空间向量知识点归纳总结(经典)

PAGEPAGE1空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。;;运算律：⑴加法交换律：⑵加法结合律：⑶数乘分配律：运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。（3）三点共线：A、B、C三点共线<=><=>（4）与共线的单位向量为4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=><=>5.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。6.空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)。空间中任一向量=（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：①若，，则，，，，，。②若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。③定比分点公式：若，，，则点P坐标为。推导：设P（x,y,z）则,显然，当P为AB中点时，④，三角形重心P坐标为⑤ΔABC的五心：内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。（单位向量）外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若，，则，（5）夹角公式：。ΔABC中①<=>A为锐角②<=>A为钝角，钝角Δ（6）两点间的距离公式：若，，则，或7.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；若，则称与互相垂直，记作：。（2）向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：。（3）向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即。（4）空间向量数量积的性质：①。②。③。（5）空间向量数量积运算律：①。②（交换律）。③（分配律）。④不满足乘法结合率：二．空间向量与立体几何1．线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，3-1线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.3-2面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.4．点面距离：求点到平面的距离：在平面上去一点，得向量;；计算平面的法向量;.4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离【典型例题】1．基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体ABCD－，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。⑴；⑵；⑶；⑷。例2.对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式：（其中）的四点是否共面？。。。。。例3已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标。2．基底法（如何找，转化为基底运算）3．坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4．几何法编号03晚自习测试；17，18题例4.如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如易错写成，切记！例5.长方体中，，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高。【模拟试题】1.已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；（2）；（3）。2.已知平行四边形ABCD，从平面外一点引向量。。（1）求证：四点共面；（2）平面平面。3.如图正方体中，，求与所成角的余弦。5.已知平行六面体中，，，求的长。

[参考答案]1.解：如图，（1）；（2）。；（3）。2.解：（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴共面；（2）解：∵，又∵，∴。所以，平面平面。3.解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，∴，。。4.分析：⑴∴∠BAC＝60°，⑵设＝（x，y，z），则解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1，1，1）或＝（－1，－1，－1）。5.解：所以，。转瞬即逝，一转眼我都大四了，三年的大学生活已经结束。迎来了大四，我就要开始找工作。踏上求职的这条征程，我才知道求职的艰辛与无奈，现在我想把我的求职感想说一下。在“金融危机”寒流的冲击过后，我从一些报刊电视上的报道，从师兄师姐口中了解到高校毕业生就业形势还是非常严峻的，所以一到大四我就有了严重的危机感，很难接受这样的社会现实，它使得我们难以安心地在学校里无忧无虑地学习生活，但即便前面的路再如何的坎坷，如何的不平，如何的曲折，我们也要摆正自己的心态，树立坚定的信念，结合自身综合素质合理确定职业期望值，以发展的眼光来看待工作的选择，要真正树立“先就业后择业”的就业意识，在实践中，逐步实现自己的职业理想。我们必须接受，而且还得面对现实。首先切勿认为工资待遇不高，环境不好，专业不对口、工作环境不稳定，而不参加工作。我们应该应当降低期望值，抢先占据位置，但不要盲动。大部分同学都希望找到一份高收入、高福利、清闲而又稳定工作，而实现往往是残酷的。我想每一位同学都想找一份自己非常满意的工作，可是要达到那样的期望值的同学并不是很多，那么我们该怎样尽量缩小我们找到的工作与我们所期望的工作差距不是很大呢？我认为应该做到以下几点：一．求职前的准备工作首先，要定好位。也就是说，在找工作之前，要先结合自己的具体情况对自己的将来有一个大体的规划和定位。自己的具体情况包括学历、专业、年龄、生源等，还有学习、工作等各方面的表现；定位的内容则大体有自己想在什么样的城市工作、以后想从事的职业、期望的薪金以及前景等等。其次，注意平时积累。这个积累，不仅仅是学习知识上的积累，还包括社会活动、兼职工作、社会经验以及人生阅历等方面的积累。专业课程要学好，这样才能在专业对口的工作竞争中脱颖而出；而专业学习之外的社会活动以及兼职工作的锻炼，又可以在就业过程中脱离专业的限制，就业面更广阔。自己在学校学习的过程中要积极参加学校组织的各种活动，而且还应该积极去外面做一些兼职工作，这些事情都是可以很好的锻炼我们的。平时的积累虽然不一定在就业中都能派上用场，不过可以肯定的是，全面发展的人才正是学校满意的社会欢迎的人才，求学期间的积累是会在我们以后的人生道路上起到很大作用的。二．求职开始应该准备的工作1.做好自己的个人简历。因为简历是不用语言的展示自己，我们一开始和面试官没有任何接触的时候，怎样让面试官给自己一个面试的机会，就得靠这张简历。在做个人简历的时候，我认为应该注意一下几点：(1)个人资料：姓名、性别、出生年月、家庭地址、政治面貌、婚姻状况，身体状况，兴趣、爱好、性格等等；(2)学业有关内容：就读学校、所学专业、学位、外语及计算机掌握程度等等；(3)个人经历：入学以来的简单经历，主要是担任学校院校工作或加入党团等方面的情况;(4)所获荣誉；三好学生、优秀团员、优秀学生...这些信息都应该在简历里面表现出来。2.抓住每一个机会。自从今年学校一开学过时间不长，各学校里招聘会就一个一个地接踵而来，跨国公司、国内知名企业、各种事业单位、政府机关，之多之频足以令人眼花缭乱，这个时候就要注意抓住每一个机会，多跑跑其他学校的招聘会，不要局限于只参加本校的招聘会，往往其他学校的招聘单位有自己想去的，招聘的职位有自己以后想从事的岗位，只要是自己心仪的、适合自己的单位就要递出简历去，之后再等一轮一轮的面试、考试就是了。说到考式，自己想去的地方，有考试就尽量参加。考试的成绩虽然最后不一定都能用得上，不过总比要用的时候强。至于收集信息的途径，现在的条件好多了，总的说来，报纸、网络是重要径，还有就是院系里的老师通知也很重要。3.面试需谨慎。当我第一次接到面试通知的时候，我当时很高兴，可是高兴之后并没有做其他与面试相关的工作，结果去面试了。可想而知面试的结果，是很惨的。我个人认为面试的时候要做的工作：(1)研究这个公司，要有意识的了解和调查应聘单位的一些情况，以便于能更好的回答应聘官问我们公司的一些问题；(2)注意自己的外表形象。(3)不能让面试官等待。面试迟到了，不管什么原因，见面时都应该道歉，如果没赶到，得打电话道歉。(4)面试过程中药表现出积极的态度，落落大方，面带微笑。在言辞上应该谦虚而不自卑。(5)面试时要表现出热烈和激情，专心的倾听。表现出热烈和激情，可以自信认为我是面试官遇到的最有价值的人，这会给自己增添光彩。因为自信也是一个人内在的品质。面试官在讲话时，要直接看着他，使他知道你对他所讲的感兴趣，知道你在专心倾听。这也表现出你是尊重面试官的。(6)谨慎谈及工资报酬及福利问题。面试时不要对这两项流露太关心，一般来说招聘方早已拟订，尽管你比较优秀，但用人单位也许雇不起你。面试官可能问你“你要求多高的报酬？”请你回避这个问题，尽量不要正面回答，让面试官说出一个数目。有些人就可能忽略这个问题，尽管你比较优秀，可就是你自己的一句话，让面试官产出了不要用你的想法，你就可能失去一次签约的机会。(7)必须准备好对方想听听的内容。一个企业评定好员工是这样一个人：不只为薪水工作的人，可靠的人，有头脑，有精力，有热情的人；严于律己，组织性强，目标明确善于把握时间的人；工作认真负责，任务完成出色的人；守时按时上班或提前上班，下班后仍继续工作甚至在办公室干到很晚的人；热爱学习，有培养前途的人；机智灵活，善于应付各种形式，对工作环境适应力强的人。我们不但要表现出自己对这份工作的热情，还要表现出自己是一个纪律严明，组织性强的人，而且对待工作负责，能按时完成工作任务，适应性强.自学能力比较强的人。这样的话公司会觉得你是一个能用的.可以培养的员工，以后可能会给公司带来效益。我总结了一下身边的同学以及自己的亲身体验，我认为那些没能找到工作的同学主要是存在一下问题：(1)自以为是；(2)对企业一无所知。我在第一次面试的时候就是没能充分准备，以致最后失掉一次机会;(3)应聘太盲目;(4)不愿到基层去吃苦。像我们这样的大学生刚刚踏入社会，刚进入企业，很难立刻进入角色。一些公司规定所有新参加工作的大学生都要到一线去锻炼一年，有的同学一看不能马上搞设计、搞管理工作，要“吃一年的苦”，就打退堂鼓不愿意干了，白白丢掉了很好的工作;(5)独立性欠缺。有这样的同学，去参加应聘的时候还让父母陪着，这样缺乏独立性的人公司敢用他吗？答案当然是否定的。三．面对抉择的时候应该怎么做当我们被几家公司同时录取的时候，这是我们就得慎重做出选择。当在择业过程中遇到抉择的时候，权衡利弊得失，就需要慎重了。外企、机关、事业单位哪个更好？自然是见仁见智。我个人认为，外企收入高，但稳定性差；机关最初清贫，不过熬上年头就是青云直上；事业单位稳定性较外企强，而收入则处于外企与机关之间。但是，以上情况的个体差异也很大。另外，个人的性格因素也决定了每个人的不同选择。我在求职过程中当时遇到两个公司，一个是工作地点比较流动，另外一个是工作地点固定，我思前想后还是去了工作地点比较流动的那个单位。这与我的性格比较符合，我不太想呆在一个地方，那样时间长了，就会觉得烦。四．求职失败后应该怎么做

一次求职失败后并不能说明什么，我们并不能灰心，应该对自己充满信心，这样我们才能充满信心去下参加一家公司的挑战。同时我们应该调动各方面的人际关系。中国社会的人际关系网非常发