线性代数考试复习提纲、知识点、例题

线性代数考试复习提纲、知识点、例题

一、行列式的计算（重点考四阶行列式）

1、利用行列式的性质化成三角行列式

行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转

置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为01两行（列）

相同、成比例、一行（列）全为0】

2、行列式按行（列）展开定理降阶

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘

积之和，即。/1Ai+42A2+…+%,Ani=L2,...,九

=+…+〃川A”i=1,

-22-40

例1、计算行列式：?：：

31-2-3

2051

二、解矩阵方程

矩阵方程的标准形式：AX=BXA=BAXB=C

若系数矩阵可逆，则乂二人-七X=BA'X=A-'CB-'

切记不能写成X=A'B'C或X=£

AB

求逆矩阵的方法：

1、待定系数法AB=E（或8A=E）

2、伴随矩阵法

其中A*叫做A的伴随矩阵，它是同的每一行的元素的代数余

子式排在相同序数的列上的矩阵。

Ai4•••Aji

A*_A242Ai2

、A"A?”…Arn>

3、初等变换法(AE)照行惮A-')

同c初左匚时士羊口(3-H(56)<14161

例2、解矩阵方程「°X°=八八

(5-2j(78八910J

‘010、‘1-1、

例3、解矩阵方程X=AX+B,其中A=-1118=20

、T0”

三、解齐次或非齐次线性方程组

设A=(%)，〃元齐次线性方程组AX=0有非零解or(A)<〃

〃兀齐次线性方程组AX=0只有零解0r(A)=〃。

当〃?=〃时，〃兀齐次线性方程组AX=0只有零解二|A|HO。

当〃z=〃时，〃元齐次线性方程组AX=0有非零解0网=0。

当机<“时，齐次线性方程组一定有非零解。

定义：设齐次线性方程组AX=0的解配…©满足：

(1)。，…©线性无关，

(2)AX=0的每一个解都可以由配…白线性表示。

贝!|全.."叫做AX=0的基础解系。

定理1、设4*“，齐次线性方程组AX=0,若r(A)=r<〃，则该方程组

的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个

数都等于“-入

齐次线性方程组的通解“辐+•••+&&_,K，GR

设A=(%)，"元非齐次线性方程组/1%=3有解0«4)=«)。

\J'mxn

唯一解"r(A)=r(A)=〃。

无数解=厂⑷=r(A)<no

无解=r(A)#r(A)。

非齐次线性方程组的通解x=匕。乂,…,k.—wR

玉+乐+2%3-x4=0

例4、求齐次线性方程组2%+马+超74=0的通解

2尤］+2X2+X3+2X4=0

Xj+x2-3X3-x4=1

例5、求非齐次线性方程组上玉f-3刍+4/=4的通解。

玉+5X2-9X3-8X4=0

四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论

丸尢+y+z=0

例6、当尤为何值时，齐次线性方程组卜+仙-z=0有非零解，并求解。

2工一y+z=0

-2%+9+X3=-2

例7、已知线性方程组X,-2X2+X3=A,问当X为何值时，它有唯一

玉+%2—2%3二丸一

解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。

五、向量组的线性相关性

%,火，”.,4线性相关=冈,。2，“”右($22)中至少存在一个向量能由其余

向量线性表示。

=存在不全为0的数勺&…，&使得//+k2a2+..+ksas=0。

(kA作、

0(1,%*=0有非零解&=0有非零解

小、

"=0有非零解

O厂(1)VSor®,必…,a；）＜s

%.，…，。、线性无关0%，。2，..”鬼（5之2）中任意一个向量都不能由其余

向量线性表示。

<=>k]cc}+k)a?+..+k、a、=0,贝!|ki=k'=…=&-0。

伏、

0（%,02，...,%）*=0只有零解0(勺&,“”4)%=0只有零解

A

o*=0

。厂（弓,。2,…,aj=s

o/…,a；)=s

特殊的，〃个〃维向量％如…，%线性相关…,%|=。或4=。。

%

〃个〃维向量即%,…,火线性无关＜=＞[4,00或|-卜0。

%

例8、已知向量组4=（f,2,1）,a2=（2,r,0）,%=（1'-1』），

讨论/使该向量组（1）线性相关（2）线性无关

六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组

线性表示

设向量组A:%,4,若从A中选出r个向量构成向量组

4满足：

(1)4线性无关

(2)A中的每一个向量都能由4线性表示，

条件(2)换一句话说A的任意r+1个向量(若有的话)都线性

相关，或者说从A中向4任意添加一个向量(若有的话)，所得的向

量组都线性相关。

则4叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。

向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，

记作r(a,,a2,„.,av)=r

求向量组的秩的方法：

(1)扩充法

(2)子式法"(％,%.”,区鼠

最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组

的秩，并且这个子式的行(列)对应的原向量组的向量就

是这个向量组的一个极大无关组。

(3)初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。

例9、设向量组

«=(121,3)3=(4—4=(-1,-3,-4,-7)1%=(2,1,2,3丫

求(1)向量组的秩；

(2)向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大

线性无关组线性表示。

七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题

P'AP^B

相似矩阵的性质：

1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式,

迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。

2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。

3、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似。

4、若A与8相似，则不与"相似，keN,则9(A)与9(B)相似。

Bk=(P-'AP)k=P'APP-'AP...P'AP=P'AkP

'4、

A“与A=相似

=4有〃个线性无关的特征向量八02，...0,，且以它们为列向量

组的矩阵P使kAP=A,4,4,…，4,分别为与PI，P2,…,0对应的

4的特征值。

若4有〃个互不相等的特征值4人,..自，则A“一定与

’4、

A=4,相似。

A“与A相似。对应于A“的每个特征值的线性无关的特征向量的个数

等于该特征值的重数。

<=>n-r(AE-A)=k其中k为入的重数

r1-2—4](500、

例10、设矩阵A=-2x-2与B=0y0相似

、一4-21JI。0-4?

（1）求尤与y；

(2)求可逆矩阵P,^P~'AP=BO

'00P

例11、设A=11a问。为何值时，矩阵A能相似对角化。

J00,

例12、设三阶矩阵A的特征值为4=1,4=2,4=3,对应的特征

向量依次为7=（1,1,1）',%=（1,2,4）,7=（1，3,9）',求矩阵A。

例13、设三阶实对称矩阵A的特征向值-1,1,1,与特征值-1对应的

特征向量为q求A。

八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵

例14、化二次型/（XL，/）=x；+5x；+6石-以/-6中3-1。工2工3为标准

型，并求所用可逆线性变换的矩阵。

例15、化二次型/区,工2，当）=2X也+2%工3-6%