湘教版九年级数学下册教案

:1.1二次函数

撰写人：授课班级：审稿人：授课日期：

学习目标：

1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；

2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

学习重点：

1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.

2.能够表示简单变量之间的二次函数。

学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。

学习过程：

一、自学准备：

1.设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，

那么就说y是x的,x叫做。

2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中的图像是直线，

的图像是双曲线。我们得到它们图像的方法和步骤是：

①;②;

③o

3.形如y=,（）的函数是一次函数，当=0时，它是

函数，图像是经过的直线；形如y=±,（）的函数是函数，

x

它的表达式还可以写成：①、②

二、提出问题（展示交流）：

1.一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系

式是.

2.用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y（nf）与长方形的长x（m）之间的函数关系式

为。

3.要给一个边长为x（m）的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，

踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式

是、

三、归纳提高（讨论归纳）：

观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不

同？O

一般地，形如,（,且）的函数为二次函数。其中x是自

变量，函数。

三个特点：1、含有自变量的代数式是整式；2、自变量的最高次数为2；3、二次项系数不能为0.

注意：1、定义中只要求二次项系数a不为零（必须存在二次项），一次项系数b、常数项c可以

为零。最简单形式的二次函数：y=羊0）例如，y=-5x"+100x+60000和y=100x2+200x+100

都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=/,圆面积s与半径r的关系

s=7ir2等也都是二次函数的例子.

2、二次函数,="2+陵中自变量x的取值范围是,你能说出上述三个问

题中自变量的取值范围吗？

四、例题精讲（小组讨论交流）：

2_

例1函数y=(m+2)x"?+2x-l是二次函数，贝Dm=.

2e

练习：若y=(m2+m)x''一一是二次函数，则m=.

1

例2.下列函数中是二次函数的有()①y=x+3②y=3(x-1)2+2；

1

③y=(x+3)2—2x2；@y=~+x,A.1个B.2个C.3个D.4个

练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=/(2)y=—上(3)y=2x2-x-l(4)

y=x(l-x)(5)y=(x-1)--(x+l)(x-l)

例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

⑴圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系：

⑵某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y(元)与所存年数x

之间的函数关系；

⑶菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系

五、课堂训练

66

1.下列函数中，二次函数是()A.y=6x'+lB.y=6x+lC.y=~+1D.y=p-+1

2.函数y=(m—n)x^+mx+n是二次函数的条件是()A.m、n为常数，且mNO

B.m、n为常数，且mWnC.m、n为常数，且nD.m、n可以为任何常数

3.半径为3的圆，如果半径增加2x,则面积S与x之间的函数表达式为()

222

A.S=2"(X+3)B.S=9n+xC.S=4nx+12x+9D.S=4nx+12Jtx+9n

4.下列函数关系中，满足二次函数关系的是()

A.圆的周长与圆的半径之间的关系；B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系C圆

柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.

5.已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的石倍，用表达式表示出菱形的面积S与对

角线a的关系.

6.若一个边长为xcm的无盖正方体形纸盒的表面积为ycm2,则＞=,其中x的取

值范围是一。

7.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积S与宽X之间函数关系式：S=o

8.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积y(m?)与路宽

x(m)之间的函数关系式：y=。

9.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(m，)与它

与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式：y=。

10.已知函数y=(m—3)f"J7是二次函数，求巾的值.

1.2二次函数的图象与性质

二次函数y=af的图象（一）

【学习目标】

1.知道二次函数的图象是一条抛物线；

2.会画二次函数y=ax2的图象；

3.掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用.（重点）

【学法指导】

数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.

【学习过程】

一、知识链接：

1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。

2.一次函数图象的形状是；反比例函数图象的形状是.

二、自主学习

画二次函数y=x，的图象.

列表：

X.・・-3-2-10123・・・

2

y=x・・・・・・

描点,并连线

-0

-8

-4

-2

-4-3-2-10-1~2~3~4

--2

--4

--6

图象可得二次函数y=x”的性质：r8

1.二次函数y=x?是一条曲线,把这条曲线叫做.

2.二次函数y=x?中,二次函数a=,抛物线y=x，的图象开口.

3.自变量x的取值范围是.

4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等,所描出的各对应点关于—

对称,从而图象关于对称.

5.抛物线y=x?与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y=x"的.因此，抛物线与对称

轴的交点叫做抛物线的

6.抛物线y=x?有点（填“最高”或“最低”）.

三.例题分析

例1.在同一直角坐标系中，画出函数x2,的图象.

解:列表：

归纳：抛物线y=1x2,y=x；的二次项系数a0;顶点都是；对称轴是

;顶点是抛物线的最点（填“高”或"低"）.

1

2

Xy-

例2.请在上图的直角坐标系中画出函数y=-2X?的图象.

列表：

归纳:抛物线y=-x2,y=--x2,y=-2/的二次项系数a—0,顶点都是对称轴是

，顶点是抛物线的最点（填“高"或"低"）.

二次函数旷=a/+%的图象（二）

【学习目标】

1.知道二次函数y=〃/+%与丁=公？的联系.

2.掌握二次函数y=a?+女的性质，并会应用；

【学法指导】

类比一次函数的平移和二次函数y=ad的性质学习，要构建一个知识体系。

【学习过程】

一、知识链接：

1.直线y=2x+1可以看做是由直线y=2x得到的。

2.若一个一次函数的图象是由y=-2x平移得到，并且过点（-1,3）,求这个函数的解析式。

解：

3.由此你能推测二次函数y=/与）,=/一2的图象之间又有何关系吗？

猜想：。

二探索新知:在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x?+l,y=x2-l的图象.

解冼列表

1.开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值

y=x2

y=X2—1

y=x2+l

观察图象得：

2.可以发现,把抛物线y=x?向平移个单位,就得到抛物线y=（+1;把抛物线y

=/向平移个单位,就得到抛物线y=x2—1.

3.抛物线y=x;y=x?—1与y=x?+l的形状.

函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性

y=—5X2+3

y=7x2—1

三.理一理知识点

1.y=ax2y=ax2+k

开口方向

顶点

对称轴

有最高（低）

点

a>0时，当x=______时，y有最_____值为

________1

最值

a<0时，当x=时，y有最值为

增减性

2.抛物线y=2x?向上平移3个单位,就得到抛物线

抛物线y=2/向下平移4个单位,就得到抛物线.

因此,把抛物线y=ax,向上平移k(k>0)个单位,就得到抛物线一

把抛物线y-ax2向下平移个单位,就得到抛物线一

3.抛物线y=-3x?与y=-3x2+l是通过平移得到的,从而它们的形状,

由此可得二次函数y=ax?与y=ax2+k的形状.

五.课堂巩固训练

1.填表

开口最对称轴右侧的增

函数草图顶点对称轴

方向值减性

y=3x2

y=-3x?+l

y=-4x2—5

2.将二次函数y=5x2-3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为.

3.写出一个顶点坐标为(0,—3),开口方向与抛物线y=-X,的方向相反,形状相同的抛物线

解析式.

4.抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为.

5.抛物线y=-x2+h的顶点坐标为(0,2),则h=.

6.抛物线y=4x2-l与y轴的交点坐标为与x轴的交点坐标为.

二次函数y=a(x—/?y的图象(三)

【学习目标】

I.会画二次函数y=a(x—〃)2的图象；

2.知道二次函数y-a(x-h)*2与y=ax2的联系.

3.掌握二次函数y=a(x—%)2的性质，并会应用；

【学习过程】

一、知识链接：

1.将二次函数y=2/的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为

2.将抛物线y=-4x2+1的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为

二、自主学习

画出二次函数y=(x+l)2,y=(x—l)2的图象；先列表:

归纳：(1)y=(x+l)2的开口向,对称

轴是直线,顶点坐标是。

图象有最点,即尤=时，y有最

值是；

在对称轴的左侧，即x—时，y随x的增

大而；在对称轴的右侧，即x

时y随x的增大而o

y=(x+l)2可以看作由y=/向_平移

个单位形成的。

(2)y=(x-l)2的开口向,对称轴是直

线,顶点坐标是,图象有最—点，即x:时，y有最—值

是；在对称轴的左侧，即x―时，y随x的增大而一___________；在对称轴

的右侧，即x时y随x的增大而o

y=(x+可以看作由y=向_平移个单位形成的.

三、知识梳理

抛物线y=a(x-h)2特点：

1.当a>0时，开口向；当。<0时，开口

2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。

3.y=ax2y=axJ+ky=a(x-h)2

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性

(对称轴左侧)

四、课堂训练

1.填表开口对称对称轴右侧的增

图象(草图)顶点最值

方向轴减性

12

y=gx

y=-5(x+3)2

y=3(x—3)2

3.抛物线y=2f-i的开口；顶点坐标为；对称轴是；

4.抛物线y=5/向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为.

5.抛物线y=-4x2向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为.

6.抛物线y=4(x—2)2与y轴的交点坐标是,与x轴的交点坐标为

二次函数旷=。（彳一〃）2+&的图象（四）

【学习目标】1.会画二次函数的顶点式y=Mx—〃）2+上的图象;

2.掌握二次函数y=a（x—/?）2+%的性质;

【学习过程】

一、知识链接：

1.将二次函数y=-5x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为

2.将抛物线y=-丁的图象向左平移3个单位后的抛物

三、知识梳理

y=ax2y=ax'+ky=a(x-h)2y=a(x—h)2+k

开口方向

顶点

对称轴

最值

增减性（对称轴右侧）

2.抛物线丁=。（彳一力）2+%与），=。/形状，位置不同，丁=。。一力）2+%是由旷=如2

平移得到的。

3.二次函数图象的平移规律：左右,上下。

五、课堂训练

1.二次函数y=1（x—1>+2的图象可由y=的图象（）

A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到

D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

2.抛物线y=-g（x-6/+5开口,顶点坐标是,对称轴是

当工=时，y有最值为。

3.填表：

4.函数y=2（x-3p-l的图象可由函数y=2f的图象沿x轴向平移个单位，

再沿y轴向平移个单位得到。

5.若把函数y=5（x—2）2+3的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式

为o

1,

6.顶点坐标为（-2,3）,开口方向和大小与抛物线>相同的解析式为（）

A.y=g（x-2）-+3B.y=g（x+2）--3

1.1

C.y=Q（x+2）~+3D.y=（x+2）^+3

7.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=—2上,且x=l时,y=-3,求a.k的值.

二次函数y="2+"+c的图象(五)

【学习目标】

1.能通过配方把二次函数？=