福建省漳州市第四中学高三数学文上学期摸底试题含解析

福建省漳州市第四中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x，y）的个数为12…．则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为(

)A．76 B．80 C．86 D．92参考答案：B【考点】归纳推理．【专题】阅读型．【分析】观察可得不同整数解的个数可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，则所求为第20项，可计算得结果．解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an=4n，则所求为第20项，所以a20=80故选B．【点评】本题考查归纳推理，分寻找关系式内部，关系式与关系式之间数字的变化特征，从特殊到一般，进行归纳推理．2.若，则“成立”是“成立”的

（

）（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：C3.已知对应的点位于复平面内的

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：C4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(

)参考答案：A试题分析：函数的定义域为,所以排除B;又,所以函数为偶函数,图像关于轴对称,所以排除C;又因为,所以排除D.故A正确.考点：函数图像.6.已知函数若有则的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9

【答案解析】B

解析：∵f（a）=g（b），∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+，故选B【思路点拨】利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．7.设集合，，则(

)A．

B.

C．

D.参考答案：C试题分析：，，；故选C．【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合以及集合的运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意其代表元素的意义，如表示函数的定义域，表示函数的值域，表示函数的图象.考点：1.集合的表示；2.集合的运算．8.

已知数列为等比数列，若，则等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.某班有60名学生，一次考试后数学成绩～N(110，102)，若P(100≤≤110)=0．35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为

A．10

B．9

C．8

D．7参考答案：B10.已知函数有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A试题分析：函数的函数图像如下图，则可以看成与的交点，从图可知，故选A.考点：1.函数的零点；2.函数的图像应用.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则的最小值为

．参考答案：﹣

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，由题意当x=时，f（x）取最大值0，推导出（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）=，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，∴，x＞0，当a≤e时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，当a＞e时，由，得x=，∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=时，f（x）取最大值，f（）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，∴ln（a﹣e）+b+1≥0，∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），∴（a＞e），令F（x）=，x＞e，F′（x）==，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由H′（x）=0，得x=e+，当x∈（e+，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，x∈（e，e+）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，∴当x=e+时，H（x）取最小值H（e+）=﹣e﹣，∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）==﹣，∴的最小值为﹣．故答案为：﹣．12.等差数列中，,记,则____.参考答案：略13.已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

。参考答案：14.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则

．参考答案：4略15.已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为_______．参考答案：3略16.(文科）等差数列()满足，且前项和为，则＝

．参考答案：(文)17.（5分）A、B、C三点在同一球面上，∠BAC=135°，BC=2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为．参考答案：4【考点】：球的体积和表面积．【专题】：空间位置关系与距离；球．【分析】：运用正弦定理可得△ABC的外接圆的直径2r，再由球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，即可求得球的半径，再由球的体积公式计算即可得到．

解：由于∠BAC=135°，BC=2，则△ABC的外接圆的直径2r==2，即有r=，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R===，即有此球O的体积为V=πR3=π×（）3=4．故答案为：4．【点评】：本题考查球的体积的求法，主要考查球的截面的性质：球的半径和球心到截面的距离、及截面圆的半径构成直角三角形，同时考查正弦定理的运用：求三角形的外接圆的直径，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣2alnx．（1）求f（x）的极值；（2）当a＞0时，函数g（x）=f（x）﹣2ax有唯一零点，试求a的值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求f（x）的极值；（2）求导数，确定函数的单调性，g（x）=0有唯一解，g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，由此求a的值．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=．a≤0时，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增，无极值；a＞0，函数在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，函数有极小值f（）=a﹣alna；（2）g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，g′（x）=（x2﹣ax﹣a）．令g′（x）=0，得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（舍），x2=，当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上是单调递减函数；当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数．∴当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0．则x22﹣2alnx2﹣2ax2=0，x22﹣ax2﹣a=0，∴2alnx2+ax2﹣a=0，∵a＞0，∴2lnx2+x2﹣1=0①，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵在x＞0时h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解．∵h（1）=0，∴方程①的解为x2=1，即=1，解得a=．19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：．参考答案：（1）,在上为增函数，,在上为增函数，在上为减函数；（2）证明见解析．试题分析：（1）先求,再根据导函数零点分类讨论和时,导函数的正负情况确定单调区间；（2）先化简所证不等式,再构造新函数,求导研究单调性与最值,证得不等式成立．试题解析：解：（1）由，可得当时，，则函数在上为增函数当时，由可得，由可得则函数在上为增函数，在上为减函数（2）证明：令则令，则∵，∴，又，∴∴在上为增函数，则，即由可得，所以．考点：1．求函数的单调区间；2．证明不等式．【方法点晴】函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用．本题考查的为利用导数判断函数的单调性以及最值等常见问题．而且涉及到参数的讨论,主要是以导函数的正负为分类标准,从而得出不同的单调性,注意给定的参数范围以及定义域．20.已知函数（均为正常数），设函数在处有极值.（1）若对任意的，不等式总成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.参考答案：解∵，∴，由题意，得，，解得.（1）

不等式等价于对于一切恒成立.

略21.已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．参考答案：解：（Ⅰ）

=

6分∴函数的最小正周期

7分（Ⅱ）∵，，∴

10分∴

11分∴在区间上的最大值为2，最小值为．

12分略22.坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；

（Ⅰ）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若是曲线上的一个动点，求的最大值．参考答案：⑴由题意知或

解得或,即；∴能够维持有效的抑制作用的时间:小时；……………4分⑵由⑴知,时第二次投入1单位洗衣液,显然的定义域为；当时,第一次投放1单位洗衣液还有残留,故=+=；当时,第一次投放1单位洗衣液已无残留,故当时,

=；当时,