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文档简介
A组基础关1.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点A B.点BC.点C但不过点M D.点C和点M答案D解析因为M∈AB⊂平面ABC,C∈平面ABC.M∈l⊂β,C∈β,所以γ∩β=直线CM.2.(2016·山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又a⊂α,b⊂β,所以P∈α,P∈β,故α,β相交.反之,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能异面或平行.故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.3.(2018·华南师大附中模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段BC上的动点,F是线段CD1上的动点,且E,F不重合,则直线AB1与直线EF的位置关系是()A.相交且垂直 B.共面C.平行 D.异面且垂直答案D解析如图所示,AB1⊥平面BCD1,EF⊂平面BCD1,故AB1⊥EF且AB1与EF异面.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是()A.A1,M,O三点共线 B.M,O,A1,A四点共面C.A1,O,C,M四点共面 D.B,B1,O,M四点共面答案D解析由正方体的性质知,O也是A1C的中点,因此A1,M,O三点共线,又直线与直线外一点确定一个平面,所以B,C中的结论正确.由BB1与A1C异面知D中的结论错误,故选D.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线()A.不存在 B.有且只有两条C.有且只有三条 D.有无数条答案D解析在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点,如图:所以D正确.6.下列各图是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是()答案D解析①在A中易证PS∥QR,∴P,Q,R,S四点共面.②在C中易证PQ∥SR,∴P,Q,R,S四点共面.③在D中,∵QR⊂平面ABC,PS∩面ABC=P且P∉QR,∴直线PS与QR为异面直线.∴P,Q,R,S四点不共面.④在B中P,Q,R,S四点共面,证明如下:取BC中点N,可证PS,NR交于直线B1C1上一点,∴P,N,R,S四点共面,设为α,可证PS∥QN,∴P,Q,N,S四点共面,设为β.∵α,β都经过P,N,S三点,∴α与β重合,∴P,Q,R,S四点共面.故选D.7.如图所示,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案D解析连接BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,设AB=1,则AA1=2,A1C1=eq\r(2),A1B=BC1=eq\r(5),故cos∠A1BC1=eq\f(5+5-2,2×\r(5)×\r(5))=eq\f(4,5).故选D.8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面的对数为________.答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则AB,CD,EF和GH在原正方体中,显然AB与CD,EF与GH,AB与GH都是异面直线,而AB与EF相交,CD与GH相交,CD与EF平行.故互为异面直线的有3对.9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB的中点为M,DD′的中点为N,则异面直线B′M与CN所成的角是________.答案90°解析取AA′的中点Q,连接QN,BQ,且BQ与B′M相交于点H,则QN綊AD綊BC,从而有四边形NQBC为平行四边形,所以NC∥QB,则有∠B′HB为异面直线B′M与CN所成的角.又∵B′B=BA,∠B′BM=∠BAQ=90°,BM=AQ,∴△B′BM≌△BAQ,∴∠MB′B=∠QBM.而∠B′MB+∠MB′B=90°,从而∠B′MB+∠QBM=90°,∴∠MHB=90°.B组能力关1.正四棱锥P-ABCD中,四条侧棱长均为2,底面ABCD是正方形,E为PC的中点,若异面直线PA与BE所成的角为45°,则该四棱锥的体积是()A.4 B.2eq\r(3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2\r(3),3)答案D解析如图,连接AC,BD.设AC∩BD=O,连接PO,OE,∵O,E分别是AC和PC的中点,∴OE∥PA,OE=eq\f(1,2)PA=1,则∠BEO即为异面直线PA,BE所成的角,即∠BEO=45°,易证PO⊥平面ABCD,OB⊥平面PAC,所以PO⊥OB,△BOE是等腰直角三角形,所以OB=OE=1,BC=eq\r(2),PO=eq\r(PB2-OB2)=eq\r(3),所以四棱锥的体积V=eq\f(1,3)×BC2×PO=eq\f(1,3)×2×eq\r(3)=eq\f(2\r(3),3).2.(2018·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,①GH与EF平行;②BD与MN为异面直线;③GH与MN成60°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题
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