概率论与数理统计理工类(周概容著)高等教育出版社

SBGX概率统计(理工类)abab10≤10},10>8},AC=C,BC=∅,AD={6≤ν1 A=B0B9,B=B0+B9,C=B0B9,D=B=Aii=1i=3i=1(2)A={半径为r3和r4的圆环}；B={半径为r6的圆}；C={半径为r6的圆}；D={半径为r1的圆}.1.3设电路MN中装有a和b两个继电器．以A和B分别表示a和b为通路，以A和B分别表示a和b断路．利用电路MNA+B=AB，AB=A+B. 解引进事件C={MN为通路}，则C={MN为断路}．显然，C=A+B，C=AB，因此C=A+B=AB．在A+B=AB分别将A换成A，将B换成B，(1)(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=∅;M(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)=[A(A+B)+B(A+B)][A(A+B)+B(A+B)]=[A+AB+AB+BB][A+AB+AB+BB]=[A+A(B+B)][A+A(B+B)]=AA=∅.SBGX概率统计(理工类)(1)若A+C=B+C，则A=B； 注意，该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处.C4100=196≈10.8472=0.1528.100C4B123456002366SBGX概率统计(理工类) 36+A+A+A+A+A)).P(AiAj)==(1≤i<j≤4).P(AiAjAk)==(1≤i<j<k≤4)；+A+A+A(2)N2=91025=4500：第一位数字有9种、最后一位数字有5种、中间两位数字共有102种选择；(4)N4=93+3892=2673：只有第一位数是6的共有93种情形，6只出现在第2,3或4位数上的情形各有892种；SBGX概率统计(理工类)P(A)==0.504；P(A2)==0.500；P(A4)==0.297.“红球”；以(WWR)表示事件{前两次抽到黑球，第三次抽到白球}……依此类推．易见，A=(R)+(WR)+(WWR)+(WWWR)，P(R)==，P(WR)==，P(WWR)==，P(WWWR)===.P(A)=+++=≈0.7143.说明我们是按古典型求的概率P(WR)，P(WWR)，P(WWWR)，显然可以用乘法公式来求.1.12对于随机变量X和Y，求P{min[X,Y]≤0}，已知概率P{X>0}=,P{Y>0}=，P{X≤0,Y≤0}=.335 4P(B)= 45P(AB)=P{X≤0,Y≤0}=15P{min[X,Y]≤0}=P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=+=.含0不含9}的概率.=B9B=B=BBBP(B0)= 98,9x107P(B9)= 8x97,9x107P(B0B9)=A=B0+B9={电话号码中不含09x107SBGX概率统计(理工类)P(A)=P(B0+B9)=P(B0)+P(B9)P(B0B9)98+89788=≈0.7170.9107P(A2)=P(B9B0B9)=P(B9)P(B0B9)=≈0.2387.A=B=AAA，B=A+A+A)1P(AA16P(AAA)=；P(AAAAA)=AAAAA=1.6 =.+A+A)=一+=.+A+A)=. 1.15已知概率P(A)=p,P(B)=q,P(AAB,A(A+B). P(A+B)=1P(AB)=1r，P(AB)=1P(AB)=1r，P(AB)=1P(A+B)=1[P(A)+P(B)P(AB)]=1[p+qr]，P(A+B)=1P(A+B)=1[p+qr]，P(A[A+B])=P(A+AB)=P(A)=p.SBGX概率统计(理工类)A…)=P(A1)P(A2)…P()=(1-p)n，们显然相互独立，且P(Ai)=p.1,2,,1,2,,n+A+…+)=1-P(A1A2…)=1-(1-p)n. )++P(A1)=np(1-p)n-1，n+np(1-p)n-1.k(1-p)n-k.张卡片，设X是该卡片上两个数字之和，而Y是该卡片上两个数字之积．求条含1个基本事件：{00}；对于m=1,2,…,9，{X=m|Y=0}各含2个基本事件：{0n,m0}．故对于m=10,11,…,18，显然P{X=m|Y=0}|191.18假设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球．现在将一个白球放进箱中，然后从箱中随机取出一完全事件组，并且P(H1)=P(H2)=0.5．由条件知SBGX概率统计(理工类)|A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)30)=0.20；01.20设三台独立工作设备Sk(k=1,2,3)的可靠性(无A=A+A+=1(1p)3=99.9%，(1p)3=10.999=0.001，P(H1)=0.30，P(H2)=0.70，P(A|H1)=0.80，P(A|H2)=1.0=P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=0.300.80+0.70=0.94；010=0.9410≈0.5386.0SBGX概率统计(理工类)12N34512N345=10.9410100.9490.06≈0.1175.MM+A+A+A)=2p2+2p35p4+2)5p. (AA=[1(1p)2][1(1p)2]=(2pp2)2；+AAA)=2p2p4.P(B)=p(2pp2)2+(1p)(2p2p4)=2p2+2p35p4+2p5.+A+AA)SBGX概率统计(理工类)(2)若事件A和B独立且不相容，则A和B中必有一个是0概率事件.P(AB)=P(A)P(B)，P(AB)=P(A)，P(A)=P(A)P(B).P(A)P(B)=P(AB)=0，因此，概率P(A)和P(B)至少有一个等于0.=P(A)P(B1)+P(A)P(B2)=P(A)[P(B1)+P(B2)]=P(A)[P(B1+B2)]，因此A和B1+B2独立.类似可以证明A和B1B2独立. 则A=231=3={平局}.2B23SBGXSBGX概率统计(理工类)页 于是(B)是正确选项.假设随机变量X在[-2,2]上均匀分布，引进事件A={-2≤X≤0}，B={-2≤X≤1}， 于是，只有(B)是正确选项.分析应该选(D)．宜采用直选法确定符合题目要举出反例. A+B=AB=∅=Ω, 于是，(D)符合题意的要求的正确选项.SBGXSBGX概率统计(理工类)页 A+B=A+(BAB)=A+(ΩA)B=A+AB.于是(B)是正确选项.对于选项(C)，事件(A+B)A显然等价于事件“B出现但是A+BC=ABC.所以选项(D)一般不成立．于是，只有(B)是正确选项. 为说明前三个选项都不成立，只需分别举出反例．由于A,B,C是二任意事件，例如，设是，(D)是正确选项.说明该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处. SBGXSBGX概率统计(理工类)页(A)P(A+B)>P(C)．(B)P(AB)>P(C).(C)P(A+B)<P(C)．(D)P(AB)<P(C)．[]那么，利用上面的分析容易看到选项(C)正确.则C=A+BA+BA+r=P(C)=1-P(C)=1-(1-p)(1-pq)n.r=1-(1-p)(1-pq)n≥α,(1-p)(1-pq)n≤1-α,(1-pq)n≤，nln(1-pq)≤ln(1-α)-ln(1-p)，1.32从n双不同型号的皮鞋中随机取出2m(2m≤n)只．求下列事件的概率：A={取出的鞋任何两只都不成双}；B={取出的鞋恰好一对成双}；C={取出的鞋恰好两对成双}.解从n双(2n只)鞋中随意取出2m总共有C种不同取法，即基本事件的总数为N=C.SBGXSBGX概率统计(理工类)页(1)为使取出的鞋无一对成双，只须先从n双鞋中取出2m双，然后从每双鞋中任取一只；总共有M=22mCm种不同取法，因此再从这2(m-1)双中各任取一只；总共有M=22(m-1)CC-(-1)种不同取法，因此n22(m-1)C2(m-1)P(B)=．22n再从这2(m-1)双中各任取一只；总共有M=22(m-2)CC-(-2)种不同取法，因此Cm22(m-2)C2C2(m-2CmP(C)=．2n1.33将一枚完全对称和均匀的硬币接连掷n次．引进事件：A={正面最多出现一次}，B各至少出现一次}．就n=2,3,4的情形讨论事件A和B的独立性．解以Xn表示“将硬币掷n次正面出现的次数”．易见，事件{Xn=k}表示“正面恰好出现k次（反面恰好出现n-k次）”，因此nn2n其次，有A=｛Xn=0｝+{Xn=1}，B={Xn≥1，n-P(A)=P{X=0}+P{X=1}=1+n=n+1，nn2n2n2nnn2n-P(B)=1-P{X=0}-P{X=n}=nn2n-事件A和B独立，当且仅当P(AB)==1-=P(A)P(B)．n+1=2n-1．SBGXSBGX概率统计(理工类)页A，AB，ABA，ABAB，ABABA，ABABAB，ABABABA)=P(A)+(ABA)+P(ABABA)+P(ABABABA)+…=p1+q1q2p1+q1q2q1q2p1+q1q2q1q2q1q2p1+…=p1(q1q2)k=11q2=1(1(1p2).)=P(AB)+P(ABAB)+P(ABABAB)+P(ABABABAB)+…=q1p2+q1q2p2+q1q2p2+q1q2p2+…=q1p2(q1q2)k= q1p2(1p1)p2= A(AB)=(AA)B AA+B=A(AB)=(AA)B=∅B=∅;(AB)(AB)=(AB)(AB)=(AB)(BA)=A(BB)A=∅. A+AB+A+B=A+AB+AB AB和A+B构成完全事件组. 可见A+B=AB+AB+AB=B.SBGXSBGX概率统计(理工类)页(1.37设A,B是任意二事件，证明，若P(B|A)≤P(B)，则P(A|B)≤P(A).(设P(B|A)≤P(B)．由条件概率的定义，知=P(B|A)≤P(B)，P(AB)≤P(A)P(B).P(A|B)=≤P(A).立.k=1)（k=1)k=1k=1k=1)（k=1)k=1k=1k=1（k=1)k=1（k=1)nkk=1于是，A与kk=12.1将随机变量X表示为随机试验E的基X(000)=0；X(001)=X(010)=X(100)=1；X(011)=X(101)=X(110)=2；X(111)=3.X(0,1)=X(1,0)=X(0,3)=X(3,0)=X(1,2)=X(2,1)=X(2,3)=X(3,2)=1.2.2将随机变量X表示为随机试验Eωω01121223SBGXSBGX概率统计(理工类)页解(1)由于分布函数F(x)是连续函数，可见F(-1)=0，F(1)0=F(-1)=a-b，1=F(1)=a+b，(0，若x<-1，F(x)=〈+arcsinx，若-1≤x(2)由于分布函数F(x)是连续函数，可见2.4求常数a的值和事件{-0.5≤X≤0.5}的概率，若x<-1，若-1≤x<0，若0≤x<1，若x≥1.且F(0.9)=16.=F(-0.9)=，a=，若x<-1，若0≤x<1，若x≥1..P{-0.5≤X≤0.5}=F(0.5)-F(-0.5)=-=.SBGXSBGX概率统计(理工类)页P{X≤x|H2}=〈x，若0≤x<1,P{X≤x|H2}=〈x，若0≤x<1,得x分．试求得分X的分布函数F(x).若x<0,P(H1)=0.2，P(H2)=0.5，P若x<0,(0，若x<F(x)=P{X≤x}=P(Hk)P{X≤x|Hk}易见，分布函数F(x)既不是离散型的也不是连续型的，我们称之为离散-连续型的.P2.7将一颗色子掷两次，以X表示两次掷出的最小点数，求X的概率分布.(2)抽球直到首次出现白球为止，求抽球次数Y的概率分布.SBGXSBGX概率统计(理工类)页于“含7个W和3个B”的总体的4次不放回抽样，其基本事件总数为(k=0,1,2,3)的基本事件个数为：CC-k，因此或（210210210210)（6（210210210210)（62103(2)随机变量Y显然有1,2,3,4等430=0.5455；29=1-0.9830-3029说明本题亦可用古典概型求解.SBGXSBGX概率统计(理工类)页n=0}=10.99n≥0.95，n≥≈298.0729.=e.=(e2)4=e8≈0.0003.(2)最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值.n——n例服药者出现副作用的人数，n=1000,n=0}≈e2≈0.1353；P{νn=1}≈2e一2≈0.2707；nn3n=0}≈1e2≈0.86.2000.02k0.981200一k3024k24≈k!e一3024k24SBGXSBGX概率统计(理工类)页B=A+A+A+A；解法2设Y3次独立试验事件A={X>3}出现的次数，则Y服从参数为(3,p)的二项分布，其中234820=3p(1-p)+p=9+2348202.15某加油站每周的销售量X(单位：104L)是随机变0.01=P{X≥V}=5(1-x)4dx=-(1-x)5=(1-V)5.由此可见V=1-50.01≈0.6019(104L)=6019L.(1)事件A={101.1<X<117.6}的概率；(2)满足P{X≤a}=0.90的常数a；(3)满足P{|X-b|>b}=0.025的常数b.U=~N(0,1).=P{-2.3<U<3.2}=Φ(3.2)+Φ(2.3)-1=0.993+0.9893-1=0.9886.SBGXSBGX概率统计(理工类)页0.20)，=u0.20=0.2816，a=111.84.0.025=P{|X-b|>b}=P{-b<X-b<b}=1-P{0≤X≤2b}32b-108)2b-108)0.05)=0.025，≈u0.05=1.96，b=3根1.9+108≈7设随机变量X~N(3,4)，分别求常数C1和C2使之满足：(2)P{X<C2}=2P{X≥C2}.1=3.于是C1=3.P{X<C2}=2P{X≥C2}，=32P{X<C2=322P{X≥C2}=2-2P{X<C2}，P{X<C2}=2,3(C2-3)(C2-3)Φ==0.6666；Φ(0.43)=0.6664≈0.6666；C2-3≈0.43，C2≈2根0.43+3=3.86.2SBGXSBGX概率统计(理工类)页于是C2≈3.86.2.≈10.072.-λ0+8|X≥t0}=P{X≥8}=1-F(x)=e-0.125根8=e-1=0.3679≈0.37.-，若x>0，SBGXSBGX概率统计(理工类)页20013AA)A2.21设随机变量X服从二项分布B(3,0.4),求随机变量Y=X(X-2)的概率分布.解由于随机变量X有0,1,2,3等4个可能值，可见Y有-1,0,3等3个可能值．易见(03 (0由Y=X(X-2)可见2210.43220.2883)10.43220.2883)3)0.43)|于是，Y=X(X-2)的概率分布为 (-103)2.22设随机变量X服从[-1,2]上的均匀分布，求随机变量Y的分布律，其中解由于X服从[-1,2]上的均匀分布，知随机变量Y的概率分布为Y~|1(Y~|1|1) 3)2)SBGXSBGX概率统计(理工类)页e-02ym 解设G(y)为随机变量Y=lnX的分布函数，则对于任意y(e-02ym 2.24对圆片的直径进行测量，测量值R在[5,6]上均匀分布，求圆面积S的密度函数gR2，若R4sdr，若6.25≤s≤9，若不然.x2σ若x>0，若x≤0.求分子动能Y=mX22的概率密度g(y)，其中m是分子的质量.解G(y)为Y=mX22的分布函数，则当y≤0时，G(y)=0=2ymf(x)dx， √m-ySBGXSBGX概率统计(理工类)页3若y>0，若y≤0.W=2I2，求W的概率密度.若x∉(9,11). x=，=2y；当9<I<11时，162<W<242，因此函数y=2x2(9<x<11)的值域为（162,242于是，由随机变量的函数的概率密度公式（2.8功率W=2I2的概率密(A)可积函数.(C)可导函数.(B)连续函数.(D)0≤f(x)≤1.应排除的错误选项.(A)f(x)=f(-x)．(B)F(0)=1-F(0).(C)F(x)=F(-x)．(D)FSBGXSBGX概率统计(理工类)页F(1)=0.5=1-0.5=1从而(D)是正确选项.(2)排除法概率密度为f(x)显然不是偶是错误选项．于是选项(A)(B)(C)都是应排(A)是连续函数．(B)至少有两个间断点.是Y=min{X,2}的分布函数，则因为G(2)=1而F(2)=1-e-2λ≠1，所以G(y)在y=2处恰好有一个间断点.2.30设F1(x),F2(x)是随机变量的分布函数，(A)F1(x)+F2(x)是分布函数．(B)F1(x)F2(x)是分布函数.(C)f1(x)+f2(x)是概率密度．(D)f1(x)f2(x)是概(1)直选法设F(x)=F1(x)F2(x)只需证明F(x)具有分布函数的三条基本性质．由分布函数此F(x)=F1(x)F2(x)本身也是一个分布函数，因此(B)是正确选项.(x)+f2(x)]dx=2，f2.31随机变量Y=aX+b(a≠0)与随机变量X服SBGXSBGX概率统计(理工类)页(A)二项分布．(B)泊松分布.实2-μ2||2由此可见，Y=aX+b~N(aμ+b,a2σ2)，于是选项(C)正确.(2)排除法．对于(A)和(B)，由于Y=aX+b一般不取自然数为值，所以一般不服从二项分布和泊松分-λx，若x>0，(λ-λ(y-b)(λ-λ(y-b)错误选项，只有(C)是正确选项.个数，由条件知X和Xk(k=1,2,32-2-λSBGXSBGX概率统计(理工类)页P{X1=02=03=04=0}=P{X1=0}P{X2=0}P{X3=0}P{X4=0}=(e-2)4=e-8≈0.0003.P{X=m|X+Y=n}=Cpm(1-p)n-m(m=0,1,2,…；n≥m).P{X=m}=P{X=m|X+Y=n}P{X+Y=n}nn-λCpmnnn-m=e-λ[(1-p)k=ee=e.的泊松分布.kqn-k(k=0,1,2,,n)，其中q=1-p．由全概率公式可见，对于k=0,1,2,，有kqn-ke-λ1-e-0.01x(x>0).SBGXSBGX概率统计(理工类)页=1-(1-e-0.01根80)=e-0.8≈0.4493.4t2+4Xt+X+2=0试求钢球的体积V=4R33和表面积S=4R2的概率密度g1(v)和g2(s).解(1)求钢球体积V的概率密度g1(v)．由于半径R的值域为(0,1)，可见当v≤0和v≥43时g1(v)=0．设0<v<43，则体积V的分布函数为3≤v3v-1；SBGXSBGX概率统计(理工类)页g1(v)=34-(2)求钢球表面积S=4R2的概率密度g2(s)．由于半径R的值域为(0,1)，可见当s≤0和s≥4时22=6r(1-r)dr=3-22，g1(s)=1-；g2(s)=2.38设F1(x)和F2(x)是随机变量的分布函数，a和b(a+b=1)是非负常数，证明：F(x)=aF1(x)+bF2(x)也可以做随机变量的分布函数.证明只需验证F(x)=aF1(x)+bF2(x)满足分布函数的三条基本性质．由条件知a和b是非负常数且0≤F(x)=aF1(x)+bF2(x)≤a+b=1；=aF1(x1)+bF2(x1)≤aF1(x2)(2)由分布函数的一般性质，知F1(x)和F2(x)都右连续，可见F(x)mSBGXSBGX概率统计(理工类)页limF(x)=alimF1(x)+blimF2(x)=0；limF(x)=alimF1(x)+blimF2(x)=1.于是F(x)=aF1(x)+bF2(x)具有随机变量的分布函数的三条基本性质，所以它可以做随机变量的分布函数.f(a-x)=f(a+x).f(μ-u)du于是命题正确.是分布函数.以做随机变量的分布函数．因此，为证明G(x)是分布函数，只需证明它满足上述三条基本性质.<x2<1，因此G(x)是单调不减函数.SBGXSBGX概率统计(理工类)页t→x+0t→t→x+0t→x+0（（t)（x)（t)（x)从而G(x)右连续.xF(x)-0F|L（x)」x→-∞L（x)」x→-∞于是，G(x)是分布函数.2.41设X是连续型随机变量，C是常数，证明随机变量Y=X+C也是连续型的.证明设X的分布函数为F(y)，其中F(y)作为连续型随机变量的分布函数是连续函数．因此，g(t)dt=f(t-C)dt.由于分布函数G(y)数有概率密度，可见Y=X+C连续型随机变量.Y=服从标准正态分布.P{Y≤x}=P{-X≤x}=P{X≥-x}=对于任意X>1，有P{Y≤x}=P{Y≤-1}+P{-1<Y≤1}+P{1<Y≤x}=P{X≥1}+P{-1<X≤1}+P{-x≤X<-1}=1-P{X<1}+P{X≤1}-P{X≤-1}+P{X<-1}-P{X<-x}对于任意-1≤x≤1，有=P{X>1}+P{-1<X≤x}=1-P{X≤1}+P{X≤x}-P{X<-1}=P{X≤-1}+P{X≤x}-P{X≤-1}于是，随机变量Y服从标准正态分布.SBGXSBGX概率统计(理工类)页3.1设随机变量X等可能地取1,2,3联合概率分布.P{Y=j|X=k}=(k=1,2,3；j≤k)，P{X=k}=(k=1,2,3)；P{X=k,Y=j}=P{Y=j|X=k}P{X=k}1=P{X=k,Y=j}=0(k=1,2,3；j>k).现在将(X,Y)的概率分布用列联表表示：YX1231203003.2设P{X≥0,Y≥0}=37，P{X≥0}=P{Y≥0}=47，求P{min[X,Y]≥0}.57P{min[X,Y]≥0}=P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=573.3假设随机变量U在区间[2,2]服从均匀分布，随机变量X=Y=求X和Y的联合概率分布.SBGXSBGX概率统计(理工类)页 P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1,U≤1}=P{U≤- P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1,U>1}=P(∅)=0，P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}=P{-1<U≤1}=，P{X=1,Y=1}=P{U>-1,U>1}=P{U>1}=.3.4假设一批产品中有4件不合格品和16件合格品，接连从中随机地抽出两件，以X和Y分别表示先后抽(2)由X和Y的联合分布求X和Y的概率分布. ((0,0)=60((0,0)=60；3.5*将一颗色子独立地掷两次．以X表示第一次掷出的点数，Y表示两次出现点数的最大值．求，(2)概率P{X=Y}与P{X2+Y2<10}；(3)随机变量X和Y的概率分布.(1)X与Y的联合分布有利于事件{X=i,Y=i},i=1,2,…,6的有6个等可能基本事件；对于i>j，事件{X=i,Y=j}=∅;对于i<j，事件{X=i,Y=j}含5！=120个基本事件．因此SBGXSBGX概率统计(理工类)页|36，(2)P{X=Y}与P{X2+Y2<10}导致事件{X=Y}的基本事件{(i,i):i=1,2,…,6}共有6个，故P{X=Y}=P{X=k,Y=k}=P{X=k|Y=设G={(i,j):i2+j2<10，i≤j,j=1,2,…,6}．当基本事件属于集合G时事件{X2+Y2<10}出现，而P{X2+Y2<10}==.(3)X和Y的概率分布显然P{X=k}=(k=1,2,…,6).由于基本事件的总数为36个，其中导致事件{Y=1}的基本事件为(1,1)；导致{Y=2}的基本事件3个：P{X=k}=21(k=1,2,…,6).2<(2)试求事件“X大于Y”的概率P{X>Y}；(3)求条件概率P{Y>0.5|X<0.5}.ff(x,y)dy=x2+dy=(2x2+x)f1(x)=x3dx=.P{Y>1|X<0.5}=，SBGXSBGX概率统计(理工类)页P{X<0.5}=.5f1(x)dx=.5(2x2+x)dx=；P{Y>1|X<0.5}=P{{01}==0.65.解(1)未知常数Cf(x,y)dxdy=C2dx2sin(x+y)dy=-C2cos2[sinx+cosx]dx=2C.由此可见C=1/2.ff(x,y)dy=2sin(x+y)dy=.(2)*条件密度f2(y|X=x)对于任意0<x≤2，有f2(y|X=x)=f(x,y)f(sin(x+y)2=〈(sin(sin(x+y)2若0≤y≤若不然， ,2.(sin(x+y)(sin(x+y)若0≤y≤若不然.,2ff(x,y)=〈xe-(1+y)f2(y).,若不然.ff(x,y)dy=∞xe-x(1+y)dy=e-x.对于y<0，显然f2(y)=0；对于y≥0，有SBGXSBGX概率统计(理工类)页f(x,y)dx=∞xe-x(1+y)dxfxf2(y)=2，3.9已知随机向量(X,Y)的概率密度为(2)求X+Y不大于1的概率.f(x)=yP{X+Y≤1}=f(x,y)dxdyx+y=1x+y≤yP{X+Y≤1}=f(x,y)dxdyx+y=1x+y≤1O1/2x=2dx-xe-ydy=1+e-1-2e-1/2，例3.9(2)插图其中积分区域是插图的阴影部分.的次数(0或1)，求X和Y的联合分布函数及解(1)求X和Y的联合分布．引进事件A={甲命中}，B={乙命中}．由条件知A和B独立，0.28SBGXSBGX概率统计(理工类)页DGF(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X=0,Y=0}=0.12；DGF(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=0.30；对于0≤x<1，y≥1，F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.40；|0.40，若0≤x<1，y≥1，F1(x)=F(x,F1(x)=F2(y)=-2求随机变量X和Y的联合分布函数和概率P{X>1,Y>1}=e-3.解设F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}是X和Y的联合分布函数．当x≤0或y≤0时F(x,y)=0；设x>0，y>0，则F(x,y)=2e-2ue-vdudv=(1-e-2x)(1-e-y).-2x)(1-P{X>1,Y>1}=f(x,y)dxdy=2e-2xdxe-ydy=e-3.{x>1,y>1}3.12设G是曲线y=x2和直线y=x所围成的封闭区域，而随机向量(X,Y)在区域G上均匀分布，求Xy4xy=x24xy=SBGXSBGX概率统计(理工类)页解设G是y=x和y=x2所围区域(见插图)，其面积SG为4S0=2ydy=2320=，4`SD=(x-x2)dx=-=，.G0D.，G0D.，其中S0是曲线y=x2和直线y=4所围成封闭区域的面积，SD是曲线y=x2和直线y=x所围成封闭区域的面积．因此X和Y的联合概率密度为f(x)=f(x,y)dy=dy=(4-x2)；f1(x)=f(x,y)dy+f(x,y)dy=dy+dy=(x2-x)；(4-x2)，若-2≤x<0，f1(x)=2-x)x<2.(2)Y的密度对于0≤y<1f2(y)=2f(x,y)dx+f(x,y)dx0=2dx+dx=21-1xy=1(2-y)；0 对于1≤y≤4， f2(y)=yydx=21y.(2-0yf2(y)(2-0yy)，若0≤y<1，,若0≤y<1，3.13假设随机向量(X,Y)的联合分布是二元正态分布，其密度f(x,y)=Cexp{-2x2-y2-8x+4y-13}，SBGXSBGX概率统计(理工类)页1(25「(x-2)28(x-2)(y+1)(y+1)2])1(25「(x-2)28(x-2)(y+1)(y+1)2])2x222(1/2)(1/2)3.14假设随机变量X和Y的联合分布是参数为μ1=2,μ22122熟知，作为X和Y的联合分布的边缘分布，随机变量X服从正态分布N(2,9)，其概率密度为(x)=3e--=(5-4x)，2)3.15假设随机变量X和Y相互独立，都服从同一0-1分布：SBGXSBGX概率统计(理工类)页2424)4) 112112 求概率P{X=Y}.解注意，两个随机变量同分布，并不意味着它们相等，只说明它们取同一值的概率相等．由全概率公式及X和Y相互独立，可见P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=2}293.16证明X和Y独立，假设随机变量X和Y联合密度为(2e-xe-2y，若x(2e-xe-2y，若x>0，y>0，x>0,y>0，有ff(x,y)dy=e-x∞2e-2ydy=e-x，f(x,y)dx=2e-2y∞2e-xdx=2e-2y.(x)f2(y)，即随机变量X和Y独立.3.17假设一微波线路有两个中间站，它们无故障的时间X和Y是随机变量，其联合分布函数为-0.01xl-e-0.01y-e-0.01(x+y)，若x≥0，y≥0，0，若不然.(2)证明X和Y相互独立.α=P{X>100,y>100}=1-e-1-e-1+e-2=1-2e-1+e-2≈0.1353.(2)现在证明X和Y相互独立．以F1(x)和F2(y)分别表示X和Y的分布函数，则F1(x)=F(x,+∞)=1-e-0.01x，F2(y)=F(+∞,y)=1-e-0.01y；由于F(x,y)=F1(x)F2(y)，可见X和Y3.18假设离散型随机变量X和Y独立同分布：求P{X=Y}.SBGXSBGX概率统计(理工类)页11P{X=Y}=P{X=xk,Y=yk}=P{X=xk}P{Y=yk}=p，其中级数显然收敛.3.19假设G={(x,y):0≤x≤2,0≤y≤1}是一矩形，随机变量X和Y的联合分布是区域G上的均匀分求U和V的联合概率分布.直线x=y和x=2y将G分为三部分(见插图)：G1={x<y}，y4GG2={y<x<2y}，G3={x>2y}．易见y4G1x=2yP{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=，P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0，P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}=，3.20假设随机向量(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量Z=X+Y的概率密度f(z).解G={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1;x+y≥1}是以点(0,1),(1,0),(1,1)yGGOOSBGXSBGX概率统计(理工类)页若(x,y)∉G.xx<1时，f(x,z-x)且0≤z-x≤1时，即当0≤z-1≤f(x,z-x)dx=-12dx=2(2-z).于是，随机变量Z=X+Y的概率密度(2(2-(2(2-z)，若1≤z≤2,,若不然.((0,0)0.250.20(2,00.20,求X和U=X+Y的概率分布.P{X=0}=P{X=Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.10+0.15=0.25，P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.25+0.20=0.45，P{X=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=0.15+0.15=0.30； 10.452)(2)U=X+Y的概率分布．易见U有0,1,2,3四个可能值，因此P{U=0}=P{X=0,Y=0}=0.10，P{U=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.25+0.15=0.40，P{U=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.15=0.20=0.35， 10.4010.400.353.22设随机变量X和Y独立，X的概率分布和Y的概率密度相应为：1) 求随机变量Z=X+Y的概率分布.SBGXSBGX概率统计(理工类)页设G(z)是Z=X+Y的分布函数，则当z<0时G(z)=0；当z≥2时G(z)=1；设0≤z<1，有G(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X+Y≤z,X=0}+PX+Y≤z,X=1}=P{X=0,Y≤z}+P{X=1,Y≤z-1}=P{X=0}P{Y≤z}=P{Y≤z}=z；对于1≤z<2，有P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X+Y≤z,X=0}+PX+Y≤z,X=1}=P{X=0,Y≤z}+P{X=1,Y≤z-1}=P{X=0}P{Y≤z}+P{X=1}P{Y≤z-1}=[P{Y≤z}+P{Y≤z-1}]=[1+z-1]=z.于是，随机变量Z=X+Y的概率分布是区间[0,2]上的均匀分布.3.23已知随机向量(X,Y)的概率密度为若0≤x,y≤1，其他.求随机变量U=X+Y的概率密度f(u).解对于u<0和u>2，显然f(u)=0.(1)设0≤u≤1．注意到，当x>u时f(x,u-x)=0．因此，由二随机变量之和的概率密度公式，有f(t,u-t)dt=(t+u-t)dt=u2.(2)设1≤u≤2．注意到当x<u-1时f(x,u-x)=0．由二随机变量之和的概率密度公式，有f(t,u-t)dt=-1(t+u-t)dt=u(2-u).于是，随机变量U=X+Y的概率密度u)SBGXSBGX概率统计(理工类)页(2e-(x+2y)(2e-(x+2y)若x>0,y>0，若不然，求随机变量Z=X+2Y的概率密度g(z).解设Z=X+2Y的分布函数为G(z)，则当x≤0或y≤0时G(z)=0；当x>0且y>0时G(z)=P{Z≤z}=2e-(x+2y)dxdy{x+2y≤z,x>0,y>0}=22e-2ydy-2ye-xdx=22e-2y[1-e-(z-2y)]dy=22e-2ydy-2e-z2dy=1-e-z-ze-z.于是，随机变量Z=X+2Y的分布函数为-概率密度f(z).解当z≤0时显然f(z)=0；以下推导总设z>0.2=2e-λu-λ(z-u)du=2-u)du=(eλ2z-e-λ1z).3.26某商品一周的需求量X是随机变量，其概率密度为f(x)=xe-x(x>0)．假设各周的需求量相互独立，以Uk表示k周的总需求量，(1)求U2和U3的概率密度fk(x)(k=2,3)；(2)求接连解以Xi(i=1,2,3)表示第i周的需求量，则Xi的概率密度均为f(x)=xe-x(x>0)，而U2=X1+X2，U3=U2+X3．连续三周中的周最大需求量为X(3)=max{X1,X2,X3}.f(t)f(x-t)dt=e-x0xt(x-t)dt=x3e-x，f2(t)f(x-t)dt=e-x∫0xt3(x-t)dt=e-x=x5e-x.于是，两周和三周的总需求量U2和U3的概f2(x)=x3e-x，若x≥0，0，若x<0；fx5e-x，若x≥0，(2)易见，连续三周中的周最大需求量X(3)=max{X1,X2,X3}的分布函数为G(x)=[F(x)]3，其中F(x)是SBGXSBGX概率统计(理工类)页F(x)=-x若x>0，若x≤0.f(3)(x)= -x(1-e-x-若0<y<x，若不然，求随机变量Z=X+Y的概率密度g(z).g(z)=2其中由0<z-x<x,可见z2<x<z，故积分区间为(z2,z)．随机变量Z=X+Y的概率密度为3.28设随机变量X和Y相互独立，其分布函数相应为F1(x)和F2(y)，则随机变量U=max{X,Y}的分布函数为F(u)=(A)max{F1(u),F2(u)}．(B)min{1-F1(u),1-F2(u)}.分析应选(C)．这是一道计算性的单项选择题，通过直接计算U=max{X,Y}的分布函数即可确定正确选项.由分布函数的定义以及X和Y的独立性，知随机变量U=max{X,Y}的分布函数为F(u)=P{U≤u}=P{max[X,Y]≤u}=P{X≤u,Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=F1(u)F2(u).于是，只有选项(C)正确.3.29若独立随机变量X和Y，X+Y与X和Y有同名称的概率分布，则X和Y都服从(A)均匀分布．(B)二项分布.从泊松分布的两个随机变量之和仍然服从泊松分布.事实上，设随机变量X和Y相互独立都服从泊松分布，参数相应为λ1和λ2，则对于任意自然数SBGXSBGX概率统计(理工类)页n!i=0nin!i=0n=e.n!说明该题用排除法运算量比较大．事实上，其余三个选项都不符合题目的要求．可以证明：对于均匀分布，X+Y服从辛普森（Simpson）分布；对于指数分布，X+Y服从厄朗(Erlang)分布；对于二项分布，只有当X和Y分别服从参数为(m,p)和(n,p)的二项分布时，X+Y才服从参数为(m+n,p)的二项分布.(A)是阶梯函数．(B)恰好有一个间断点.由于F(x)是任意非负连续型随机变量的分布函数，当y<1时F(y)<1.是连续型随机变量，因此选项(A)和(C)都错误．分布函数G(y)显然只有一个间断点，故(D)也是错误选项．于是只有选项(B)正确.3.31设X是只有两个可能值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，而且X和Y相互独立，则随机(A)是阶梯函数．(B)恰好有一个间断点. 而F(x)是密度为f(x)的连续型分布函数，则X+Y的分G(u)=P{X+Y≤u}=P{X=a}P{X+Y≤u|X=a}+P{X=b}P{X+Y≤u|X=b}=pP{Y≤u-a|X=a}+qP{Y≤u-b|X=b}=pP{Y≤}+qP{Y≤u-b}=pF(u-a)+qF(u-b).SBGXSBGX概率统计(理工类)页r2-x2因此，随机变量r2-x23.32设随机变量X和Y的联合概率分布是圆x2+y2≤r2上的均匀分布，则服从均匀分布的是(A)随机变量X．(B)二随机变量X与x)=x)= f(x)2f(x,y)的边缘密度．当|x|>r时，显然f1(x)=0．当|x|≤r时ff(x,y)dy=r--xdy=r2-x2.因此，X和Y都不服从均匀分布；选项(说明现在证明选项(B)不成立．事实上，二随机变量之差Z=X-Y概率密度的一般公式为g(z)=f(z+y,y)dy.上等于2r2，在[-r,r]外为0，知当0≤z≤r时，由0≤z+y≤r,0≤y≤r，可见0≤y≤r-z，故g(z)=f(z+y,y)dy=rzdy=(r-z)；当-r≤z≤0时，由0≤z+y≤r,0≤y≤r，可见-z≤y≤r，故g(z)=f(z+y,y)dy=于是Z=X-Y的概率密度为12rrdy=-z12rSBGXSBGX