第13课圆心角（教师版）九年级数学上册《考点题型技巧》完整版讲与完整版练高分突破（浙教版）

第13课圆心角目标导航目标导航学习目标1.了解圆的中心对称性和旋转不变性，体验利用旋转来研究圆的性质的思想方法.2.理解圆心角的概念,并掌握圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.4.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.知识精讲知识精讲知识点01圆心角的概念圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．知识点02圆心角定理1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对弦的弦心距也相等．2.圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，则它们所对应的其余各对量都相等．能力拓展考点01圆心角的概念能力拓展【典例1】下列图形中的角，是圆心角的为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据圆心角的定义逐个判断即可．【解析】解：A．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；B．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；C．是圆心角，故本选项符合题意；D．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角，弧、弦之间的关系和圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．【即学即练1】下列图形中的角是圆心角的是（）A．B．C． D．【思路点拨】利用圆心角的定义对各选项进行判断．【解析】解：因为顶点在圆心的角为圆心角，所以A选项正确．故选：A．【点睛】本题考查了圆心角的定义：顶点在圆心的角为圆心角．【典例2】如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：．【思路点拨】连接OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM＝ON，再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM＝∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到＝．【解析】证明：连接OC、OD，如图，∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，∴OM＝ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠OMC＝∠OND＝90°，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠COM＝∠DON，∴＝．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了全等三角形的判定与性质．【即学即练2】如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．【思路点拨】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论．【解析】证明：连接AF，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF．∴∠GAE＝∠EAF．∴．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是利用了等边对等角，平行线的性质及在同圆中圆心角相等所对的弧相等等知识点的综合运用分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（）A．35° B．55° C．75° D．95°【思路点拨】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，继而可求得∠AOE的度数．【解析】解：∵，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．故选：C．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．2．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（）A． B．OE＝OF C．∠AOB＝∠COD D．【思路点拨】根据圆心角、弧、弦的关系即可判断出答案．【解析】解：A、∵AB＝CD，∴＝，故不符合题意；B、∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB，DF＝CD，∵AB＝CD，∴AE＝DF，∵OA＝OD，∴Rt△AOE≌Rt△DOF，∴OE＝OF，故不符合题意；C、∵AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，故不符合题意；D、根据已知条件得不到＝，故符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（）A．120° B．75° C．60° D．30°【思路点拨】连接OA、OB，如图，通过证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°．【解析】解：连接OA、OB，如图，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，即弦AB所对应的圆心角的度数为60°．故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键．4．已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为（）A．45° B．90° C．90°或270° D．45°或135°【思路点拨】根据弦AB把圆周分成1：3的两部分求出的度数，再根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求出答案即可．【解析】解：∵弦AB把圆周分成1：3的两部分，∴的度数是×360°＝90°，∴圆心角∠AOB的度数是90°或360°﹣90°＝270°，故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能求出的度数是解此题的关键．5．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是64°．【思路点拨】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．【解析】解：∵，∠AOE＝32°，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠AOC＝∠BOD＝32°，∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．故答案为：64°．【点睛】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．6．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是105°．【思路点拨】连接OD，OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接OD，OE，∵的度数为35°，∴∠AOD＝35°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝35°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝35°，∴∠DOE＝110°，∴∠AOE＝75°，∴∠BOE＝105°，∴的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．7．如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，150°，则∠AOB的度数为105°；∠A的度数为50°．【思路点拨】根据量角器的知识，可直接求出∠AOB，连接OD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质可得∠A的度数．【解析】解：∵点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，150°，∴∠AOB＝∠MOA﹣∠MOC＝150°﹣45°＝105°，连接OD，则OA＝OD，∵∠AOD＝150°﹣70°＝80°，∴∠A＝（180°﹣80°）＝50°．故答案为：105°，50°．【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解答本题的关键是掌握量角器的应用．8．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．【思路点拨】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．【解析】证明：∵AD＝CB，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出＝是解此题的关键．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求、的度数．【思路点拨】连接CD，如图，利用互余计算出∠A＝62°，则∠A＝∠ADC＝62°，再根据三角形内角和定理计算出∠ACD＝56°，接着利用互余计算出∠DCE＝34°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解析】解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣28°＝62°，∵CA＝CD，∴∠A＝∠ADC＝62°，∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°∴的度数为56°；∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，∴的度数为34°．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．10.如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：AE＝BF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．【思路点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF．（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，解得：x＝4.5，∴OM＝4.5．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．题组B能力提升练11．如图，在⊙O中，＝2，则下列结论正确的是（）A．AB＞2CDB．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确【思路点拨】首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中，＝2，可证得＝＝，即可得AE＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．【解析】解：取的中点E，连接AE，BE，∵在⊙O中，＝2，∴＝＝，∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选：C．【点睛】此题考查了弧与弦的关系以及三角形的三边关系．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧，所对的弦相等．12．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（）A． B．8 C．10 D．【思路点拨】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，，∵点D是弧AC的中点，∴，∴，∴，∴，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有，解得x＝4，∴AB＝2x＝8．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100° B．110° C．115° D．120°【思路点拨】过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分线，可求出∠POQ，进而可求出∠BOC．【解析】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝＝115°．故选：C．【点睛】本题主要考查垂径定理，解题关键是构造出辅助线——弦心距．14．如图，在半径为10的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6 B． C．8 D．【思路点拨】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．【解析】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝6，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB＝90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP＝6．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．15．如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°，AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝54°．【思路点拨】连接OB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠BOA＝18°，根据三角形外角性质求出∠EBO，根据等腰三角形的性质求出∠E，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【解析】解：连接OB，∵AB＝OD，OD＝OB，∴AB＝OB，∴∠BOA＝∠A，∵∠A＝18°，∴∠BOA＝18°，∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝36°，∵OE＝OB，∴∠E＝∠EBO＝36°，∵∠A＝18°，∴∠EOD＝∠A+∠E＝18°+36°＝54°，故答案为：54°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，能熟记等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解此题的关键，注意：等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．16．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为90°或270°．【思路点拨】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．【解析】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，连接OA、OB，∵OA＝OB＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴AB所所的弧的度数为90°或270°．故答案为90°或270°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．17．如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为4．【思路点拨】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知＝，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．【解析】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴＝，∵∠AMN＝20°，∴∠A′ON＝40°，∠BON＝20°，∴∠A′OB＝60°，∴△A′OB是等边三角形，∴A′B＝MN＝4，即PA+PB的最小值4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及轴对称﹣最短路线问题，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．18．如图，半径为5的⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于3．【思路点拨】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH＝BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH＝BF＝3．【解析】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∵AH⊥BC，∴CH＝BH，∵CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3．∴点A到弦BC的距离为：3．解法二：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．∵AM⊥BC，AN⊥DE，∴CM＝MB，DN＝NE＝3，∵AC＝AB＝AD＝AE，∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，∵∠BAC+∠EAD＝180°，∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，∴∠CAM+∠DAN＝90°，∵∠ACM+∠CAM＝90°，∴∠ACM＝∠DAN，∵∠AMC＝∠AND＝90°，∴△AMC≌△DNA（AAS），∴AM＝DN＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．19．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝6．【思路点拨】连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM＝AB，CN＝CD，再由∠AMN＝∠CNM得出∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，再由OA＝OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM＝CN，由此即可得出结论．【解析】解：连接OM，ON，OA，OC，∵M、N分别为AB、CD的中点，∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM＝AB，CN＝CD，∵∠AMN＝∠CNM，∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，在Rt△AOM与Rt△CON中，，∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），∴AM＝CN，∴AB＝CD＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．（1）若∠A＝25°，求的度数；（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．【思路点拨】（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；（2）根据勾股定理求出AB，根据割线定理得出比例式，即可得出答案．【解析】解：（1）连接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴∠DCE＝40°，∴的度数为40°；（2）延长AC交⊙C与点F，∵∠BCA＝90°，CF＝BC＝9，AC＝12，∴AB＝，AE＝12﹣9＝3．AF＝AC+CF＝12+9＝21，∵AB与AF均是⊙C的割线，∴AD•AB＝AE•AF，即15AD＝3×21，解得AD＝，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣＝．【点睛】本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系，切割线定理的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．21.如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．【思路点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝∴AB＝CD；（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．22.如图，已知圆O的弦AB与直径CD交于点E，且CD平分AB．（1）已知AB＝6，EC＝2，求圆O的半径；（2）如果DE＝3EC，求弦AB所对的圆心角的度数．【思路点拨】（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，先根据垂径定理得到AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中利用勾股定理得到32+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可；（2）连接OB，如图，先利用DE＝3EC得到OE＝CE，即OE＝OA，再利用正弦的定义得到∠A＝30°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠AOB即可．【解析】解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣2，∵CD平分AB，∴AE＝BE＝3，CD⊥AB，在Rt△OAE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）连接OB，如图，∵DE＝3EC，∴OC+OE＝3EC，即OE+CE+OE＝3CE，∴OE＝CE，∴OE＝OC＝OA，在Rt△