江西省宜春市段潭中学高三数学文联考试题含解析

江西省宜春市段潭中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3参考答案：D考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．解答：解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．点评：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2.设实数x、y满足约束条件，已知z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，则实数a的值为（）A．6 B．﹣6 C．﹣ D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，作出直线2x+y=8和2x+y=﹣5，得到直线x+ay﹣4=0经过点A，B，进行求解即可取出a的值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，∵z=2x+y的最大值是8，最小值是﹣5，∴作出直线2x+y=8，则目标函数与直线x+y﹣4=0交于A，作出直线2x+y=﹣5，则目标函数与直线3x﹣2y+4=0交于B，则直线x+ay﹣4=0经过点A，B，由，解得，即B（﹣2，﹣1），代入直线x+ay﹣4=0，得﹣2﹣a﹣4=0．解得a=﹣6．即AB：x﹣6﹣4=0，由图象进行检验可得，满足条件，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若（A）12

（B）18

（C）24

（D）42参考答案：答案：C解析：S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24，选C4.下列命题中，真命题是（

）A．

B．C．的充要条件是

D．是的充分条件参考答案：D5.已知抛物线的焦点为F，对称轴与准线的交点为T，P为C上任意一点，若，则（

）A.30° B.45° C.60° D.75°参考答案：C【分析】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.6.函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A． B． C．π D．2π参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．7.设A＝{x|x－a＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，且A∩B＝B，则实数a的值为()A．1

B．－1C．1或－1

D．1，－1或0参考答案：D8.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（

）A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤参考答案：A由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重3×2=6斤.9.设集合M={x|x2﹣4x+3≤0}，N={x|log2x≤1}，则M∪N=（）A．[1，2] B．[1，2） C．[0，3] D．（0，3]参考答案：D考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出M，N的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．解答：解：M={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，则M∪N={x|0＜x≤3}，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10.

已知函数在区间上的最大值为,则等于(

)A．－

B．

C．

－

D．－或－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量a，θ∈R，则（a﹣2cosθ）2+（a﹣5﹣2sinθ）2的最小值为．参考答案：9略12.函数f(x)=的值域为_________参考答案：略13.由曲线y=3﹣x2和直线y=2x所围成的面积为

．参考答案：【考点】定积分．【分析】联立由曲线y=3﹣x2和y=2x两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（﹣3，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．【解答】解：联立得，解得或，设曲线与直线围成的面积为S，则S=∫﹣31（3﹣x2﹣2x）dx=故答案为：．14.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为

分．参考答案：215.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是

．参考答案：略16.

在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为

.

参考答案：17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，acosB=bcosA，4S=2a2﹣c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理化acosB=bcosA，得出△ABC是等腰三角形，即a=b；由△ABC的面积S=absinC，结合4S=2a2﹣c2，求出sinC=cosC，从而得出角C的值．【解答】解：△ABC中，acosB=bcosA，∴sinAcosB=sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A=B，∴a=b；又△ABC的面积为S=absinC，且4S=2a2﹣c2，∴2absinC=2a2﹣c2=a2+b2﹣c2，∴sinC==cosC，∴C=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）已知向量

（1）求cos(–)的值；

（2）若0＜＜，–＜＜0，且sin=，求sin．参考答案：解析:（1）∵∴

∵

，………………5分即2–2cos(–)=，

∴cos(–)=．…………6分（2）∵0＜＜

∴0＜–＜，…………8分∵cos(–)=，∴sin(–)=．∵sin=–，

∴cos=，………………10分∴sin=sin[(–)+]=sin(–)cos+cos(–)sin=

19.（16分）已知函数f（x）=ex﹣a（x﹣1），其中，a∈R，e是自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出a=﹣1的函数的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到；（2）求出导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（3）由（2）可得，a＞0时f（x）取得极小值也为最小值，由恒成立思想可得a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），求得导数，求出极大值也为最大值，即可得到．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=ex+x﹣1的导数为f′（x）=ex+1，函数f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e+1，又切点为（1，e），则切线方程为y﹣e=（e+1）（x﹣1），即为（e+1）x﹣y﹣1=0；（2）函数f（x）=ex﹣a（x﹣1）的导数f′（x）=ex﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，则f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．即有f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）；（3）由（2）可得，a≤0时，f（x）递增，无最值；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增，则f（x）在x=lna处取得极小值也为最小值，且为a﹣a（lna﹣1）=a（2﹣lna）．函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，则有a（2﹣lna）≥b，则ab≤a2（2﹣lna），令t=a2（2﹣lna），则t′=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna），当0＜a＜时，t′＞0，t递增；当a＞时，t′＜0，t递减．则t在a=时取得极大，也为最大，且为e3（2﹣）=e3．则ab的最大值为e3．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查构造函数运用导数求最值的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20.（本题满分10分）已知等比数列

（1）

（2）若的通项公式。参考答案：解：(1)∵,∴,∴.……………5分21.中，、、所对的边为、、．已知，，．（1）若，，求的面积的大小；（2）求的值．参考答案：（1）由可知，，（4分）因为，所以,所以，即（6分）由正弦定理可知：，所以，因为所以，所以（8分）所以（10分）（2）原式===（14分）22.（14分）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证：，；（III）求出满足等式的所有正整数．参考答案：本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分