2020-2021学年高中数学新教材第一册教案：3.1.2 函数的表示法（人教A版）

【新教材】3.Io2函数的表示法（人教A版）

教材分析

课本从引进法教概念开始就比较注重法教的不同表示方法:

解析法，图象法，列表法.舀教的不同表示方法能丰富对函教的

认识，郝助理解抽象的法教概念.特别是在信息技术环境下，可

以使函数在形与教两方面的结合得到更充分的表现，使学生通

过函教的学习更好地体会教形结合这种重要的教学思想方

法,因此，在研究函教时，要充分发挥图象的直观作用.左研

究图象时，又要注意代教刻画以求思考和表述的精确性.课本

将映射作为舀教的一种推广，这与传统的处理方式有了近转顺序

上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习，让学生

将更多的精力集中理解法教的概念，同时，也体现了从特殊到

一般的思维过程.

教学目标与核心素养

课程目标

1、明确舀教的三种表示方法；

2、族实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函

教；

3、通过具体实例，了解简单的分段法教，并能简单应用。

教学学科素恭

1.教学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；

2.逻辑推理：由条件求函数解析式；

3o教学运算：由函教解析式求值及法教解析式的计算;

4o数据分析:利用图像表示舀教；

5o教学建模:由实际问题构建合理的法教模型。

教学重难点

重点：舀教的三种表示方法，分段函教的概念.

难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函教，什么才算“恰

当”?分段函数的表示及其图象.

课前准备

教学方法：以学生为主体，泉用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程

、情景导入

初中已经学过函教的三种表示法：列表法、图像法、解析

法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步

观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本67-68页，思考并完成以下问题

1.表示两个变量之间函教关系的方法有几种？分别是什么？

2o法教的各种表示法各有什么特点？

3.什么是分段法教？分段舀教是一个还是几个的教？

4.怎样求分段舀教的值？如何画分段舀教的图象？

要求:学生独立完成，以小组为单住，组内可商量，最终选出代

表回答问题。

三、新知探究

1,法教的表示法

列表法图像法解析法

用表格的形式杷用图像杷两个~个函数的对应

定两个变量间的函变量间的法教关系可以用自变

义教关系表示出来关系表示出来量的解析式表示

的方法的方法出来的方法

不必通过计算就可以一.直观地表能叫便利地通过

能知道两个变量示困数的局部讨算等手段研究

优

之间的对应关系，变化规律，进而函教性质

点

比较直观可以预测它的

整体趋势

只能表示有F艮个有些函数的图一些实际问题唯

缺

元素的函数关系像难以精确作以找到它的解析

点

出式

2.分段函教

(U分段函教就是在函教定义域内，对于自变量x的不同取

值范围，有着不同的对应关系的法教.

(2)分段函数是一个法教，其定义域、值域分别是各段法

教的定义域、值域的并集;各段函教的灵义域的交集是空集.

「点睛7(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个

函数而不是几个函教.

(2)分段函教的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如

y二错误!其“段”是不等长的.

叩、典例分析、举一反三

题型一函数的定义

例1票种邕记本的单价是5元，买x(x£{l,2,3,4,51)个

邕记本需要y元.试用三种表示法表示法教产f(x).

【答嗓】见解析

【解析】这个函教的定义域是教集fl,2,3,4,5}o

用解析法可将函数y=f(xj表示为y=5x,x€fl,2,3,4,5)

用列表法可将函教y=fCxJ表示为

笔记本数Z12345

钱数y510152025

用图像法可将舀教y=f(x)表示为

25-

20-

15­

10■

5-

I■■J

345x

解题技巧：r表示法数的注意事项)

Io函教图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散

的点等等，注意到新一个图形是否是法教图象的依据；

2o解析法：必须注明函教的定义域；

3o图象法：是否连线；

4.列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

跟踪训练一

1.已知法教f(x),g(x)分别由下表给出.

X123

fCxJ211

X123

g(x)321

则-------------------f(g(D)的值为;当g(fCx))

=2时，x=o

【答案】11

【解析】由于法教关系是用表格形式给出的，知g(1)=3,/.

f(gC1)J=f(3)=1.由于g(2)=2,.-.f(x)=2,.-.x=l.

题型二分段函数求值

|x-1|-2,|x|Wl,

例2已知法l+x2,M>L教f(x)=

ri)求f(〃x))的值；

(2)若f(x)-，求x的值

【答案】(U错误！(2)土错误！

【解析】CU因为f错误！二错误！一2二一错误!，

所以f错误！=f错误！=错误！=错误！o

(2)f(xJ—错误!，若1X区1,贝J|x—1|—2—错误!"子X—错误!或jX——错误!.

因为IXI<1,所以X的值不存在；

若|xI>1,贝;1错误！二错误!，得X=±错误!，符合|x|>l。

所以若f(x)=错误!，X的值为土错误!。

解题技巧：(分段法教求值问题)

1.求分段函教的函教值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止。当出现小。))的

形式时，应从内到外依次求值.

2o求禁条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定

义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代人检验。

跟踪洌练二

X2+2,XW2,

函数形尸3…>2.若.)=&则x产

1.

【答嗓】-错误!或1。

【解析】解析：当xoS2时，f(xo)=x错误！+2=8,即x错误！=6,

/.X0=一错误！或X0二错误!(舍去)；

当Xo>2时，f(Xo)=错误!Xo,/.Xo=10.

综上可知，xo=—y]6或xo=10.

题型三求函数斛析式

例3(1)已次口ffx+l)=x-3x+2,求f(x);

(2J已知f(x)是二次法教，且满足f(0)=l,f(x+l)—f(x)=2x,

求fCxJ的解析式；

(3)已知法教f(x)对于任意的x都有fCx)+2f(―x)=3x—2,求

fCxJ.

【答案】见解析

【解析】(1)(方法一)令x+l=t,则x=t-l.

将x=t-l代-f(x+lJ=%2—3x+2,

2z

得f⑴=(t-1)2—3ft-1J+2=t—5t+6,/.f(xj=x-5x+6.

(方法二),.,f(x+l)=/-3X+2=/+2X+1-5X——5+6=(%+1)2——5(x+lJ+6,

.\f(xj=%2-5X+6.

(2J设所求的二次函数为f(xj=a%2+bx+c(a#0Jo

,.,f(O)=l,/.c=l,则ffxj=a%2+bx+l.

,.*f(x+1J-f(x)=2x对任意的x2R都成立,

22

.\a(x+i)+b(x+l)+l—(a%+bx+l)=2x,

即由恒等式的性质，得(雷彳

2ax+a+b=2x,Id।U—U,

,2

••所求二次函数为f(xj=x-x+lo

ID—L

(3)•.•对于任意的x都有f(x)+2fC—x)=3x—2,

...将x替换为一x,得ff-xj+2ffxj=-3x-2,联立方程组消去

f(—x),可得fCxJ=-3x—|o

解题技巧：(求函教解析式的四种常用方法)

1.直接法(代人法)：已知f(x)的解析式，求f(g(x刀的解析式，

直接将g(x)代入即可.

2o待定系教法：若已知函数的类型，可用待定系教法求解，即

由法数类型设出法教解析入，再根据条件列方程r或方程组),

通过解方程r组)求出待定系数，进而求出函数解析式。

3.换元法(有时可用"配虞法”)：已知函教f(g(x))的解析式求

f(xj的解析式可用换元法(或"配泰法”)，即令gCx)=t,反解

出X,然后代八f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).

4.解方程组法或消元法：在已知太子中，含有关于两个不同变量

的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量

的关系，建立~个新的关于两个变量的灰子，由两个灰子建立方

程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这

种方法叫做解方程组法或消元法.

跟踪训练三

1.已知f(x)是一次函数，且f(fCx)J=2x-l,求f(x)的解析式；

2.已知f(v^+1J=x+2次，求f(x)的解析式；

3.设函数f(x)满足f(x)+2f(：产xCx#OJ,求f(x).

【答案】见解析

【解析】CUVf(x)为一次改教,...可设f(xj=ax+b(a#0).

2

,「f(f(xjJ=f(ax+bj=a(ax+bj+b=ax+ab+b=2x-l.

解得卜="或卜=一凡

lab+b=-1,11b=1-V2(b=1+V2.

故f(x)=V2X+1—^或f(x)二-V2X+1+V2o

22

r2)r方法一)f(«+D=(«)+2«+i—I=(1+D-i,其中y+i>i,

2

故所求函数的解析式为f(x)=x-1,其中X>1.

2

r方法二)令次+i=t,则x=(t—u,且t>i,

22

函教f(五+l)=x+24可化为fftj—ft—1)+2(t—l)=t-1,故所求函

2

教的解析式为f(x)=X-1,其中X>1.

(3)因为对任意的xCR,且xWO都有f(xj+2fR)=x成立，

所以对于］€R,且m0,有f(|)+2ffx)=|,

两式组成方程组收+呜=：；

②X2一。得,f(x)行(I-X).

题型四曲数的图像及应用

2.定函J^Lf(x)=X+l,g(x)=(x+1)2,XeR

(U在同一直角生标系中画出法教f(x),g(x)的图像；

(2)VxeR,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为

M(x)=max{f(x),g(x))o请分别用图像法和解析法表示函数M(x).

【答去】loB2.见解析

【解析】lo法一：函教的解析式可化为y二错误!画出此分段函教

的图象，故选B。

法二：由f(-l)=2,知图象过点(一1,2),排除A、C、D,故选B。

2.C1J同一直角坐标系中函教恸底)的图像

(2)结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图像

由(X+1)2=X+1,得x(x+1)=0."^得"X=1,或X=0O

由图易知M(x)的解析式为

_((X+1)2,x<-1

M(x)=Jx+1,-1<x<0

((X+1)2X>0

\0\

-1

-2

解题方法(函数图像问题处理措施J

(1)若y=f(x)是已学过的基本初等函教，则描出图象上的几个

关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍.

(2)若广f(x)不是所学过的基本初等法教之一，则要按：①列

表;②描点；③连线三个基本步骤作出y=fCxJ的图象。

(3)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，左作每一段

图象时，先不管定义域的F艮制，作出其图象，再保留定义域内的

一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重

O

跟踪洌练8

L已知法教f(X)的图象如右图所示，则“X)的解析式是_________

-1O•1x

-1

2,若定义运算aOb二错误!则法教f(x)=x©(2-xj的值域为

【答案】l.f（X）二错误!2。（一如1J

【解析】1.由图可知，图象是由两条线段组成，当-ISxvO时,

设f（x）=ax+b,将（一1,0）,CO,1）代入解析式，贝;1错误！.•.错误！

当0<x<l时，设ffx）=kx,将（1,-1J代八，则k=-l。

2o由题意得f（x）=错误!后出函数f（xj的图象得值域是（-00,

题型五国数的实际应用

例5下表是禁校高一C1J班三位同学在高一学年度几次教学测

试的成绩及班级及班级平均分表：

第一第二第三第8第五第六

次次次次次次

王

9887919288一一95

伟

张

907688758680

城

赵_

686573727582