高中数学与数学竞赛校本教材教案

高二年级

数学

高中数学与数学竞赛

目录

第一讲二次函数与命题............1

第二讲数列...................7

第三讲复数......................14

第四讲三角函数.................20

第五讲不等式...................27

第六讲立体几何.................37

第七讲整数问题.................46

第八讲平面向量.................51

第九讲集合与简易逻辑...........57

第十讲组合......................66

第十一讲极限与导数【二课时】70

第一讲二次函数与命题

三维目标

1.知识与技能：(1)理解指数与对数，指数函数与对数函数的联系.

(2)能更加熟练地解决与指数函数，对数函数有关的问题.

2.过程与方法：通过提问，分析点评，让学生更能熟悉指数函数，对数

函数的性质.

3.情感、态度、价值观

(1)提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构.

(2)培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力.

二.重点、难点重点：指数函数与对数函数的性质。

难点：灵活运用函数性质解决有关问题。

三、学法：讲授法、讨论法。

教学过程：

—.知识点

1.二次函数：当a工0时，.丫=以2+灰+'j(x)=ax2+bx+c称为关于x的二

h

次函数，其对称轴为直线x=-二~,另外配方可得_/W=a(x-xo)2+/U。)，其中

2a

xo--—，下同。

2a

2.二次函数的性质：当a〉0时，/U)的图象开口向上，在区间(-8,加上随

自变量x增大函数值减小(简称递减)，在区),-8)上随自变量增大函数值增

大(简称递增)。当a<0时，情况相反。

3.当a>0时，方程Xr)=O即ax2+bx+c=0…①和不等式加+笈+(?>0…②及

cv^+bx+cO…③与函数J{x)的关系如下(记△-b2-4ac)。

1)当△>()时，方程①有两个不等实根，设用423<%2),不等式②和不等式③

的解集分别是{x|x<Xl或X>X2}0{A：|x1<X<X2}»二次函数/(X)图象与X轴有两个

不同的交点，/(x)还可写成j[x)=a(x-x\)(.x-xi).

1

h

2）当△=（）时，方程①有两个相等的实根用=九2=次=-不等式②和不等式③

2a

的解集分别是｛X|XH-2｝和空集0,/U）的图象与X轴有唯一公共点。

2a

3）当△<（）时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和。.於）

图象与x轴无公共点。

当。<0时，请读者自己分析。

4.二次函数的最值：若a>Q,当x=xo时，7U）取最小值«»））=-----------港。<0,

4a

贝ij当x=xo=2时，*x）取最大值於（））=把——.对于给定区间［m,〃］上的二次

2a4a

函数4工）=加+公+。（。>0）,当xoG［m,同时，y（x）在［m,〃］上的最小值为人次）；当

xo<m时。上）在［m,〃］上的最小值为加1）；gxo>n时，段）在［m,〃］上的最小值

为人〃）（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命

题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题

与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命题；“p

且/'复合命题只有当p，g同时为真命题时为真，否则为假命题；〃与“非p”

即恰好一真一假。

定义2原命题：若〃则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命

题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pnq否则记作p#q.在命题“若

〃则<?”中，如果已知p=>q,则〃是q的充分条件；如果q=>p,则称〃是夕

的必要条件；如果pnq但q不np,则称。是q的充分非必要条件；如果p

不=>q但pnq,则〃称为q的必要非充分豕件；若p=>q且qnp,贝Ip是q

的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1设方程/-x+l=O的两根是a,B,求满足/（a）=6次B）=a<1）=1的二

次函数凡0

【解】设f（x）=ax2+bx+c（a*0）,

则由已知人a）=8次0）=a相减并整理得（a-B）［（a+p）a+b+\］=Q,

因为方程<-户1=0中△wO,

所以a*B,所以（a+B）a+b+l=O.

又a+6=1,所以a+b+l=O.

又因为1）=a+b+c=1,

2

所以c-l=l,所以c=2.

又b=-(a+1),所以«¥)=加-(。+l)x+2.

再由/(a)=B得aa2_(a+])a+2=B,

所以aa2/a+2=a+B=1,所以aa2_。a+1=0.

即a(a2_a+1)+1-4=0,即1-°=0,

所以0=1,

所以

2.方程的思想。

例2已知«幻=以2_c满足勺(2)W5,求43)的取值范围。

【解】因为-4qU)=a-cWl,

所以1W-/(l)=c-aW4.

Q5

又-1勺(2)=4a-cW5,/3)=-^2)-y1),

OCQC

所以§*GD+qW./(3)W—x5+—x4,

所以-l《*3)W20.

3.利用二次函数的性质。

例3已知二次函数兀^尸以^+笈+以^力^^艮。彳。)，若方程y(x)=x无实根，求

证：方程火Ax))=x也无实根。

【证明】若a>0,因为人工)=光无实根，所以二次函数g(x)=fix)-x图象与x轴无

公共点且开口向上，所以对任意的xeR<x)-x>0即«x)>x,从而用(x))次x)。

所以胆x))>x，所以方程欢x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

例4设二次函数於)=a『+bx+c(a>0),方程*x)=x的两根xi,X2满足0<XI<X2<L

(I)当xG(0,xi)时，求证：x<f(x)<xi；

x

(II)设函数/U)的图象关于X=%0对称，求证：X0<-y.

【证明】因为羽,尢2是方程.加>%=0的两根，所以.人龙)-x=aOxi)O尢2),

即j(x)=a(x-x\)(x-X2)+x.

(I)当x6(0,xi)时，x-xi<0,x-X2<0,a>0,所以

其次J(x)-x]=(x-x\)[〃Ox2)+1]=a(x-x\)[x-x2+—]<0,所以J(X)<Xi.

综上，x<J(x)<x\.

(II)fix)=a(x-x\)(x-X2)+x=o¥2+[1-a(x\+x2)]x+ax\X2,

Q(X]+X2)-1_+X

所以X()=2

22a

3

所以/4=£-5=；卜-£|

<0,

所以/<£.

5.构造二次函数解题。

例5已知关于x的方程(依+1)2=/(小/),">1,求证：方程的正根比1小，负

根比-1大。

【证明】方程化为2a27+2奴+1_屋=().

构造於)=24/+2分+1-a2,

X1)=(a+1)2>0,/-1)=(«-1)2>0,胆)=l-o2<0,即△>0,

所以人x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6当x取何值时，函数产上匚¥取最小值？求出这个最小值。

(x2+l)2

5

【解】+（X2+1）2，令—T—=U,则0<UW1O

+1

19、19

y=5u2-u+l=5H---2--，

2020

1io

且当〃=一即户±3时，ymin=­.

1020

例7设变量x满足f+bxW-xSv-l),并且/+云的最小值是-,，求人的值。

2

【解】由*2+必W-%(。<-1),得OWxW-S+1).

i)--^-(b+l)>即〃W-2时，f+bx的最小值为-生,-生=」，所以。2=2,

2442

所以人=±四(舍去)。

b

ii)-->-0+l),即8>-2时，/+必在［0,-3+1)］上是减函数，

13

所以j^+bx的最小值为6+1,0+1=-一,h=--.

22

综上，b=--.

2

7.一元二次不等式问题的解法。

例8已知不等式组"一"+"一"-(°①②的整数解恰好有两个，求。的

x+2a>1

取值范围。

4

【解】因为方程/-尤+如/=。的两根为xi=&,苫2=1-。，

若aWO,则xi<x2.①的解集为a<r<l-a,由②得尤>l-2a.

因为l-2a》l-a,所以aWO,所以不等式组无解。

若。>0,i)当0<a<，时，xi<X2,①的解集为

2

因为0<a<r<l-a<l,所以不等式组无整数解。

ii)当时，a=\-a,①无解。

2

iii)当时，a>\-a,由②得x>l-2a,

2

所以不等式组的解集为

又不等式组的整数解恰有2个，

所以且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且当时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是l<aW2.

8.充分性与必要性。

例9设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+3(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)20①

对一切实数x,y,z都成立，问A,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必

要条件，而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,C20且

先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(RA-C)S-z)(x-y)+CO-z)2N0②

若A=0,则由②对一切x,y,z£R成立，则只有B=C,再由①知B=C=O,若AwO,

则因为②恒成立，所以A>0,△=(RA-C)2(y_z)2_4AC(y-z)2W0恒成立，所以

(B-A-C)2_4ACW0,即A2+B2+C2^2(AB+BC+CA)

同理有320,CBO,所以必要性成立。

再证充分性，若A20,820,C^OKA2+B2+C2^2(AB+BC+CA),

1)若A=0,则由B2+C2W23C得002^0,所以3=C,所以△=(),所以②成

立，①成立。

2)若A>0,则由③知△W0,所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9.常用结论。

定理1若a,b£R,同-|例国4+1W|a|+|例.

【证明】因为-|a|WaW|a|,他WbW|b|,所以-(|a|+-|)Wa+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+|b|(注:若m>0,则-mWxWm等价于|x|Wm).

y.\a\=\a+b-b\W\a+b\+\-b\,

即同-|例W|a+例.综上定理1得证。

定理2若a,/?GR,则屋若无,ydR+,则x+y2

(证略)

5

注定理2可以推广到〃个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

三.课外练习

1.下列四个命题中属于真命题的是,①“若x+y=O,则x、y互为相

反数”的逆命题；②“两个全等三角形的面积相等”的否命题；③“若

则9+*+4=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆

否命题。

2.由上列各组命题构成“〃或且夕”，“非形式的复合命题中，p

或q为真，p且夕为假，非〃为真的是.(Dp；3是偶数,q：4是奇

数；②p:3+2=6,q:③p:ae(q,/j),q：{a}•{。力}；④p：Q<^R,q\N=Z.

3.当岳2|<a时，不等式成立，则正数a的取值范围是.

4.不等式加+(次?+1)1+。>0的解是l<x<2,则a,b的值是.

5.xw1且元工2是x-1Hy/x-\的条件，而-2<m<0且0<”<1是关于

x的方程7+皿+〃=0有两个小于1的正根的条件.

6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是.

7.若S={x|mf+5x+2=0}的子集至多有2个，则m的取值范围是.

8.R为全集，A={x\3-x^4],B=\x-^->1则.

x+2

9.设a,6是整数，集合A={(x,y)|(x-a)2+30W6y},点(2,1)6A,但点(1,

0)定A,(3,2)则。力的值是.

10.设集合A={x||x|<4},8={x*-4x+3>0},则集合{m;GA且

x^AC\B}=.

11.求使不等式"2+4x-i2_2f-a对任意实数x恒成立的。的取值范围。

丫2—0kY;k—4vo

12.对任意x£[0,l],有，①②成立，求2的取值范围。

x2一心—+3>0

6

第二章数列

教学目标：

知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的

异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解

数列的前n项和与的关系

过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，

提高数学学习的兴趣。

重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项

难点：理解递推公式与通项公式的关系

教学过程：

一.知识点

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1,2,3,…，.数列分有穷

数列和无穷数列两种，数列｛小｝的一般形式通常记作0,。2,。3,…，小或

3,…,o其中0叫做数列的首项，如是关于〃的具体表达式，称为数列

的通项。

定理1若S”表示｛aa｝的前〃项和，则Si=m,当〃>1时，a„=Sn-Sn.i.

定义2等差数列，如果对任意的正整数〃，都有服+IF,产d(常数)，则｛分｝

称为等差数列，d叫做公差。若三个数a3,c成等差数列，即20=a+c,则称人

为a和c的等差中项，若公差为d,则a=dd,c=Hd.

定理2等差数列的性质：1)通项公式a”=ai+(〃-l)d；2)前〃项和公式：

S“="(4.+%.)=~—d；3)«n-tzm=(n-m)d,其中〃,m为正整数；4)

22

若〃+m=p+q,则a"+am=aP+ag；5)对任意正整数p,q,恒有ap-a“=(p-q)(a2-ai)；

6)若A,8至少有一个不为零，则｛斓是等差数列的充要条件是S〃=A〃2+B〃.

定义3等比数列，若对任意的正整数〃，都有4=q,则｛a,,｝称为等比数

册

7

列，4叫做公比。

定理3等比数列的性质：1)小="应"；2)前〃项和S",当行1时，

S”=3_l!_42；当q=\时，Sn=na\；3)如果a,b,c成等比数列，即lr=ac(b^0),

i-q

则b叫做a,c的等比中项；4)若m+n=p+q,则aman=aPaqo

定义4极限，给定数列｛d,｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的

〃>M(〃eM渚I^|a"-A|<£，则称A为〃f+8时数列｛的｝的极限，记作liman=A.

00

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列仅〃｝的公比夕满足同<1,则称之为无

穷递增等比数列，其前〃项和S”的极限(即其所有项的和)为5-(由极限

i-q

的定义可得)。

定理3第一数学归纳法：给定命题p(〃)，若：(1)p(〃o)成立；(2)当p(〃)

时〃=%成立时能推出M〃)对〃=%+1成立，则由(1)，(2)可得命题p(〃)对一

切自然数〃2〃o成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：给定命题〃(〃)，若：(1)p(〃o)成立；(2)当p(〃)

对一切〃Wk的自然数〃都成立时a2〃o)可推出p(A+l)成立，则由(1),(2)

可得命题p(〃)对一切自然数"三〃o成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列X"=ar,“+/z^2,设它的特征方程fma+b

的两个根为a,B:⑴若aNB,则x”=cia""+c2B",其中ci,ci由初始条件xi,

X2的值确定;(2)若a=B,则X"=(a〃+C2)a"“，其中ci,C2的值由xi,X2的值

确定。

二、方法与例题

1.不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正

确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想

~数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项(不要求证明)；1)0,3,8,15,24,35,…；

2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。

2

【解】1)“"="2-1;2)aa=3"-2"；3)an=n-2n.

例2已知数列｛小｝满足+…+如=/斯,”21,求通项a”.

【解】因为ai=，，又。|+.2=22•。2,

2

所以。2=—。3=勺"=」一潴想％=—!—(〃2)・

3x232-13x4"〃(〃+1)

8

证明；1）当〃=1时，ai=」一，猜想正确。2）假设当〃WZ时猜想成立。

2x1

当〃=攵+1口寸，由归纳假设及题设，QI+。1+…+m=[（Z+l）2-l]以+1,，

1

所以=k(k+2)ak+i,

攵x(Z+l)

BP1--4--H---F------=女(女+2)〃&+1,

223kk+1

ki

所以---二k(k+2)ak+1,所以以+1=------------

Z+1(Z+1)(2+2)

由数学归纳法可得猜想成立，所以%=小

例3设数列｛。〃｝满足小=1+〃,。小1=〃+’~,求证：对任意〃£N+,有

%

1.

【证明】证明更强的结论：l<a〃Wl+a

1）当〃=1时，1<防=1+〃，①式成立；

2）假设修攵时，①式成立，即IvzWl+a,则当〃=左+1时，有

F1、11+。+。〜1+。1

]+Q>Q〃+]=---FQ之----bQ=-------->-----1.

aki+al+al+a

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2.迭代法。

数列的通项z或前〃项和S”中的〃通常是对任意〃dN成立，因此可将

其中的〃换成“+1或〃-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4数列满足i+qa"-2=0,〃23,qwO,求证：存在常数c,使得

n

«Ii+PCS。an+qal+cq=0.

【证明[+pan+}•a”+i+qa；+]=an+2(pa>i+\+an+2)+qa~l+x=atI+2,(-qan)+qa^+i=

4(端+1-44+2)=况力+i+a“⑦qn+i+qag=q(a3+pall+]atl+«；).

若a；+〃。2%+qa；=°，则对任意〃，a：+i+〃a“+i%+qa：=0，取c=0即可.

若a；+pa2a1+qa；wO,则｛+qa；｝是首项为婚+pa2al+qa；，

公式为q的等比数列。

所以a,ti++qa；=（a；+pa2ax+qa；）•

取c=-（a；+pa[%+q”；）•L即可.

q

综上，结论成立。

例5已知ai=o,m+1=5。"++1,求证：都是整数，〃GN+.

【证明】因为0=0,42=1,所以由题设知当〃21时Z+A&.

9

又由z+i=5a"+j24%+1移项、平方得

TO。”—+片-1=。①

当刀22时,把①式中的〃换成〃-1得烯-1()4/,1+。3-1=()，即

«Li-10a„«„+l+a,^-1=0.②

2

因为an-]<an+\,所以①式和②式说明an+\是方程x-10a；x+a^-1=0的两个

不等根。由韦达定理得a”+i+an-i=10an(n^2).

再由G=0,敛=1及③式可知，当〃WN+时，斯都是整数。

3.数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6已知。"=---^—^7-(rt=l,2,…)，求S99=ai+42+…+。99.

4"+2

【解】因为

12x21°°+4"+4*1

ci/i+aioo-/i=------R+—

4"+2'004loo-；,2,0°41(X)x2+2i°°(4“+4100-//)-2100

11

\

+%X9999一

所以S99:2-T7=2-=

0021002101

11+・・・+]

例7求和：Sn=--------1--------

1x2x32x3x4+1)(〃+2)

k+2-k

【解】一般地,

%(女+1)(%+2)2%(女+1)(2+2)

\(1

(Z+1)

一九/+1)/+2)

〃1

所以*=自4/+1)优+2)

---------------------------1------------------------4-•••H---------------------------------------------

21x22x32x33x4〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

J_11

(〃+1)(〃+2)_

__________]

42(〃+1)(〃+2)

例8已知数列｛。〃｝满足。1=42=1,斯+2=。〃+1+。〃,S〃为数歹'的前n项和,

”"J

求证：S»<2o

【证明】由递推公式可知，数列他”｝前几项为1,1,2,3,5,8,13。

10

中…112358a„

①

222322262"

1。1235a

②

2222324252,,+,

11

s-

一

-一-

2〃2

111

-+S

2--2-4-

«■

又因为sws”且相＞。,

所以;5“+所以;5“＜；,

所以S〃＜2,得证。

4.特征方程法。

例9已知数列｛a〃｝满足防=3,。2=6,。〃+2=4〃+卜4斯,求Cln.

【解】由特征方程f=4x-4得XE2=2.

3=a+0

故设。〃=(a+B〃)•2〃"，其中<

6=(a+2/)x2

所以a=3,8=0,

nl

所以an=3•2-.

例10已知数列｛。?｝满足QI=3,。2=6,。〃+2=20什1+3。〃，求通项an.

【解】由特征方程r=2九+3得xi=3,%2=-1,

所以a〃=a-3"+B•(4)〃，其中F=3”",

6=9a+〃

33

解得a=—,B=---，

44

所以a“=；［3用+(—1严・3］。

5.构造等差或等比数列。

例11正数列ao,ai,…,跖〃…满足一击"-田”-2=2a”-i(42)且ao=ai=l,

求通项。

11

令儿=曰+1,则他“｝是首项为、幺+1=2,公比为2的等比数歹I」,

所以加=、乌-+1=2",所以&=(2«-1)2,

Van-\

所以m=2•…•如=口(2*-1)2.

an-\an-2a\a0k=\

注：n。/=C1•C2.........Cn.

/=1

r24.2

例12已知数列｛斯｝满足犬尸2,财+1=%t,〃£N+,求通项。

2%

【解】考虑函数型的不动点，由二^=x得

2x2x

r24-2

因为汨=2,心+1=上士，可知｛%“｝的每项均为正数。

2七，

又x：+222j^x”，所以x〃+i2&（〃21）。又

Xe一行=2_血”「母,①

2七，2x“

X“+i+/+行=（居+后丁，②

2%2xn

由①+②得"向一B邙］0③

x“+i+j2|_x“+j2」

又三二吗＞0,由③可知对任意〃GN+,上里〉0且

XI+J2X〃+J2

xn—V2纪g,公比为2的等比数歹U。

所以1g是首项为1g

2+V2

2”-1

所以1g也二^=2'T2-V2，所以二2-V2

1g

怎+72+V22+V2

(2+扬2*'+(2-扬2-1

解得招=痣

(2+V2)2"-(2-V2)2"

注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

12

三、课外练习题

1.数列｛X〃｝满足沏=2,x”+i=S”+（〃+l）,其中S”为“”｝前〃项和，当〃22时，

Xn=.

12丫

2.数列｛*“｝满足xi=—,北+尸----，则｛用｝的通项刘尸_________.

23怎+2

3.数列｛x,i｝满足xi=1,xn=g%„_（+2n-1（〃22）,则｛x”｝的通项xn=.

4.等差数列｛0｝满足3a8=5ai3,且ai>0,S”为前〃项之和，则当S”最大时，

n=・

5.等比数列｛而｝前〃项之和记为S〃，若S】o=lO,S3O=7O,则S4O=.

6.数列｛»?｝满足明+l=X〃-X〃-l（〃22）,元产4,九2="S后X1+X2+…+皿，则

S100=.

2

7.数列｛呢｝中，Sn=a1+«2+•,,+an=n-4n+1贝lJ|〃i|+|a2|+,・,+|〃io|=.

8.若」^=-1-=」一=•..=—2—,并且幻+X2+…+%=8,贝I」

$+1%+3当+5+2〃-1

x\=.

9.等差数列｛&〃｝,｛%｝的前〃项和分别为S〃和〃，若也=*-,则

,3〃+1

l〃一i»m8—=.

n

20072।1

10.若〃!二〃（小1）…2•1,则£（一1）"--f——=.

«=1%

11.若｛&"｝是无穷等比数列，为正整数，且满足。5+。6=48,/og242•/og2a3+

log2a2,log2a5+log2a2,log2a6+logias,/og2a6=36,—■的通项。

MJ

12.已知数列｛小｝是公差不为零的等差数列，数列｛《｝是公比为q的等比数

列，且历二1,历=5,历=17,求：（1）g的值；（2）数列｛5J的前〃项和S〃。

13

第三讲：复数

三维目标

知识与技能：掌握复数的加法运算及意义

过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律

情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数

形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关

概念

二、教学重点,难点：复数加法运算.复数加法运算的运算律.

三、教学过程设计

(-)基础知识巩固与学习

1.复数的定义：设i为方程x2=-l的根，i称为虚数单位，由i与实数进行

加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi(a,b£R)的数，称为复数。所有

复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。

2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a.beR),a称实部记作Re(z),b

称虚部记作Im(z)。z=a+bi(a,beR)称为代数形式，它由实部、虚部两部分

构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相

对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映

射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，

y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐

标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表

示形式，称为向量形式。

3.共趣与模，若2=2+加，(a.bGR)，则W=a-bi称为z的共枕复数。模与

2

共趣的性质有：(1)z,+z2=zt±z2；(2)z,­z2=2,•z2；(3)z-z=|ZI;

14

(4)㈤=①；(5)|z,-z2|=|z".|z"；(6)|五|=山；(7)||Z||-|z2||

z

l2Jz2|z2|

^|z1±z2|^|z1|+|z2|；(8)|ZI+Z2|2+|ZI-Z2|2=2|ZF+2|Z2「；(9)若|z|=l,

-1

则z=—。

z

4.复数的运算法则：(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范

围内一致，运算结果可以通过乘以共掘复数将分母分为实数；(2)按向量形

式，力口、减法满足平行四边形和三角形法则。

5.单位根：若wn=l,则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记

OTT0TT

Z,=cos—+zsin—,则全部单位根可表示为1,ZI,Z：,…,Z；i。单位根的基

nn

本性质有(这里记Z*.=Zf,k=l,2,…,n-1)：(1)对任意整数k,若1<=叫+1",4

eZ,0WrWn-l,有ZM=Z,；(2)对任意整数m,当n22时，有

ln2

1+2；"+2丁+--+23=1°'肥"〃'特别l+Zi+Z2+・“+ZnT=0；(3)x"+x-+-

当九|m,

2-1

+x+l=(x-Zi)(x-Z2)—(x-Zn-i)=(x-Zi)(x-Z])—(x-Zf)o

6.复数z是实数的充要条件是z=2；z是纯虚数的充要条件是：z+2=0(旦

z70)。复数z是实数的充要条件是z=*z是纯虚数的充要条件是：z+z=0

(且zWO)。

7.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。实系数方程

虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(bW0)是

方程的一个根，则乞=a-bi也是一个根。若a,b,c£R,aW0,则关于x的方程

22

ax+bx+c=0,当△=b-4ac<0时方程的根为为2==”土。

’2a

(二)例题分析

例1：求证：当nCN.时，方程(z+1产+(z-l)2n=0只有纯虚根。

15

证明：若Z是方程的根，则(z+l)%=一(z-1产，所以|(z+l)2n|=|-(z-l)21

即|z+l|2=|z-l|2,即(z+1)(2+l)=(z-D(NT),化简得z+N=O,

又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。

例2：设入GR,若二次方程(l-i)x2+(入+i)x+l+Ai=O有两个虚根，求人满

足的充要条件。

丫2+jQ

解：若方程有实根，则方程组，有实根，由方程组得

2

x-x-^=0

(入+l)x+入+1=0.若入=T,则方程x2-x+l=0中A<0无实根，所以入W

-lo所以x=T,入=2.所以当入W2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的

充要条件为人#2。

例3：证明：自。0上任意一点p到正多边形A岛…A”各个顶点的距离的平方

和为定值。

证明：取此圆为单位圆，0为原点，射线04为实轴正半轴，建立复平面，

顶点A对应复数设为£=e"',则顶点A2A3…A”对应复数分别为”，…，

£no

设点p对应复数z,则z|=l,

2

且又=2n-f|pAk|='|z-(z—£、(z-£")=t(2-/z"z)

k=\2=1女=12=1

=2n_=2〃—zZ——=2n.命题得证。

k=\k=\k=lk=l

例4：平面上给定△A1A2A3及点Po,定义AS=AS-3,S，4,构造点列p0,Pi,p2,­•*,

使得Pk+i为绕中心Ak+i顺时针旋转120°时Pk所到达的位置,k=0,1,2,…，若

P1986=Poo

求证：△A九人为等边三角形。

证明：令u=e号，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面

为复平面，贝IPi=(l+u)A「upo,p2=(l+u)A2-upi,①p3=(l+u)A3-up2②

16

由①Xu,+②X(-u)得p3=(l+u)(A3-uA2+uA)+p(>=w+po,w为与p(,无关的常数。

同理得P6=w+p：；=2w+po,…，pi986=662w+p0=po,所以w=0,从而As-uAa+u^^O.

由u?=uT得A「A尸(A2-AI)u,这说明AAiA2A3为正三角形。

例5：设A,B,C,D为平面上任意四点，求证：AB・AD+BC・AD2AC・BD。

证明：用A,B,C,D表示它们对应的复数，

则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),

因为|A-B|•|C-D|+1B-C|•|A-D|2(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)o

所以|A-B|・|C-D|+|B-C|・|A-D|2|A-C|・|B-D|,当“=”成立时当且仅当

R-AB-CD-AB-C

4吆(-----)=Arg(-----),即4rg(-----)+Arg(-----•)=?!,即A,B,C,D

D-AC-DB-AD-C

共圆时成立。不等式得证。

例6：△ABC的顶点A表示的复数为3i,底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2,

求AABC的外心轨迹。

解:设外心M对应的复数为z=x+yi(x,yGR),B,C两点对应的复数分别

是b、b+2。因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为

|z-b|=|z-3i|,BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|,所以点M对应的复

数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-21,消去b解得/=6(y-■!).所以△ABC的外心

轨迹是轨物线。

「99

例6：计算：(1)偏一。叁+。％--一+或；⑵c；o。一脸+脸C100

解：由二项式定理(1+i)咚

%+c：°°i+cM+-+G#9+cM°°=(偏一。"1一+啮)+(

G'(x)-C|00+Gio----4)i，

比较实部和虚部可得G%-Gh+G%-…+畸=-2咒

17

例7：已知f(z)=Coz"+C|Z"T+…+Cn-iz+c“是n次复系数多项式(c()WO)。

求证:一定存在一个复数Zo,IZolW1,并且|f(Zo)121coi+|c』。

证明:记CoZn+Ciz'"+…+Cn-iZ=g(z),令，=Arg(Cn)-Arg(z0),则方程g(Z)-Coe1

°=0为n次方程,其必有n个根,不妨设为z”Z2,…，z”,

<l

从而g(z)-coe1=(z-zi)(z-z2).......(z-zn)c0,令z=0得-c()e'"=(T)"ziZ2…ZKO,

取模得|z&…ZnUl。所以Z|,Z2,…，Zn中必有一个Zi使得|zjWl,

i(l

从而f(Zi)=g(Zi)+Cn=Coe'"=Cn,所以|f(z)|=|c0e+c„m'C0|+|c„|.

四、课堂练习(基础和提高)

1.复数z满足|z|=5,且(3+4i)・z是纯虚数，则1=o

2.已知z=----^7=-,则l+z+z°+…+z侬2=o

1+V3Z

3.若zJ"3i)2(T：3，)i。,则________o

(1-y

4.已知复数z满足llz/lOiz'+lOizTkO,求证：|z|=l.

5.复平面上，非零复数zl,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，£・Z2的实

TT

部为零，Zl的辐角主值为一，则Z2=__________0

6

6.若zWC,且|z|=l,u=z"-z3-3z2i-z+l.求|u|的最大值和最小值，并求取得最

大值、最小值时的复数z.

五、小结

复数相关知识点在多项式、二项式定理中的应用，复数与几何的关系，

复数乘法的几何意义，模、单位根的应用，复数相等与复数是实数的充要条

件的求解。

六、提高训练

1.设复数z=cos。+isin。(0W。Wn),复数z,(l+i)z,2N在复平面上对

应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R不共线时，以PQ,PR为两边的平行

18

四边形第四个顶点为S,则S到原点距离的最大值为

1c

2.设卬=-一+—z,Zi=w-Z,Z2=w+z,Zi,Z2对应复平面上的点A,B,点。为原

22

点,ZA0B=90°,|AO|=|BO|,则AOAB面积是

3.当nSN,且IWnWIOO时，K无产y+ir的值中有实数

个。

4.设非零复数3),0.2,3|>a$满足

。2_。3_。4_a5

qa2%。4

%+%++。4+。5=~(^)++。3+。4+。5)=S,

其中S为实数且ISIW2,求证：复数为通2,23通”25在复平面上所对应的点位

于同一圆周上。

5.设Zi,Z2,Z3为复数,求证:

|zi|+|z2|+|z3|+|Z1+Z2+Z312|Z1+Z21+1Z2+Z31+1Z3+Z110

19

第四讲：三角函数

【三维目标】：

一、知识与技能

1.借助正切线画出正切函数的图象，并通过图象理解正切函数的性

质。

2.能够应用正切函数性质解决一些相关问题。

3.掌握用数形结合的思想理解和处理有关问题的技能；发现数学规

律，提高数学素质，培养实践第一观点.

二、过程与方法

1.类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；让学生通过类

比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正

切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导

公式和正切函数的性质。

2.通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数

性质中的作用，渗透”数形结合”的思想

三、情感、态度与价值观

1.会用联系的观点看问题，使学生理解动与静的辩证关系。

2.通过学生动手操作，激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学

生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度

和勇于创新的精神。

20

四、方法与例题

例1：设x£(0,兀)，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。

【解】若xw则cosxWl且cosx>・l,所以cosxe(-会0,

所以sin(cosx)W0,又OvsinxWl,所以cos(sinx)>0,

所以cos(sinx)>sin(cosx).

若,则因为

sinx+cosx=V2^-sinx+^-cosx=V2(sinxcos—+sin—cosx)=V2sin(x+—)

k22J444

2

所以0<sinx<--cosx<—,