2022-2023学年湖南省常德市统招专升本高数自考真题(含答案)

2022-2023学年湖南省常德市统招专升本高

数自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

1.

123]

已知A=456.则A,中位于第2行第3列的元素是()

709

A.-14B.—6C.6D.14

2.

曲线y=(£一1尸的拐点为()

A.(0.1)B.（1,0）

C.(2.1)D.不存在

3.

平面1+»—=9与平面2r+4.y+3==3垂直，则k-()

A.1B.2C.4-D.；

4

4.

当JTf0时，r+k是sin.r()的无穷小.

A.高阶B.低阶C.同阶D.等价

5.

下列各式成立的是()

A.linn2sin-X=1B.lim©。支=।

X一,三一r

2

C.lim=1D.lim迎=1

6.

,下列函数中，哪个是寸+e的原函数)

A.-^-(e'+e-')2B.)(e，_er

C./d+e—)D.e"—e)

7.

由直线_r=l.x=e,y=0及曲线y=上所围成平面图形的面枳为()

J-

A.1B-fC.cD.c-1

8.

下列级数中.发散的是()

A.Zsin等B.y(-1)"—

仁«

C?(打

11-I〃

9.

已知/(.r)=x,则lim八"+2竽二/（"）=()

a-*。

A1B.1C.2D.-2

，2

10.

1

极限lim；+：§(\

…83〃+1J”？+1

A.3B.8C.0DT

11.

微分方程sinjcosvdj*+cosjsii\vdj-=0的通解为)

A.sinjcos^y=CB.cos.rsirv=(C.sin.rsinv=CD.COSTCOSJ/=C

12.

设曲线J'（，为参数），则%=

D.3f

13.

极限lim,3rly

二：7a-.y+1-1

A.3B.6C.不存在D.9

14.

/—I

设函数/(.r)=।।则其第一类间断点为

I才I(1—1)

A.1=1B..r=-1C.J=0D./=±1

15.

函数v=a的单调减区间为

JC

A.(0♦J)B.(-M,o).(。・少

C.(0.+E)D.

16.

1r2019

.j-|(-cos/2)d/=

d/Jsirw

A.-COSH?B.cos(sin_r)2cos-r

C.j-cos.i'2D.cos(sinjz)

17.

设函数为奇函数，g(1)为偶函数,则复合函数为

A.奇函教B.偶函敕C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

18.

,广义积分］冷~~7A=()

J—1十e

A.一ln2B.1C.In3D.In2

19.

二元函数：•=一4ry+5y2+2y的极小值点为()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.<2.1)D.(-2,-1)

20.

设y=ln(14-x).则y<a'=)

A.(-1)(»-D!R(-1)-(»—1)!

(T+7F(1+x)"

〃！

C.(-1)D.(-1尸(H-D!

（1+x）n(1+.「)-

、填空题（10题）

如果lim(-1—cu'—〃)=0.贝Ija=

।»+--•

21.,b=

设U=.1!+sin2V+c"’,则全微分d"=

22.

23.

__1N

已知级数收敛，则“应满足

24.

/(工，-2d>r)—f(s,)

设f（-r）在点口可导，则lim

25.»-*（1

已知土=ln(jry),则李-

yd.「

26.

27.

己知函数/口）在x=0的某邻域内连续，且/（0）=0,八0）=-2,则极限lim止也

一02sinx

28.

设函数f（"）可微，且/"（0）=；，则z=〃4/-y）在点（1,2）处的全微分=

ZH1.2>

29设A'=）,（/）由方程/+外2+2y=1确定,则dy=

oo

堀级数X■的收敛域为

30.W2

三、判断题（10题）

31.

dx=arccosa+

1—M

A.否B.是

在数列｛4｝中任意去掉或增加有限项，不影响｛〃”｝的极限.

32.A.否B.是

1

极限lim(J./+干+…+=1.

…卬＜

33v1+H/2+■A.否B.是

34.

在切线斜率为2上的积分曲线族中，通过点（1.4）的曲线是y=2z+2.（）

A.否B.是

函数/(x)=e，与/(.r)=In①的图形是关于原点对称的.

35.A.否B.是

lim-r”=a当且仅当lima'?”=limi21rH=a.

u-»©Ofl—♦OQ1r——

36.A.否B.是

37.

j|1—.I'IcLr=3.()

A.否B.是

_sin(.r+cos^)d.r=0.

38.dwJTA.否B.是

39.

设函数f(x)在点.r=1处可导,且lim/(I一2，一/⑴=《，则/，⑴=1

h-i>h乙4

()

A.否B.是

40.

已知y=ln[cos(10+3/.则dy=—6.rtan(10+3/〉.()

A.否B.是

四、计算题(5题)

、|目产X>()，ri

设/(J>=J求定积分/(.r)cLr.

J-I

•T<0,

41.1+e'

已知:：=/(JF+1,e；),/(“.◎)可微，求MF，

42.

求极限linicot-r•/~4------k

一o\sin/XI

43.

求极限lim%78SX

x

44^°sinx-xcosx

45.

求由曲线.y=合及)=石所围成的平面图形的面积.

五、证明题（2题）

46.

21.设函数7（2）在［-a,a］上连续（a>0,且为常数）,证明：［/（上）业=［：［/'（］）+

八一公］山,并计算：「雷J也

J-f1十e

证明：当、r>0时，有（1+1+了）〉arctan.r.

47.

六、应用题（5题）

某商品的需求函数为Q=23—P,求：

（1）P=2时的需求弹性,并解释所得结果的经济含义；

（2）在P=2时，若价格P上涨1%,总收益的变化情况;

（3）P为何值时，总收益最大.

（结果保留两位小数）

48.

49.

如图所示.设电灯可沿垂线OB移动，根据物理学知识可知，亮度J与sin。成正比.与距

离r的平方成反比.即J=绥比，其中R为正常数.问电灯与水平面的距离儿为多大时，才

r

能使水平面上的点A处获得最大亮度？此时亮度是多少？

第20题图

50.

某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是八M千件）.甲厂的月生产成本是

G=>-2z+5（千元），乙厂的月生产成本是仁=V+2y+3（千元）.若要求该产品每月总

产量为8千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本.

51.

假设某企业生产的一种产品的市场需求量Q（件）与其价格〃元）的关系为Q（Z>）=

120—总成本函数为C（Q）=100+5Q.问：当。为多少时企业所获的利润最大,最大利润为

多少？

52.

设一物体其下端为直圆柱形，其上端为半球形，如图所示.如果此物体的体积为V.问

这物体的尺寸各是多少时,才能使其表面积最小？

参考答案

1.C

【精析】A'中位于第2行第3列的元素记为a2s.

13

2+3

但=<-l)M32=-=6.M32为矩阵A的第3行第2列元素的余子式.

46

2.D

【精析】［=4(x-l)\/=12(l-1产,令丁"=0,解得工=1.当.r>1时,y”>0.

当1时~”>0,故函数y=(.r-l)1不存在拐点.

3.A

［答案IA

【精析】因为两平面垂直，所以两平面的法向量垂直，则1X2+AX4-2X3=0.解

得A=1•故应选A.

【精析】lim”丁2=lim--土^=lim(J-2+1)=1.故应选D.

4.DjHSIILTLO1

号"一'=''

【精析】因为1而三也---------lim出^=1.故应选B.

X_.(-<1/

-2-

八1.situS1H.F2

而link/sin—=0<lim———=0.lim

n

5.B

6.D

【精析】A项：；(十+「尸=4・2(e，+e-^)♦(eJ—e-i)=e2x—e~2j：

乙乙

B项：「)1-e-')27=~•2(ex-e-J)•(e'H-e-')=e"—e，；

C项：；(e"+e~2x)，=J(eO・2—Se-2-1-)=e2x—e-2x；

乙L»

D项：(e，—k，)'=e，+e~；

［答案］A

【精析】如图所示,即为所求图形，则其面积

［答案］A

【精析】由于极限limsin等不存在,故级数>>in子定发散•故选A.

-3„；<5

9.C

［答案］C

【精析】由题可知/'（,/）=1,所以

lim/（"+2”）一/（“）=2Hm/（"+2¥）—/（。）=2/3=2.

3HA.r»一“2dr

10.D

冒+11/r+11

【精析】iim=lim

37+1…8(3〃+1)，滔+13

^/nrT\

［答案］c

【精析】由微分方程sinicosydyIcos.rsinych=。得，

dvcosxsiny

「=---：-----=—tanvcotj^

d.rsinicosy

则一cotvdv=cot^dj,，所以一InIsinv|+Q=Insirur|.

HPIn|siirtsinyI=C］，|sirusiny=er,,

UC故sEisiny-C,(C为任意常数).

12.A

rqdy_(t3)f_3产_3,也_I2)_T_3坨产、出、

【精析】)=ZE7=可==()+"，=方=万•故应选A.

［答案］B

［精析］lim311y—=lim3.r—下T十1)一

:二：，Qr+1-I二(Vxy+1-1)(y/xy+1+1)

=lini3(/wy+1H_1)=6.

13.B

14.A

［答案］A

【精析】函数f(.r)=1I］、在工=0」处没有定义，所以；「=。」为其间断点.

|X|(Z—1)

,2_1

除此之外处处连续.而lim/S)=lim1:,1,、=8.所以三=0为八二)的第二类

间断点中的无穷间断点；lim/Q)=lim।=lim(：+1-)；

LILIIJ:|—1)L1|1|—1)

limf±J=2.所以*=1为八h)的可去间断点,属于第一类间断点.

15.B

［答案］B

【精析】易知函数)=—的定义域为1£(—3,0)U(。・+g)•

x

，2.re-r—e-J(2.r—1)e±'仝，”徂1,红土占、

且Ay=--------5----=-----------.令y=0•得1=可(驻忠).

x~2-L

当w>/时,丁'>0;当；rV■且1W0时，了'V0,故函数y=的单调减区间为

(—g,0)♦(0,J

16.B

【精析】原式=一［一cos(siirr•(siru)'=cos(sin-下)2cosr,故应选B.

【精析】/Lg(—/)］"''/［gQ。］.故应选B.

17.B

18.D

【精析】--y~~7cLr—In(1+er)=ln2—limln(1+efc)=ln2—0=ln2.

—OQ1ICb.-8

19.D

［答案］D

=2_r—4y=0.

【精析】由「x解得唯一驻点(一2,—1),又因为A=.(-2.

"=—4,r+10V+2=0,

I-

-1)=2>0,B=zjy(.—2,—1)=—4,C=Zyy(,—2,—1)——10,B--AC=—4<0.

所以(-2,—1)为函数的极小值点.故选D.

20.A

［答案］A

/〃

【精析】_1_1M_1•2=(—1)1(J-1)!故

y-1+7，J—(1+?)2'*-(1+T)3(1+工尸取

应选A.

21.2

【精析】lim(7Lr2-1-a.r-b)=lim皿

一■一，—I+心+〃

(4-(?)^-2ahx-(^+1)

y—1+ax-+-b

(4-a~).7'-2ab----^―

=lim■T

Rr,"T-

=0•

所以4—a=0,—2ab=0"|.由上式知a方一2.解得a=2・〃=0.

22.

［答案1(+ye")d.z+<2cos2y+je,v)cly

【精析】半=2z+ve»."=2cos2y+xe-v.

()y

de/="d_r+毅dv=(2H+yery)dx+(2cos2v+jre>y)dy.

r/Xr/V

23.

e6

,2、3工2二#

【精析】lim(l+二)=lim(1+—)2=eb.

24.

IuI>1

［答案1I«l>1

【精析】因为为等比级数且收敛♦所以Iql=-=y^<l^\a\>l.

25.

2/'(c)

［答案1—2/"）

［精析］lim-2；‘）一/（=-2lim八八一、之?一八八）=—2/（孔）.

26.

【精析】对等式两边关于①求导得：

.-'_1y+.r.了

y2Q

心f则v'二-4,即半二『X.

JV+/*，3'+1”dz-u+r

27.1

28.

4dr—2dy

【精析】•・•£/=./(4a2—2/)•(8J)=81/'(4/一)))=—2巾'(4/-v2)•

ds—8.rf'(4/—y2)ch'—2yff(4x2—)dy.

de=8//(0)cLr—4/z(0)dv=4cLi—2dy.

(1.2)

29.

27+y&

2(j;y4-1)

【精析】方法一将所给表达式两端关于r求导•可得2z+V+2工y.v'+2，=().

2j+2.r+v2j

从而y=一27TT77Tdr-

2(I+.rv)

方法二将所给友达式两端微分.

dM+cK.rv2>+d(2y)=0.

dr+y2d.r+2.rvdy+2dv=0.

(2r+y2)dr-r2(.rv+1)<iv=0.

2.r+y2

clr.

2(TV+1)

30.

(—2,2)

【精析】p=lim-=lim/=

“fOOUnFl-»81L

2"

可知收敛半径K=-=2,当1=±2时,级数均发散.所以收敛域为(-2.2).

P

31.N

［答案］x

5/11r

【精析】［、3"=［=d^=［/1冉=arcsiirrIC.

Jy/\—J1Jy1—T'•/1L^+J-~J、/［一/

丫【精析】由数列收敛的性质可得.

D乙•.L

33.Y

［精析］___V/.1丁T—/・.1一寸+…+/1、V一T

\/n+n2\/1+n2，2+产

由两边夹准则可知PW—+7品+…+丁品-L

34.N

［答案］X

【精析】由题可知y'=2K,两边枳分可得)，=/十C,将点(1.4)带人可得4=1-C.

解得('=3,故所求积分曲线为y=>-3.

35.N

1

【精析】因为1y=e'1'.所以『=Iny,函数/(r)=e"■与/(J)=1M互为反函数，图像

关于9=1对称.

“【精析】由数列收敛的性质可得.

36.Y

37.N

［答案］x

【精析】|I1—./■Id.r=f|1—.r|di+f|1—j'|di=［(1—.r)d.r+

J-MJ—：4J1J—：4

［('一Dd］=卜—»"二十(92-)|：=10.

【精析】由于定积分「sin(.r+cos/)山是个常数.故其导数为0.

38.YJT

39.N

［答案］x

【精析】八1)=_i1_1

=_|litn/(l-2/；)-/(i)=x=

A-*O—Z/iZn4/4

40.N

［答案］X

【精析】V=―sin(7+；2,•_—6-rtan(1。+3-/).故dy=-6.rtan(10+3a-2)clr.

cos(10十3r)

41.

r«r-7iL

【精析】原式=r--^d.z

J-i1+eJu1+4r

。得1

=ln(1+c')+,d.r

-iJ«1+(2.r)'

=ln2—ln(1+e-1)+-yarcian(2jr)

=In2-ln(l+e-1)

o

42.

【精析】设〃=J亡+=e；,则,=/(〃，n).

心：rJCX

.Jy_十『a.e-，•l/-----2V

7+'\yv<rr+7

43.

11coskr4—siRrvJ-sin.r

【精析】limcotr•vlim-r—-----：-----=hm------——

sirtri—osirtr7SUITjrsin"j'

j-sin-T1-cos.r

lim=lim

JC32

T*0if。L-

p

1

3/6

44.

3

2

45.

rl2i21_1

【精析】S=(\/z—)di=^-7*2

J03-<)l03'3~~3,

46.

•ora

【证明】因为|/(jr>dr=/Q)cLr+/OcLr.

rJ0

令1=•o

(j)cLr=*=/(一/)d//(一z)ch・

o

所以八一d丁/(-i)d_r+/(j)da=[/(H)+J(一Aid%,

0J0o

COSXJCOSHcos（一工）

J7+]dz

1+e-r014-e-1+e'

+COSJ']di

01+b

=V2

COSJCLT—sin.r

o021

47.

【证明】令f(.r)=(1I^)ln(1I^)—arctan.1.

则/'（①）=ln（1++1——---r,

1IT

/，（r）=TT7"（TT^7,

当x>0时./'（r）>0,所以在[0.+8）内单调递增>/（0）=0.

所以f⑺在[0,十—）内单调递增./（幻>/（0）=0.

故当h>0时.（1—jr）ln（1—;r）>•arctamr.

48.

【精析】（1）需求弹性函数为器=一《•第=竟?,当尸=2时，堤|=A

EIQd/25—rEIIp=2Z1

=0.38.

经济含义：当P=2时,若价格上涨1%,需求量减少0.38%；

（2）总收益对价格的弹性为期=（•霏=（25-%）.P•（25—3尸）=察咨•

罂|=亲=0.62.故在P=2时，若价格上涨1%,总收益约增加0.62%；

LrIr-2L1

（3）当空=0时总收益最大.此时P=、修=三所以当P=盘时