2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练) 含解析

2024年高考数学复习解答题解题思路训练专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造或(，且)型 2题型二：构造或(，且)型 3题型三：构造或型 4题型四：构造或型 5三、专项训练 5一、必备秘籍1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、典型题型题型一：构造或(，且)型1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（）A． B．C． D．2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为．5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是.题型二：构造或(，且)型1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C．D．2．（2023上·四川内江·高三期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为.5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的取值范围是．题型三：构造或型1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（

）A． B．C． D．2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（

）A． B．C． D．3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为．题型四：构造或型1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．三、专项训练一、单选题1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在上的函数的导函数，且满足，．则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．3．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（

）A． B．C． D．7．（2023·云南·校联考三模）设函数在上的导数存在，且，则当时，（

）A． B．C． D．8．（2023下·湖北·高二校联考期中）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．9．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．10．（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（

）A． B．C． D．11．（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数在上连续且可导，同时满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．二、填空题12．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是．13．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为.14．（2021下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为．15．（2022下·江苏·高二校联考阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为．16．（2021下·重庆江津·高二校考期中）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是.17．（2021下·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）设的定义域为，的导函数为，且对任意正数均有，设，，，，则的大小关系是18．（2020下·四川成都·高二四川师范大学附属中学校考期中）函数定义在上，，其导函数是，且恒成立，则不等式的解集为.19．（2020·陕西·统考二模）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为.20．（2019下·江苏扬州·高二统考期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为．21．（2017·河南·统考一模）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集．专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造或(，且)型 2题型二：构造或(，且)型 5题型三：构造或型 7题型四：构造或型 10三、专项训练 11一、必备秘籍1、两个基本还原①②2、类型一：构造可导积函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2③高频考点1：④高频考点1：高频考点2⑤⑥序号条件构造函数123456783、类型二：构造可商函数①高频考点1：②高频考点1：高频考点2：③⑥二、典型题型题型一：构造或(，且)型1．（2023下·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考期中）定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由当时，，得，设，则，所以在上单调递增，又函数为偶函数，所以为偶函数，所以在在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，A选项错误；，即，所以，B选项错误；，即，所以，C选项错误；，即，所以，D选项正确；故选：D.2．（2023下·四川绵阳·高二盐亭中学校考阶段练习）若函数满足在上恒成立，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：设，则，由，可知，所以在上是增函数，又，所以，即，故选：B.3．（2023下·陕西咸阳·高二统考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令，，则，∵当时，，即，在单调递减，∴，∴，即，∴.故选：D.4．（2023·甘肃张掖·甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知为偶函数，且当时，，其中为的导数，则不等式的解集为．【答案】【详解】令函数，当时，，即函数在上单调递减，由为偶函数，得，即函数是奇函数，于是在R上单调递减，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集是.故答案为：5．（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是.【答案】【详解】记，则，故当，，所以，因此在上单调递增，又当时，，因此为奇函数，故在上单调递增，又，因此当和时，，当和时，，因此，即可得和，故成立的的取值范围是，故答案为：题型二：构造或(，且)型1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（

）A． B．C．D．【答案】C【详解】令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，，即，故A不正确；，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C2．（2023上·四川内江·高三期末）已知是函数的导函数，，其中是自然对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，令函数，，求导得，则函数在R上单调递增，，而，则，因此有，解得，所以原不等式的解集为.故选：C3．（2023下·河南洛阳·高二统考期末）已知是定义在R上的函数的导函数，对于任意的实数x，都有，当时，．若，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，令，则，所以为偶函数，当时，，所以，所以函数在上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，即，则，解得.故数a的取值范围为：故选：B.4．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）定义在上的函数满足，且有，则的解集为.【答案】【详解】设，则，，，在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故答案为：.5．（2018上·江西赣州·高三统考期中）函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的取值范围是．【答案】【详解】设，则＞0∴在上单调递增，所以，即＜⇒＜；令，则∴在上单调递减，所以，即＞⇒＞综上，＜且

＞．故答案为：题型三：构造或型1．（2023下·四川成都·高二期末）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】令，则，当时恒有，所以，则在上单调递增，所以，则，即，选项A错误；，则，即，选项B正确；，则，又为奇函数，所以，选项C错误；由得，选项D错误；故选：B2．（2023·青海海东·统考模拟预测）已知是奇函数的导函数，且当时，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】当时，，则由，得；当时，，则由，得．令，则，故g（x）在上单调递增，在上单调递减．又f（x）是奇函数，所以是偶函数，故，即，，即．与和的大小关系不确定．故选：A．3．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）定义在上的奇函数的导函数为，且当时，，则不等式的解集为．【答案】【详解】令，因为是定义在上的奇函数，则，所以为偶函数.当时，，，由已知，所以，则在上单调递增，由可化为，即，得；当，，则，即，由为偶函数，则在上单调递减，得，所以不等式的解集为．故答案为：.题型四：构造或型1．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数，所以，易知当时，，所以函数在上单调递减．因为，则，由，则，且，因为函数在上单调递减，且，所以，即，故选：C．2．（2023下·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：令，则，因为，所以，则在上单调递减.所以，故，，故选：C三、专项训练一、单选题1．（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知定义在R上的函数，其导函数满足：对任意都有，则下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】记，则，因为，即，所以，所以在R上单调递增，故，，整理得，.故选：B2．（2023·河南开封·统考三模）设定义在上的函数的导函数，且满足，．则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为，所以，设，则，令，则，设，则，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，∴，在上单调递减，又，理由如下：如图，设，射线与单位圆相交于点，过点作⊥轴于点，过点作⊥轴交射线于点，连接，设扇形的面积为，则，即，解得，其中，故，∴．故选：C3．（2023下·云南保山·高二统考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】构造函数，则由题意可知当时，所以函数在区间上单调递减，又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，所以在区间上单调递增，又，，，因为，，所以，所以，即，正确.故选：.4．（2023·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，则恒成立，故在上单调递增．，，即．故选：A5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】构造函数，则由题意可知当时，所以函数在区间上单调递减，又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，所以在区间上单调递增，，，，因为，，所以，所以，即，故选：B6．（2023·全国·高三对口高考）已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若，则必有（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由.若不是常函数，则在上单调递减，又，则；若为常函数，则.综上，.故选：A7．（2023·云南·校联考三模）设函数在上的导数存在，且，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，令，则，所以在上单调递增，当时，，即，所以且.故选：B8．（2023下·湖北·高二校联考期中）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D.9．（2023下·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】令，则，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，而可化为，又即，解得，所以不等式的解集是．故选：B10．（2023下·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：令，则，因为，所以，则在上递增，又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，所以是定义在R上的奇函数，则在上单调递增，所以，即，故A错误；，即，故B错误；，即，故C正确；，即，故错误，故选：C11．（2023下·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知函数在上连续且可导，同时满足，则下列不等式一定成立的为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】构造函数，则，所以在上单调递增，所以，即，所以.故选：C二、填空题12．（2023上·河南焦作·高三统考开学考试）已知定义在R上的函数及其导函数满足，若，则满足不等式的x的取值范围是．【答案】【详解】由题意，对任意，都有成立，即．构造函数，则，所以函数在上单调递增．不等式即，即．因为，所以．故由，得.所以不等式的解集为，故答案为：.13．（2023下·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知偶函数是定义在上的可导函数，当时，且，则的解集为.【答案】【详解】令，可得因为时，，所以，即函数在为单调递增函数，又因为函数为偶函数，可得，所以函数为偶函数，所以在为单调递减函数，因为，即，可得，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：.14．（2021下·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考期中）函数定义域为，其导函数是，当时，有，则关于的不等式的解集为．【答案】【详解】令，则，因为，所以，因为，所以，所以在上为减函数，由，得，所以，因为在上为减函数，所以，所以不等式的解集为，故答案为：15．（2022下·江苏·高二校联考阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为．【答案】【详解】变形为，