数学（选修45）练习5.1第1课时简单形式的柯西不等式

第5章5.1第一课时一、选择题1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是()A．P≤Q B．P<QC．P≥Q D．P>Q解析：设m＝(eq\r(a)x，eq\r(b)y)，n＝(eq\r(a)，eq\r(b))，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝eq\r(\r(a)x2＋\r(b)y2)·eq\r(\r(a)2＋\r(b)2)＝eq\r(ax2＋by2)·eq\r(a＋b)＝eq\r(ax2＋by2)，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.答案：A2．设x，y，m，n∈R＋，且eq\f(m,x)＋eq\f(n,y)＝1，则u＝x＋y的最小值是()A．(eq\r(m)＋eq\r(n))2 B．eq\r(m)C．eq\r(n) D．(m＋n)2解析：根据柯西不等式，得x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋\f(n,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)·\f(\r(m),\r(x))＋\r(y)·\f(\r(n),\r(y))))2＝(eq\r(m)＋eq\r(n))2.当且仅当eq\f(x,\r(m))＝eq\f(y,\r(n))时，等号成立，这时u取最小值为(eq\r(m)＋eq\r(n))2.答案：A3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值为()A．4 B．2C．1 D．eq\f(1,4)解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(y))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×1＋\f(1,\r(x))×\f(1,\r(y))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))2＝22＝4.答案：A4．已知θ∈R，则4eq\r(2＋sin2θ)＋eq\r(2)cosθ的最大值是()A．2eq\r(3) B．3eq\r(6)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\r(6)解析：由4eq\r(2＋sin2θ)＋eq\r(2)cosθ≤eq\r(42＋\r(2)2)·eq\r(\r(2＋sin2θ)2＋cos2θ)＝3eq\r(6).当且仅当4cosθ＝eq\r(22＋sin2θ)，即sinθ＝±eq\f(\r(6),3)，cosθ＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立．答案：B二、填空题5．若实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b(a≠b)，则mx＋ny的最大值是__________.解析：∵(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，∴mx＋ny≤eq\r(ab)，当且仅当my＝nx时等号成立．答案：eq\r(ab)6．已知a2＋b2＝4，则|acosθ＋bsinθ|的最大值是__________.解析：∵(acosθ＋bsinθ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)＝4，∴|acosθ＋bsinθ|≤2，当且仅当asinθ＝bcosθ时，等号成立．答案：2三、解答题7．已知函数y＝3eq\r(x－5)＋4eq\r(6－x)，求函数的定义域和最大值．解：易知函数的定义域为[5,6]，且y>0.∵y＝3eq\r(x－5)＋4eq\r(6－x)≤eq\r(32＋42)×eq\r(\r(x－5)2＋\r(6－x)2)＝5，当且仅当3eq\r(6－x)＝4eq\r(x－5)，即x＝eq\f(134,25)时等号成立，∴ymax＝5.故函数的定义域为[5,6]，最大值为5.8．已知0<x<1,0<y<1，求证：eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋1－y2)＋eq\r(1－x2＋y2)＋eq\r(1－x2＋1－y2)≥2eq\r(2).证明：如图，设P(x，y)，O(0,0)，A(0,1)，B(1,0)，C(1,1)，其中P(x，y)为以1为边长的正方形OBCA内任一点，则eq\r(x2＋y2)＋eq\r(x2＋1－y2)＋eq\r(1－x2＋y2)＋eq\r(1－x2＋1－y2)＝|eq\o(OP,\s\up6(→))|＋|eq\o(AP,\s\up6(→))|＋|eq\o(BP,\s\up6(→))|＋|eq\o(CP,\s\up6(→))|≥|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，当且仅当P为AB，CO的交点时，等号成立．一、选择题1．已知θ为锐角，a，b均为正实数，则下列不等式成立的是()A．(a＋b)2≤eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ)B．(a＋b)2≥eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ)C．a2＋b2＝eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ)D．(a＋b)2<eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ)解析：∵|a＋b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosθ)·cosθ＋\f(b,sinθ)·sinθ))≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosθ)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,sinθ)))2)·eq\r(1)＝eq\r(\f(a2,cos2θ)＋\f(b2,sin2θ))，∴(a＋b)2≤eq\f(a2,cos2θ)＋eq\f(b2,sin2θ).当且仅当asin2θ＝bcos2θ时等号成立．答案：A2．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为()A．2R B．2eq\r(2)RC．4R D．4eq\r(2)R解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为eq\r(4R2－x2)，于是ABCD的周长l＝2(x＋eq\r(4R2－x2))＝2(1×x＋1×eq\r(4R2－x2))．由柯西不等式，得l≤2eq\r(x2＋\r(4R2－x2)2)·eq\r(12＋12)＝2×2R×eq\r(2)＝4eq\r(2)R.当且仅当x·1＝eq\r(4R2－x2)·1，即x＝eq\r(2)R时等号成立．此时，eq\r(4R2－x2)＝eq\r(4R2－\r(2)R2)＝eq\r(2)R，即四边形ABCD为正方形．故周长最大的内接长方形是正方形，其周长为4eq\r(2)R.答案：D二、填空题3．函数y＝3sinx＋2eq\r(21＋cos2x)的最大值是__________.解析：y＝3sinx＋2eq\r(21＋cos2x)＝3·sinx＋4·eq\r(cos2x)≤eq\r(32＋42·sin2x＋cos2x)＝5(当且仅当4sinx＝3eq\r(cos2x)时取等号)，∴ymax＝5.答案：54．已知x，y均为正数，且x＋y＝2，则x＋4eq\r(xy)＋4y的最大值为__________.解析：∵x＋4eq\r(xy)＋4y＝(eq\r(x)＋2eq\r(y))2≤(12＋22)·[(eq\r(x))2＋(eq\r(y))2]＝5(x＋y)＝5×2＝10，∴x＋4eq\r(xy)＋4y≤10，当且仅当1×eq\r(y)＝2×eq\r(x)，即y＝4x(x>0)时等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(8,5)，))符合x，y>0，∴x＋4eq\r(xy)＋4y的最大值为10.答案：10三、解答题5．已知a1，a2，b1，b2为正实数．求证：(a1b1＋a2b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,b1)＋\f(a2,b2)))≥(a1＋a2)2.证明：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1b1＋a2b2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,b1)＋\f(a2,b2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(a1b1)2＋\r(a2b2)2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a1,b1))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a2,b2))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a1b1)·\r(\f(a1,b1))＋\r(a2b2)·\r(\f(a2,b2))))2＝(a1＋a2)2.6．已知x，y为正实数，且xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x2)＝1，求x2＋y2的值．解法一：依题意有0<x<1,0<y<1.令x＝sinα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，y＝sinβ，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x2)＝sinαcosβ＋sinβcosα＝sin(α＋β)＝1.又0<α＋β<π，∴α＋β＝eq\f(π,2)，即β＝eq\f(π,