2024届陕西师大附中高三数学（理）第八次模拟考试卷附答案解析

届陕西师大附中高三数学（理）第八次模拟考试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟．2．答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确．3．答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.共60分，在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数z的实部和虚部均为整数，则称复数z为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数．其中正确的命题有（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．已知直线l与平面，则“l，不平行”是“内不存在直线与l平行”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合：（其中e为自然对…），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（

）A．该生物群的数量不超过10B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比D．该生物群的数量的增长速度最大的时间5．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为线段BC，DC上的动点，且，则的最小值为（

）A． B．15 C．16 D．176．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（

）A． B．C． D．7．设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，8．已知，则（

）A． B．2 C． D．9．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．若函数（）的图象与函数的图象的任意三个连续交点都是一个正三角形的三个顶点，则的值可以为（

）．A． B． C． D．11．已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（

）A． B． C． D．12．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上．）13．据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数，若该公司每月派送的快递件数超过4000件的快递员有60人，则该公司每月派送的快递件数在的快递员的人数大约为．14．在的展开式中，的系数为84，则．15．已知H是球O的直径AB上的一点，，平面，H为垂足，截球O所得的截面的面积为，M为上的点，且．过点M作球O的截面，则所得截面面积最小的圆的半径为．16．已知抛物线的焦点为F，若在抛物线C上，且满足，则的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角的对边，且．(1)求A；(2)若，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针方向旋转，，旋转后相交于点D（如图所示），且，求AD．18．如图1，平面四边形中，，，，将沿边折起如图2，使，点，分别为，的中点，在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①；②为四面体外接球的直径；③平面平面.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求二面角的正弦值.19．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.(1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小；(2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值.20．一种掷骰子（骰子是一种均匀材料做成的正方体形状的游戏玩具，它的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6）的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站.设棋子跳到第n站的概率为，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若出现奇数点，棋子向前跳一站；若出现偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或跳到第100站（失败）时，游戏结束．(1)求，，，并根据棋子跳到第n站的情况，试用，表示；(2)求证：（，2，…，99）为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．21．已知椭圆C：（）的离心率为，过右焦点的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当轴时，．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率存在且不为0，点M，N在x轴上的射影分别为P，Q，且，N，P三点共线，设与的面积分别为，，试判断是否为定值，若是，求出该定值，如果不是，请说明理由．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．22．在直角坐标系xOy中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（其中为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线，的极坐标方程；(2)射线l：（）与曲线，分别交于点A，B（且点A，B均异于原点O），当时，求的最小值．选修4-5：不等式选讲．23．已知，当时，不等式成立．(1)求的最大值；(2)设正数，的和恰好等于的最大值，求证：．1．D【分析】解分式不等式求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D2．A【分析】根据新定义即可判断①；根据复数的乘法运算即可判断②；根据复数的几何意义即可判断③.【详解】①令，当时，，即为整数，根据题意，是高斯整数，故①正确；②令，，则，则为整数，为整数，故为高斯整数，故②正确；③令，且，故，所以至少有一个数为非整数，故不是高斯整数，③错误；故选：A.3．B【分析】直线与平面不平行，可得直线与平面相交或直线在平面内，分析可得答案.【详解】若l，不平行，则或l与相交.当时，内存在直线与l平行.若内不存在直线与l平行，则l与相交，即l，不平行.所以“l，不平行”是“内不存在直线与l平行”的必要不充分条件.故选：B.4．C【分析】对解析式上下同时除以，结合反比例函数模型可判断A正确；对，求导，即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C错，BD正确【详解】因为，，故该生物种群的数量不会超过10，故A正确；由，求导得，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，故C错误；因为为对勾函数模型，故，当且仅当，即时取到等号，当时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当时生物群的数量的增长速度随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；且当时，最大，故BD正确.故选：C.5．B【分析】以为原点，建立适当的直角坐标系，设，根据的长度得到的坐标，利用平面向量的数量积的坐标表示得到关于的三角函数表达式，利用辅助角公式化简，并利用三角函数的性质得到最小值.【详解】以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，设，则，即，其中．

时取“=”，所以的最小值为15，故答案为：15.6．D【分析】根据函数的图象结合函数的定义域，复合函数的奇偶性，利用排除法，即可得到结果.【详解】由图象可知函数是奇函数，函数和由复合函数的奇偶性可知，这两个函数为偶函数，故排除A，C；对于函数，由于时，，此时无意义，所以函数不经过原点，故B错误；故D满足题意.故选：D.7．C【分析】根据已知条件特征，构造函数，由函数的奇偶性和单调性性质可确定，的关系，再结合等差数列前n项和公式及其性质求解即可.【详解】构造函数，，则，所以是奇函数，又与是增函数，所以是上的增函数，又，，所以即，且即，又是等差数列的前n项和，所以.故选：C.8．A【分析】利用已知的三角函数值，利用换元法，结合三角函数的诱导公式，可得答案.【详解】令，则，从而.故选：A.9．B【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围.【详解】由，则的切线斜率为，由，则的切线斜率为，而两曲线上总存在切线、有，即，而，即，故，所以，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围.10．B【分析】令，可得，不妨取,得三个连续的交点依次为，，，求得的高，再根据与图象求得的高，建立方程求得结果.【详解】由，令，得，所以，不妨取，得三个连续的交点依次为，，，因为为正三角形，为的边长，为的高，由正弦函数、余弦函数的图象可知在和的图象的交点处，所以的高为，所以，解得．故选：B．11．D【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适.【详解】由题可得点为线段AB的中点，选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点，故可以作为点的坐标；已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为：与双曲线交于，两点，AB的中点为，则，，两式相减可得，得选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为，联立得，得，，可以作为点的坐标；选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为，联立得，得，，可以作为点的坐标；选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为，联立得，得，，不能作为点的坐标．故选：D12．A【分析】设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再根据选项一一判断即可.【详解】设．则．令，解得．则当时，，单调递减．当时，，单调递增．所以．对于A选项：则，即，故A正确．对于B选项：，所以，故B错误．对于C选项：，则，即，故C错误．对于D选项：因为，，则，所以，又，所以．D错误．故选：A13．40【分析】根据正态分布相关概念及其对称性性质求解即可.【详解】由题每人每月派送快递件数超过4000件的的概率为，因为每人每月派送的快递件数，所以每人每月派送的快递件数在的概率为，所以每人每月派送的快递件数在的快递员的人数大约为.故答案为：40.14．7【分析】先求出通项公式，再结合已知条件建立等量关系求解即可.【详解】由题意知二项式展开式通项公式为，又因为的系数为84，所以，所以.故答案为：7.15．##【分析】设截得的截面圆的半径为，球的半径为，由平面几何知识得截面与球心的距离为，利用勾股定理求得的值，由题意可知球心到所求截面的距离最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为，球的半径为，

因为，所以.由勾股定理，得，由题意得，解得，所以，解得，此时过点作球的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心到所求截面的距离为，所求截面的半径为，则，所以只需球心到所求截面的距离最大即可而当且仅当与所求截面垂直时，球心到所求截面的距离最大，即，所以.故答案为：.16．9【分析】设直线的倾斜角为，用表示出，由此建立关于的函数，再换元利用导数求解作答.【详解】抛物线的焦点为，依题意，不妨设直线的倾斜角为，且，由抛物线定义得：，即，同理，，因此，令，，令，，由得或，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时，于是得，所以当时，取得最小值9.故答案为：9【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．17．(1)(2)【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变形，即可求解；（2）由条件确定几何图形中的角的值，再根据正弦定理和余弦定理求解.【详解】（1）由正弦定理可知,又因为，所以，且，则，即，所以，因为，，所以，所以；（2）由条件可知，，，且，所以，又，所以，，，且中，，得,中，，得，中，，.18．(1)(2)【分析】（1）若选①：根据题意证得平面，得到，再由，利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可证得平面.若选②：根据题意证得平面，结合，即可证得平面.若选③：由面面垂直的性质定理，证得平面，得到，证得平面，根据，即可证得平面.（2）以为原点，射线为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）若选①：由，在中，，，，，可得，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且，平面，所以平面，又因为，分别为，中点，可得，所以平面.即直线与平面所成角的大小为.若选②：由为四面体外接球的直径，则，可得，又由，且，平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面.即直线与平面所成角的大小为.若选③：由平面平面，平面平面，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，又由，且，平面，所以平面，因为，分别为，中点，可得，所以平面.即直线与平面所成角的大小为.（2）以为原点，射线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以，故二面角的正弦值..19．(1)；(2)1.【分析】（1）对、求导，应用曲率公式求出处的曲率，，即可比较大小；（2）由题设求出的曲率平方，利用导数求的最大值即可.【详解】（1）由，，则，由，，则，所以；（2）由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减，所以，最大值为1.20．(1)，，，,；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）根据题意可直接求得、、，然后讨论棋子跳到第站，所包括两种情形，可得出关于和的表达式；（2）计算得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；（3）求得，利用累加法可求得，即可得解．【详解】（1）棋子开始在第站是必然事件，则，棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为，则；棋子跳到第站，包括两种情形：第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；或前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，则；棋子跳到第站，包括两种情形：①棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；②棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为，则，棋子跳到站只有一种情况，棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，则．（2）由（1）知，当时，，因此，，所以数列为等比数列，且公比为．（3）由（2）知，当时，，所以，所以玩该游戏获胜的概率为．【点睛】关键点点睛：本题求玩游戏获胜的概率，利用数列求通项的方法，即累加法，再利用等比数列求和是关键.21．(1)(2)为定值，且定值为1【分析】（1）根据离心率以及通径的长度即可联立求解的值，（2）联立直线方程和椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式可证明三点共线，根据，所以，进而可证明.【详解】（1