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文档简介

5.3.1单调性情境问题怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？学生活动1．探究1：由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？

2．探究2：导数与函数的单调性有什么联系？3．探究3：如果在某区间上是增函数，那么在该区间上必有

吗？数学建构1．函数的导数与函数的单调性的关系．我们已经知道，曲线

的切线的斜率就是函数

的导数．从函数的图象可以看到：切线的斜率（2，＋∞）增函数正＞0（－∞，2）减函数负＜0数学建构在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数

的值随着

x

的增大而增大，即

＞0时，函数

在区间（2，＋∞）内为增函数．在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数

的值随着

x

的增大而减小，即

＜0时，函数

在区间（－∞，2）内为增函数．数学建构一般地，我们有下面的结论：对于函数

，如果在某区间上

，那么

为该区间上的增函数；如果在某区间上

，那么

为该区间上的减函数．上述结论可以用图（1）和图（2）来直观理解．数学建构2．利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求函数

的导数

；（2）令

解不等式，得x的范围，就是递增区间；（3）令

解不等式，得x的范围，就是递减区间．数学应用例1确定函数

在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数．解

，令

，解得

．因此，在区间（2，＋∞）上，

，

是增函数；在区间（－∞，2）上，

，

是减函数．数学应用例2

确定函数

在哪些区间上是增函数．解

，令

，解得

或

．因此，在区间（－∞，0）上，

，

是增函数；在区间（2，＋∞）上，

，

也是增函数（如下图）．数学应用例3确定函数

（x∈(0，2π)）的减区间．解

．令

，即

．又

x∈(0，2π)，所以x∈(，)

．故所求的减区间是(，)．小结1．

在某区间上可导，可以根据

或

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