2023-2024学年广东省佛山市顺德区容桂街道七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省佛山市顺德区容桂街道七年级（下）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。1.计算(−2024)0的结果是(

)A.−2024 B.2024 C.0 D.12.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=30°，则∠2的度数是(

)A.30°

B.40°

C.60°

D.150°3.华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为(

)A.0.28×10−7 B.2.8×10−9 C.4.下列运算正确的是(

)A.x2+x2=x4 B.5.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr.在上述变化中，自变量是(

)A.2 B.半径r C.π D.周长C6.下列各式能用平方差公式计算的是(

)A.(x−y)(x−y) B.(2x+y)(2y−x) C.(x+1)(x−1) D.(x−1)(1−x)7.如图，下列条件能判定a/​/b的是(

)A.∠1=∠2

B.∠2=∠4

C.∠1=∠4

D.∠1+∠3=180°8.等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是(

)A.4cm B.5cm C.9cm D.12cm9.用一块含30°角的透明直角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(

)A. B.

C. D.10.下列图形能够直观地解释(3b)2=9bA. B.

C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.计算：(3a2−2ab)÷a=12.如果一个角是40°，那么它的补角的度数是______°.13.在体育课上某同学跳远的情况如图所示，直线l表示起跳线，经测量，PB=3.3米，PC=3.1米，PD=3.5米，则该同学的实际立定跳远成绩是______米．

14.如图，正方形边长为12cm，在四个角分别剪去全等的等腰直角三角形．当三角形的直角边由小变大时，阴影部分的面积变化如下表所示：三角形的直角边/cm123456阴影部分的面积/c1421361261129472若等腰直角三角形的直角边长为3cm，则图中阴影部分的面积是______cm2

15.为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2数学问题：已知AB/​/CD，∠EAB=70°，∠ECD=100°，则∠E=______．三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题5分)

计算：(−1)202417.(本小题5分)

只用无刻度的直尺，在方格纸中画出两条互相垂直的直线，请画出两个不同类型的图形．

18.(本小题6分)

用三个相同的三角尺拼成如下的图形，请写出图中的所有平行线，并选择其中一组说明理由．19.(本小题8分)

先化简，再求值：(2a−b)2+(a+b)(a−2b)，其中a=−1，b=220.(本小题8分)

如图，在△ABC中，∠A=62°，∠B=74°，CD是∠ACB的角平分线．

(1)尺规作图：以点D为顶点，射线DA为一边，在∠ABC的内部作∠ADE=∠ABC，DE交AC于点E；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，求∠EDC的度数．21.(本小题8分)

如图，在长为4a−1，宽为3b+2的长方形铁片上，挖去长为3a−2，宽为2b的小长方形铁片．

(1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积；

(2)求出当a=4，b=3时的阴影面积．22.(本小题10分)

综合与实践

如图1所示的长方形ABCD的一边DC作左右匀速平行移动，图2反映它的边BC的长度l(cm)随时间t(s)变化而变化的情况，请解答下列问题：

l(cm)

(1)观察图2，当DC没有运动时，BC边的长度是______，请你根据图象呈现的规律写出0至5秒间l与t的关系式______．

(2)根据图2，请描述一下DC边的运动情况．

(3)下表反映变化过程中，长方形ABCD的面积S(cm2)随时间t(s)DC边的运动时间/s02458910121314长方形ABCD的

面积/c80120160180180150a60300①AB的长是______；

②表格中a的值是______；

③写出8至14秒间S(cm2)与23.(本小题12分)

综合应用

在学习《完全平方公式》时，某兴趣小组发现：已知a+b=5，ab=3，可以在不求a、

b的值的情况下，求出a2+b2的值.具体做法如下：

a2+b2=a2+b2+2ab−2ab=(a+b)2−2ab=52−2×3=19．

(1)若a+b=7，ab=6，则a2+b2=______；

(2)若m满足m(8−m)=3，求m2+(8−m)2的值，同样可以应用上述方法解决问题.具体操作如下：

解：设m=a，8−m=b，

则a+b=m+(8−m)=8，ab=m(8−m)=3，

所以m2+(8−m)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=82−2×3=58．

请参照上述方法解决下列问题：

①若−3x(3x+2)=624.(本小题13分)

综合探究

如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM=∠FME．

(1)直线AB与直线CD平行吗？说明你的理由；

(2)点G是射线MD上一动点(不与点M，F重合)，EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN=α，∠EGF=β．

①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当β=60°时α的度数；

②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由．

答案和解析1.【答案】D

解：(−2024)0=1．

故选：D．

直接利用零指数幂：a2.【答案】A

解：∵∠1=30°，∠1与∠2是对顶角，

∴∠2=∠1=30°．

故选：A．

根据对顶角相等可得∠2=∠1=30°．

本题考查了对顶角，解题的关键是熟练掌握对顶角的性质：对顶角相等．3.【答案】C

解：0.000000028=2.8×10−8．

故选：C．

直接根据科学记数法的定义作答即可．

本题考查了用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值4.【答案】D

解：A.x2+x2=2x2，故此选项不合题意；

B.x2⋅x3=x5，故此选项不合题意；

C.5.【答案】B

解：由题意得：周长C是半径r的函数，

∵周长C随着半径为r的变化而变化，

∴半径为r是自变量．

故选：B．

可得周长C是半径r的函数，周长C随着半径r的变化而变化，周长C是因变量，半径r为自变量，即可求解．

本题考查了函数的定义，理解定义是解题的关键．6.【答案】C

解：A、(x−y)(x−y)=(x−y)2，不能用平方差公式，故此选项不符合题意；

B、(2x+y)(2y−x)不能用平方差公式，故此选项不符合题意；

C、(x+1)(x−1)=x2−1，能用平方差公式，故此选项符合题意；

D、(x−1)(1−x)=−(x−1)(x−1)=−(x−1)2，不能用平方差公式，故此选项不符合题意；

7.【答案】A

解：A、若∠1=∠2时，根据“内错角相等，两直线平行”可以判定a/​/b，故符合题意；

B、若∠2=∠4时，根据“同位角相等，两直线平行”可以判定c/​/d，不能判定a/​/b，故不符合题意；

C、若∠1=∠4时，不能判定a/​/b，故不符合题意；

D、若∠1+∠3=180°时，根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c/​/d，不能判定a/​/b，故不符合题意．

故选：A．

根据平行线的判定定理求解即可．

此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．8.【答案】C

解：若9cm为腰长，4cm为底边长，

∵9+9>4，

∴能组成三角形，

∴它的第三边是9cm；

若9cm为底边长，4cm为腰长，

∵4+4<9，

∴不能组成三角形；

故选：C．

分两种情况讨论：当9cm为腰长，4cm为底边长时；当9cm为底边长，4cm为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可．

本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键．9.【答案】D

解：A，B，C都不是△ABC的边BC上的高．

故选：D．

根据高线的定义即可得出结论．

本题考查的是作图−基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．10.【答案】A

解：∵3b=b+b+b，

∴(3b)2可看作是边长为3b的正方形的面积．

故选：A．

利用正方形的面积求解方法证得即可．11.【答案】3a−2b

解：(3a2−2ab)÷a

=3a2÷a−2ab÷a

=3a−2b，

故答案为：12.【答案】140

解：根据互为补角的概念，得：

180°−40°=140°．

故答案为：140．

两个角的和为180°，则两个角互为补角．根据概念进行计算．

此题考查了补角，掌握补角的定义是解答本题的关键．13.【答案】3.1

【解析】【分析】

此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

根据垂线段的性质：垂线段最短，进行解答即可．

【解答】

解：∵PC⊥l，

∴该同学的实际立定跳远成绩应测量图中线段CP的长，

∴该同学的实际立定跳远成绩为3.1米14.【答案】126

解：依题意当等腰直角三角形直角边长为3时，

阴影面积为122−4×12×32=126cm15.【答案】30°

解：如图所示：延长DC交AE于点F，

∵AB/​/CD，∠EAB=70°，∠ECD=100°，

∴∠EAB=∠EFC=70°，

∴∠E=100°−70°=30°．

故答案为：30°．

直接利用平行线的性质得出∠EAB=∠EFC=70°，进而利用三角形的外角得出答案．

此题主要考查了平行线的性质，正确的作出辅助线是解题关键．16.【答案】解：(−1)2024+(12)−2−23×【解析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可．

本题考查了负整数指数幂，有理数的乘法，有理数的乘方和有理数的加减等知识点，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．17.【答案】解：如图，直线m，直线n或直线PA，直线PE即为所求．

【解析】根据垂线的定义画出图形即可．

本题考查作图−应用与设计作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义．18.【答案】解：AE/​/BD，CE/​/AB，DE/​/AC，理由如下：

∵∠AED=30°+90°=120°，∠D=60°，

∴∠AED+∠D=180°，

∴AE//BD(同旁内角互补，两直线平行)；

∵∠BAC=90°，∠ACE=90°，

∴∠BAC=∠ACE，

∴CE//AB(内错角相等，两直线平行)；

∵∠DEC=90°，∠ACE=90°，

∴∠DEC=∠ACE，

∴DE/​/AC(内错角相等，两直线平行)．

【解析】根据平行线的判定定理求解即可．

此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．19.【答案】解：原式=4a2−4ab+b2+a2−2ab+ab−2b2

【解析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、合并同类项法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．

本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图，DE为所作；

(2)∵∠A=62°，∠B=74°，

∴∠ACB=180°−62°−74°=44°，

∵CD是∠ACB的角平分线，

∴∠BCD=12∠ACB=22°，

∵DE/​/BC，

∴∠EDC=∠BCD=22°【解析】(1)利用基本作图，作∠ACB的平分线即可；

(2)先根据三角形内角和计算出∠ACB=44°，再利用角平分线的定义得到∠BCD=22°，然后根据平行线的性质得到∠EDC的度数．

本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形内角和定理．21.【答案】解：(1)根据题意可得，

S阴=(4a−1)(3b+2)−2b(3a−2)

=12ab+8a−3b−2−6ab+4b

=6ab+8a+b−2；

(2)a=4，b=3时，

原式=6×4×3+8×4+3−2=72+32+1=105【解析】(1)根据题意大阴影部分的面积等于长为4a−1，宽为3b+2的长方形面积减去长为3a−2，宽为2b的长方形面积，应用多项式乘多项式及单项式乘单项式的法则进行求解是解决本题的关键；

(2)把a=4，b=3代入(1)中的结论中，进行计算即可得出答案．

本题主要考查了多项式乘法及单项式乘多项式，熟练掌握多项式乘法及单项式乘多项式法则进行求解时解决本题的关键．22.【答案】8

l=2t+8

10

120

解：(1)从图2看，DC边没有移动时，边BC长度是为8cm，

设0至5秒间l与t的关系式为l=kt+b，

把(0,8)，(5,18)代入l=kt+b得，

b=85k+b=18，

解得k=2b=8，

∴0至5秒间l与t的关系式为l=2t+8，

故答案为：8，l=2t+8；

(2)从图2看，当t=0∽5时，DC边向右运动，当5～8时，DC边运动停止，从t=8开始，CD向左运动；

(3)①由(1)知，BC=8，

则S=AB⋅BC=8×AB=80，解得AB=10，

故答案为：10；

②根据表中的规律得，表格中a的值是120，

故答案为：120；

③设8至14秒间S(cm2)与t(s)的关系式为S=mt+n，

将点(14,0)，(12,60)代入上式得：0=14m+n60=12m+n，

解得m=−30n=420，

故函数表达式为S=−30t+420(8≤t≤14)．

(1)根据函数图象即可得到结论，设0至5秒间l与t的关系式为l=kt+b，把(0,8)，(5,18)代入l=kt+b得，解方程组即可得到结论；

(2)根据函数图象即可得到结论；

(3)①由(1)知，BC=8，根据矩形的面积公式即可得到结论；

②根据表中的规律得即可得到结论；

③设8至14秒间S(cm223.【答案】37

解：(1)∵a+b=7，ab=6，

∴a2+b2=(a+b)2−2ab=72−2×6=37，

故答案为：37；

(2)①设−3x=a，3x+2=b，

∴−3x(3x+2)=ab=6，a+b=2，

∴9x2+(3x+2)2

=a2+b2

=(a+b)2−2ab

=22−2×6

=−8；