z3=Z1-45°=35°,

.•./4=N3=35°,

；./2=/4+/5=95°,

故选：B.

9.如图，在△ABC中，AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线3。与AC交于点E,

点F为BC的中点，连接EF,若BE=AC=2,则△CEF的周长为()

D

B-1-FC

A.夷+1B.A/5+3C.5/5+ID.4

【分析】由题意得BE是/ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE_LAC,AE=CE

=/lC=l,由勾股定理得8c=近，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF=擀8C

=BF=CF,求解即可.

【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是NABC的平分线，

'：AB=BC,

：.BE±AC,AE=CE=2AC=1,

2

/.ZAEC=90°,

BC=pBE24c岳仁正+产旄,

；点尸为BC的中点，

:.EF=LBC=BF=CF,

2

...ACEF的周长=CF+E尸+CE=CF+BF+CE=BC+CE=V^+1,

故选：C.

10.如图，在矩形A8C£＞中，BC=1,ZADB=60°,动点P沿折线AO-OB运动到点8,

同时动点Q沿折线8C运动到点C,点、P,Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单

位长度，点P,。在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度.设运动时间为，秒，

△PBQ的面积为S,则下列图象能大致反映S与，之间函数关系的是（）

【分析】分别求出点尸在AQ,BD上,利用三角形面积公式构建关系式，可得结论.

【解答】解：•..四边形是矩形，

：.AD=BC=\,ZA=ZC=90°,AD//BC,

：.ZADB=ZDBC=(>Q°,

...NABO=NC£>8=30°,

.".BD=2AD^2,

当点P在A。上时，5=A«(2-2/X1-r)«sin600(1-/)2(0</<l),

22_

当点P在线段8。上时，S=A(4-2力・返(「1)=-返及+_§返«(1〈忘2),

2222

观察图象可知，选项。满足条件，

故选：D.

二、填空题(本题共8个小题，每小题3分，共24分)

11.若&^在实数范围内有意义，则x的取值范围是xW2.

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由题意得，2-GO,

解得，后2,

故答案为：xW2.

22

12.分解因式：Zr-4x+2=2(A--1).

【分析】先提取公因数2,再利用完全平方公式进行二次分解.完全平方公式：(a±b)2

—a2±2ab+b2.

【解答】解：2^-4%+2,

=2(x2-2x+l),

=2(x-1)2.

13.有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-夜，-1,0,y，2.从中随机抽取一

张，则抽出卡片上写的数是F的概率为

【分析】根据概率公式即可求解.

【解答】解：•••有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着-有，-1,0,2，

•••从中随机抽取一张，抽出卡片上写的数是遂的概率为1+5=』.

5

故答案为：1.

5

14.若关于x的一元二次方程3，-2x-左=0有两个相等的实数根，则k的值为

-3-

【分析】利用判别式的意义得到4=(-2)2-4X3X(7)=0,然后解关于k的方

程即可.

【解答】解：•••一元二次方程3?-2x-k=0有两个相等的实数根，

4ac=(-2)2-4X3X(-k)=0,

解得k=X.

3

故答案为工.

3

15.为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为

获奖同学颁奖.在购买奖品时发现，A种奖品的单价比8种奖品的单价多10元，用300

元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元,

则可列分式方程为空_=独.

-x+10-x—

【分析】设8种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是(x+10)元，根据数量=总价

・单价，结合用300元购买A种奖品的数量与用240元购买3种奖品的数量相同，即可

得出关于x的分式方程，此题得解.

【解答】解：设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是(x+10)元，

依题意得：300=_240

x+10x

故答案为：J22_=240.

x+10X

16.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径

3

的圆经过点C和点O,贝Ijtan/ADC=2

【分析】先利用圆周角定理得到NACB=90°,ZADC=ZABC,再利用正切的定义得

到tan/48c=旦，从而得到tan/ADC的值.

2

【解答】解：：A3为直径，

4cB=90°,

在RtAABC中，tanNABC=^^=3,

BC2

ZADC=ZABC,

，tanNAOC=3.

2

故答案为3.

2

17.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A(2,0),8(0,1),反比例函数y=K(x

X

>0)的图象经过点C,则上的值为1.

-4-

【分析】设半圆圆心为。，连接QC,过C作CGJ_OA于G,交A8于E,先求出tanN

8Ao=毁=2，cos/班0=空=^/^,$亩/a40=毁=返，RtZ\COE中，tanC=m，

0A2AB5AB5CD

求出。£；=逅，CE=6,AE=S,RtAAGF中，sin/R4O=丝，cosZ

cosC=—,

CE444AE

BAO=%,可得GE=X,AG=1,即得C(3,3),把C(3,1)代入y=K得k

AE422222x

=9

了

【解答】解：设半圆圆心为。，连接。C,过C作CGLOA于G,交A8于E,如图：

VA(2,0),B(0,1),

：.AB=\R,DA=DC=^-,

2

tanZB^6>=-55.=—>cosZBAO=^-=,sin/B40=^^=^E,

0A2AB5AB5

•；C为半圆的中点，

：.NCDE=NEGA=90°,

又NCED=NAEG,

:.NC=NBAO,

RtZ\C£>E中，tanC=迈，cosC=型，

CDCE

运

-1__DL275_2

2V55CE

2

:.DE=S,CE=",

44

：.AE=AD-DE=J^-,

4

RtZ\AGE中，sinNBAO=丝，cos/BAO=旭，

AEAE

._GE__A/5_AG__2^5

返5返5

44

：.GE=k,AG=A,

42

：.OG=OA-AG=^-,CG=CE+GE=S,

22

AC(2,旦)，

22

把C(旦，2)代入y=K得々=9,

22X4

故答案为：9.

4

18.如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点。的对

称点为点F,E尸交AO于点G,连接CG交PQ于点H,连接CE.下列四个结论中：①

△PBE〜△QFG；②SzxCEG=SACBmS四地形CDQH；③EC平分N8EG；@EG2-CH2=GQ'

GD,正确的是①③④（填序号即可）.

【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；

②过点C作CMJ_EG于M,通过证明△BEC'g/SMEC,进而说明△CMG丝△C£>G,可

得SACEG=sABEC^S&CDG>s&BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；

③由折叠可得：ZGEC=ZDCE,由A8〃C£>可得NBEC=NOCE,结论③成立；

④连接OH,MH,HE,由△BEC丝△CMG丝△CDG可知：NBCE=NMCE,

ZMCG=ZDCG,所以/ECG=NECM+/GCM=』NBC£)=45°,由于ECLHP,则

2

NCHP=45°,由折叠可得：ZEHP=ZCHP=45°,则EHLCG；利用勾股定理可得

EG2-EH2=GH2；由CM_LEG,EHA.CG,得到N£7WC=NE〃C=90°,所以E,M,H,

C四点共圆，所以/HMC=NHEC=45°,通过△CM”皎可得NCDH=NCMH

=45°,这样，/GDH=45：因为NGHQ=NCHP=45°,易证△GHQS^G。，，则

得GH2=GQ・GD,从而说明④成立.

【解答】解：①..•四边形488是正方形，

AZA=ZB=ZBCD=Z£>=90°.

由折叠可知：NGEP=NBCD=90°,NF=ND=90°.

ZBEP+ZAEG=90,,,

VZA=90°,

AZAEG+ZAGE=90°,

：.ZBEP=ZAGE.

•:/FGQ=NAGE,

：.ZBEP=ZFGQ.

VZB=ZF=90°,

.♦.△PBE〜△QFG.

故①正确；

②过点C作CMLEG于M,

由折叠可得：ZGEC=ZDCE,

,JAB//CD,

：.NBEC=NDCE,

：.NBEC=NGEC,

在ABEC和△MEC中，

'/B=NEMC=90°

<ZBEC=ZGEC，

,CE=CE

AABEC^AMEC(A45).

:.CB=CM,S&BEC=S&MEC-

'：CG=CG,

/.RtACA/G^RtACDG(HL),

,•S&CMG=S&CDG，

"•SACEG=S^BEC+S^CDG>SABEC+S四边形CDQH，

②不正确；

③由折叠可得：NGEC=NDCE,

'：AB//CD,

：.NBEC=ZDCE,

：./BEC=ZGEC,

即EC平分NBEG.

③正确；

④连接MH,HE,如图，

MBECQAMEC,ACMG^ACDG,

・・・ZBCE=NMCE,NMCG=ZDCG,

：.ZECG=ZECM+ZGCM=AZBCD=45°，

2

ECLHP,

：.ZCHP=450.

:・NGHQ=NCHP=45°.

由折叠可得：NEHP=NCHP=45°,

：.EH±CG.

:.Ed1-Etfi=GH2.

由折叠可知：EH=CH.

2

AEG-C”2=G”2

CMLEG,EH工CG,

:・/EMC=/EHC=9a。,

：.E9M,H,。四点共圆，

；・NHMC=NHEC=45°.

在△CM"和ACf归中，

CM=CD

<NMCG=NDCG，

CH=CH

：./\CMH^/\CDH(SAS).

:.NCDH=/CMH=45°,

VZCDA=90°,

AZGD/7=45°,

•：NGHQ=NCHP=45°,

/.ZGHQ=ZGDH=45°.

,：ZHGQ=ZDGH,

:.△GHQS^GDH,

.GQGH

"GH"GD'

：.GH2=GQ'GD.

.'.GE1-CH2=GQ^GD.

，④正确；

综上可得，正确的结论有：①③④.

故答案为：①③④.

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

19.(10分)先化简，再求值：.-6g_+(l+2az3_),其中”=2sin30°+3.

a2-9a+3

【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将〃的值代入化简后的式

子即可解答本题.

【解答】解：(l+2a-3)

a2-9a+3

=6a=a+3+2a~3

(a+3)(a-3)a+3

=6a.a+3

(a+3)(a-3)3a

=2

7T

当a=2sin30°+3=2X』+3=1+3=4时，原式=—。”=2.

24-3

20.(12分)为迎接建党100周年，某校组织学生开展了党史知识竞赛活动.竞赛项目有：

A.回顾重要事件；B.列举革命先烈；C.讲述英雄故事；D.歌颂时代精神.学校要求

学生全员参加且每人只能参加一项，为了解学生参加竞赛情况，随机调查了部分学生，

并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

学生参加竞赛项目的条形统计图学生参加竞赛项目的扇形统计图

（1）本次被调查的学生共有60名:

（2）在扇形统计图中“B项目”所对应的扇形圆心角的度数为90。，并把条形统

计图补充完整；

（3）从本次被调查的小华、小光、小艳、小萍这四名学生中，随机抽出2名同学去做宣

讲员，请用列表或画树状图的方法求出恰好小华和小艳被抽中的概率.

【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数；

（2）用总人数减去其它项目的人数，求出8项目的人数，再用360°乘以“B项目”所

占的百分比即可得出“8项目”所对应的扇形圆心角的度数，最后补全统计图即可；

（3）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概

率公式即可得出答案.

【解答】解：（1）本次被调查的学生共有：94-15%=60（名）；

（2）B项目的人数有：60-9-12-24=15（人），

图中“8项目”所对应的扇形圆心角的度数为：360°义」互=90°；

60

补全统计图如下:

学生参加竟赛项目的条形统计图

（3）根据题意列表如下:

小华小光小艳小萍

小华（小光，小华）（小艳，小华）（小萍，小华）

小光（小华，小光）（小艳，小光）（小萍，小光）

小艳（小华，小艳）（小光，小艳）（小萍，小艳）

小萍（小华，小萍）（小光，小萍）（小艳，小萍）

由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好

小华和小艳被抽中的情况有2种.

则恰好小华和小艳被抽中的概率是2=上.

126

四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）

21.（12分）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共

需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元.

（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？

（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多

能购买手绘纪念册多少本？

【分析】（1）设每本手绘纪念册的价格为x元，每本图片纪念册的价格为y元，根据“购

买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念

册共需225元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设可以购买手绘纪念册，〃本，则购买图片纪念册（40-〃?）本，根据总价=单价X

数量，结合总价不超过1100元，即可得出关于他的一元一次不等式，解之取其中的最大

值即可得出结论.

【解答】解：（1）设每本手绘纪念册的价格为X元，每本图片纪念册的价格为y元，

依题意得：卜+4丫=135,

|5x+2y=225

解得：卜侬.

ly=25

答：每本手绘纪念册的价格为35元，每本图片纪念册的价格为25元.

（2）设可以购买手绘纪念册根本，则购买图片纪念册（40-/n）本，

依题意得:35加+25（40-m）<1100,

解得：，10.

答：最多能购买手绘纪念册10本.

22.（12分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一

条东西方向的隧道AB.无机从点A的正上方点C,沿正东方向以8〃加的速度飞行15s

到达点O,测得A的俯角为60°,然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E,

测得点B的俯角为37°.

（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；

（2）求AB的长度（结果精确到L”）.

（参考数据：sin37°20.60,cos37°g0.80,tan37°心0.75,«F.73）

MM泳

Cf605'D37。PE

AB

【分析】（1）利用正切函数即可求出AC的长；

（2）过点8作8几LC。于点尸，则四边形是矩形，得至ljBF=4C=120«，AB=

CF,在△BEF中利用正切函数即可求得EF,进而即可求得AB=CF=CE-£F=243米.

【解答】解：（1）由题意，8=8X15=120（M,

在Rt.4C£>中，tan/AOC=处，

CD

/.AC=CD-tanZADC^CD*tan60°=120X«=120«（/??）,

答：无人机的高度AC是120T米；

(2)过点B作8尸，CD于点尸，则四边形AB尸C是矩形,

：.BF=AC=nOyfj>AB=CF,

在RtZXBEF中，tan/BEF=^,

EF

BF

：.EF=—37276.8(〃力，

tan3700.75

VC£=8X(15+50)=520Gn),

：.AB=CF=CE-EF=520-276.8=243(米)，

答：随道AB的长度约为243米.

五、解答题（满分12分）

23.（12分）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现,

这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元,

每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个.

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

【分析】（1）依据每个星期的销售利润=每件的利润X销售的件数列方程求解即可；

（2）根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程，从而可求得售价：

（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值.

【解答】解：（1）由题意，得：y=（x-40）[100-2（x-60）]=-2?+3001-8800,

.♦.），=-2?+300x-8800（60«110）；

⑵令y=2400得：-2r+300x-8800=2400,

解得：x=70或x=80,

答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；

（3）y=-2/+300x-8800=-2（x-75）2+2450,

；-2<0,

.•.当x=75时，y有最大值，最大值为245元，

答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元.

六、解答题（满分12分）

24.（12分）如图，在RtaABC中，NACB=90°,延长C4到点。，以为直径作

交BA的延长线于点E,延长BC到点F,使BF=EF.

（1）求证：EF是。。的切线；

（2）若OC=9,AC=4,AE=8,求8尸的长.

【分析】（1）连接OE,求出OE〃BF推出NAEO=90°,根据切线的判定推出即可；

（2）连接。E,根据已知条件求出。0的直径AD=10,在中，求出。E=6,

COSZDA£=A,在Rt/VLBC中，求出cos/B4C=_£,根据N8AC=/D4E,求出AB

5AB

=5,进而得到BE^13,根据相似三角形的判定证得△FBES^ODE,根据相似三角形

的性质即可求出BF.

【解答】证明（1）连接OE,

\'OA=OE,

：.ZOEA^ZOAE,

在RtZVlBC中，NACB=90°,

：.ZBAC+ZB=9QQ,

:BF=EF,

NB=NBEF,

'：ZOAE=ZBAC,

：.ZOEA=ZBAC,

：.ZOEF^ZOEA+ZBEF^ZBAC+ZB^90°,

：.OELEF,

是。0的半径，

.♦.EF是。。的切线；

(2)解：连接。E,

"：OC=9,AC=4,

：.OA^OC-AC=5,

"：AD=2OA,

，40=10,

是。。的直径，

.•./AEC=90°,

在RtAADE中，

D£=VAD2-AE2=V102-82=6,

•*.COSZDAE=^5.=-？-=A,

AD105

在RtaABC中，cosNBAC=/=-i_,

ABAB

,/ZBAC=NDAE,

•-•,4i—4»

AB5

：.AB=5,

BE=AB+AE=5+S=13,

•：OD=OE,

；.NODE=NOED,

•・・£/是。。的切线，

AZFEO=90°,

ZOED+ZOEA=90°,ZFEB+ZOEA=90Q,

：・/FEB=NOED,

：.NB=ZFEB=ZOED=/ODE,

：./\FBE^/\ODE,

・BF-BE

DODE

七、解答题(满分12分)

25.(12分)在。ABCZ)中，ZBAD^a,平分/AOC,交对角线4c于点G,交射线A8

于点E,将线段EB绕点E顺时针旋转得线段EP.

2

(1)如图1,当a=120。时，连接AP,请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；

(2)如图2,当a=90°时，过点8作B尸，E尸于点，连接AF,请写出线段AF,AB,

AQ之间的数量关系，并说明理由；

(3)当a=120°时，连接AP,若BE=』AB,请直接写出△APE与△COG面积的比值.

2

【分析】(1)如图1,延长PE交C£＞于点凡连接AF,根据平行四边形性质可证得四边

形AOFE是菱形，进而得出AAE尸是等边三角形，再证明△4EP四△4FC(SAS),即可

得出答案；

(2)如图2,连接CF,证明aBCF丝(SAS),进而得出NAFC=90°,利用三角

函数可得AC=一"一=扬凡再运用勾股定理即可；

sinZACF

(3)设8E=a,则PE=AO=4E=a,AB=CD^2a,分两种情况：①当点E在A3上时，

如图3,过点G作GM1AD于点例，作GNLCD于点N,过点C作CK1.AD于点K,

过点A作AHYPE的延长线于点H,利用角平分线性质得出SAACD=Lo，CK=L・2a

22

,sin60°=^3.a2,S^CDG—^S^CD=&1,即可得出答案；

233_

②如图4,当点E在A8延长线上时，同理可得出SACDG=2・SAACD=2返。2,55户£=工尸”

_552

•AE=灰瓦2,即可求出答案.

4

【解答】解：(1)如图1,延长PE交CZ)于点Q,连接AQ,

；四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,

Va=120°,即NBAD=120°,

：.ZB=ZADC=60°,

：.ZBEP=60°=NB,

：.PE//BC//AD,

四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，

平分NAOC,

：.ZADE^ZCDE^30°,

.../AEC=/COE=30°-ZADE,

：.AD=AE,

四边形ADQE是菱形，

；./EAQ=NAEQ=60°,

.♦.△AEQ是等边三角形，

：.AE=AQ,ZAQE=60°,

•••四边形BCQE是平行四边形，

:.PE=BE=CQ,ZB^ZCQE=60°,

VZAEP=120°,ZAQC^ZAQE+ZCQE=120°,

NAEP=ZAQC,

.♦.△AE尸会zMQC(SAS),

：.AP=AC；

(2)AB2+A£)2=2A产，

理由：如图2,连接CF

在uABC£>中，NBAD=90°，

：.ZADC^ZABC^ZBAD=90°,AD=BC,

平分/AOC,

：.ZADE=ZCDE=45°,

AZAED=ZADE=45°,

：.AD=AE,

：.AE=BC,

'：BFLEP,

；.NBFE=9Q°,

VZBEF=Aa=AzB>4D=Ax90o=45°,

222

；.NEBF=NBEF=45°,

：.BF=EF,

:NFBC=NFBE+NABC=45°+90°=135°,

ZA£F=180°-NFEB=135°,

：.ZCBF=NAEF,

：./\BCF^/\EAFCSAS),

：.CF=AF,NCFB=NAFE,

：.ZAFC=ZAFE+ZCFE=NCFB+NCFE=ZBFE=90o

AZACF=ZCAF=45°,

,.♦sinNACF=更,

AC

AF

：.AC=AFAF扬尸,

sin/ACFsin45°

在Rt/XABC中，AB2+BC2=AC2,

：.AB2+AD1=2AF2；

(3)由(1)知，BC=AD=AE=AB-BE,

"：BE=^AB,AB=CD,

2

:.AB=CD=2BE,

设则PEnAOnAEna,AB=CD=2a,

①当点E在A8上时，如图3,过点G作于点作GN_LC。于点N,

过点C作CKLAO于点K,过点A作AHLPE的延长线于点H,

当a=120°时，NB=NADC=60°,

•.•。£平分乙4。<7,GM±AD,GN上CD,

:.GM=GN,

••♦S_MCD=LQ.CK=L.2q.sin60°=J^a2,

222

<4CD-GN

bACDG_2_______CD-2a

SAADGyAD-GM皿a

SACDG=2S*DG,

SACDG——S^ACD—,

33

由（1）MlPE//BC,

：.ZAEH=ZB=60°,

VZ/7=90°,

.,.AH=AE,sin60。=亚〃

2__

,,2

.'.S^APE=—PEAH=^a^-a='^-a,

2224

近2

...SAAPE_4a^_3

S/kCDG3.24

3a

②如图4,当点E在AB延长线上时，

由①同理可得：SAC0G=2・SAACD=2xJLX2axYlx3a=色氏2,

55225

SAXPE=』PH・AE=JLX<X3a=^^-a2,

2224

2

c-;-a

...'ZkAPE_4_5,

S/kCDG.23a24

52

综上所述，AAPE与△COG面积的比值为3或5.

44

八、解答题(满分14分)

26.(14分)如图，抛物线y=-¥+bx+c与x轴交于点A和点C(-1,0),与y轴交于

点3(0,3),连接A3,BC,点P是抛物线第一象限上的一动点，过点