湖南省衡阳市 市第二十中学高三数学文月考试题含解析

湖南省衡阳市市第二十中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数的导函数为，若为偶函数，且在上存在极大值，则的图象可能为（

）A.B.

C.

D.

参考答案：C2.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略3.设，向量，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：A【详解】试题解析：由向量，，且得，解得x＝2，所以，故选A．考点：向量垂直的条件，向量模的计算．点评：根据向量垂直则向量的数量积等于0，求出x的值，再利用向量的加法，求出向量的模．

4.已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为

A.6

B.

C.

D.参考答案：C5.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．

【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，如图所示：故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．故选C．【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，是解题的关键．6.已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a的值是（）A．4B．C．1D．2参考答案：D略7.已知复数在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上，则（

）

A、 B、 C、 D、参考答案：B略8..已知，i为虚数单位，若，则（

）A．

B．

C．3

D．参考答案：D，则9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）（A）2

（B）（C）4

（D）参考答案：D10.（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，11]C．[1，3]D．[﹣1，11]参考答案：D【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线分别为,设及直线

x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x，y)是区域D内任意一点，则x+2y的最大值为________.参考答案：612.“无字证明”(proofswithoutwords)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：

．参考答案：13.已知F是抛物线的焦点，点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，若（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是______参考答案：3设直线的方程为，点，，直线与轴的交点为.联立，可得，根据韦达定理可得.∵∴，即.∴或（舍），即.∵点，位于轴的两侧∴不妨令点在轴的上方，则.∵∴，当且仅当时取等号.∴与面积之和的最小值是3.故答案为3.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键．14.直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．参考答案：±【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=?（t1+t2）2﹣4t1t2=10，?cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．15.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则椭圆C的标准方程是．参考答案：+=1【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得椭圆的焦点在x轴上，再结合椭圆的定义可得2a=4，2c=2，即可得a、c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆方程可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），其焦点在x轴上，又由其上任意一点M到两个焦点的距离和是4，椭圆的焦距是2，则有2a=4，2c=2；即a=2，c=1，则有b2=a2﹣c2=3；则椭圆的方程为：+=1；故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆的定义．16.设函数，则满足的的取值范围是_________.参考答案：若，显然成立.则有或，解得，若，由，可知，所以，得故答案是或【考点】函数迭代的求解及常用方法，利用好数形结合、分类讨论的思想是解答本题的关键．17.记等差数列的前n项和为，已知.则．参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程．（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论．【解答】解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；

（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=，

O到直线AB的距离：d=，∴S△AOB==，∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．19.（本题满分14分）已知函数．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。参考答案：解：（1）．……1分因为为的极值点，所以．…………………2分即，解得．……………3分又当时，，从而为的极值点成立．…………4分（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立．……5分①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．…………6分②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立．

………………7分令，其对称轴为，

………8分因为所以，从而在上恒成立，只要即可，因为，解得．………………9分因为，所以．综上所述，的取值范围为．………10分（3）若时，方程可化为． 问题转化为在上有解， 即求函数的值域．…………11分因为，令， 则 ，…………12分

所以当时，从而在上为增函数，

当时，从而在上为减函数，……………13分

因此． 而，故，

因此当时，取得最大值0．…………………14分

20.过直线上的动点作抛物线的两切线，为切点。（1）若切线的斜率分别为，求证：为定值。（2）求证：直线过定点。参考答案：（1）设过与抛物线相切的直线方程为：由，得，因直线与抛物线相切，所以，即，所以，为定值。………5分（2）由（1）可得切点坐标为，即，所以直线的方程为，从而直线过定点。…………10分21.已知数列满足，且当时，恒成立.（1）求的通项公式；（2）设，求和.参考答案：解：（1）

1分

2分所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列

4分

6分（2）