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文档简介
空间向量及其线性运算同步练习
一、选择题
1.已知向量胃=(t+l,l,t),B=则付一川的最小值为()
A.V2B.V3C.2D.4
2.如图所示,空间四边形0A8C中,瓦5=五,而=3,5?=阳
点M■在市上,且丽=2MA,N为8C的中点,MN=xa+
yb+zc>则x,y,z的值分别为()
p11_21
A11R_£11D.|,|
‘2’3’2•3‘2’2*2,2,32
3.已知空间向量五=(0,2,1),亍=(0,则与向量8+3方向相反的单位向量3的
坐标是()
A.(0,1,2)B.(0,-1,-2)
C(。,美发)D.(0,一亲,一专)
4,已知正方体4BCD-49C'»的中心为。,则在下列各结论中正确的共有()
①示+而与赤+正是一对相反向量;
@05-泰与万7-亦是一对相反向量;
@~OA+OB+OC+而与万7+~OBi+~OC'+而是一对相反向量;
④瓦?-瓦5与泰-下是一对相反向量.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知在四面体4BCD中,点M是棱点,且BM=3MC,1
点N是棱的中点,若丽二久荏+y而+z同其中X,/V\A*
»Z为实数,则x+y+z的值是()/\X.
M
C
B.-C.-2
6.已知向量为=(-3,2,5),3=(1,无,-1),且五,3,则尤的值为()
7.已知两个向量五=(2,-1,3)1=(4,m,n),且明/B,则爪+n的值为()
A.-4C.-8
8.如图,在空间四边形ABCQ中,AB-~CD+AC-~DB+
AD-SC=()
A.-1
B.1
C.O
D.不确定
9.在三棱柱4BC-4/1C1中,融=%配=3,矶=e.点M在棱BC上,且BM=2MC,
N为A4i的中点,若以优方尤为基底,则而=()
A2—ly*,1-»n2—ly*1IT-1.7.2r1-c1-27*,IT
A.——a——D+-cB.-a——b+-cC.——a+-b——cD.——a——/?+-c
10.如图所示,已知空间四边形ABCZ),连接AC,BD,M,G分别是BC,CO的中点,
则南+3就+3前等于()
D.MG
11.如图,以长方体ABCDABiGDi的顶点。为坐标原点,过。的三条棱所在的直线为
坐标轴,建立空间直角坐标系,若西的坐标为(4,3,2),则好的坐标是()
12.已知正方体48CD—AB'C'。'中,点厂是侧面CD。'。'的中心,^AF=AD+xAB+
yAA''则%-丫等于()
A.0B.1C.-D.--
22
13.已知。为坐标原点,嬴在基底{优后,现下的坐标为(2,1,3),其中]=“+2j,3=
2j+3k,c^3k-j,则向量鼐在基底0J,舟下的坐标为()
A.(7,3,12)B.(3,7,12)C.(2,4,6)D.(8,3,12)
14.平行六面体A8CD-4/停也中,向量荏,而,标两两的夹角均为60。,且|布|=
1.|而|=2,|巩|=3,贝1J|宿|等于()
A.5B.6C.4D.8
二、填空题
15.给出下列
①若向量区方共线,则向量市石所在的直线平行;
②若三个向量优b,不两两共面,则向量乙b,?共面;
③已知空间的三个向量落b,c,则对于空间的任意一个向量力,总存在实数x,»
z使得万—xa.+yb+zc;
④若A,B,C,。是空间任意四点,则有丽+阮+而+砺=0.
其中为真命题的是—.
16.已知力(1,0,0),B(0,—1,1),嬴+4而与丽的夹角为1对,贝设=.
17.已知四=(1,—2,3),AC=(-1,2,1),则正=.
18.已知正方体4BCD-&B1C1D1中,若点尸是侧面CD】的中心,且刀=而+小同一
nAA^则根=.
19.已知向量五=(0,—1,1),1=(4,1,0),以为+同=闻且4>0,则
A=.
三、解答题
20.已知向量五=(2,1,—2),不=(—1,0,1),若向量石同时满足下列三个条件:①五1=
-1:@\b\=3;③3与?垂直.
(1)求向量石的坐标;
(2)若向量3与向量胃=1)共线,求向量五—3与23+3下夹角的余弦值.
21.三棱柱ABC-4/16中,M,N分别是力道、81cl上的点,且BM=2&M,C】N=
2B1N,设AB=a>AC=b>AAt=c-
(/)试用优石片表示向量亦;
2
(〃)若NBAC=90,NBA4i==60%AB=AC=AA1=1,求MN的长.
22.在空间直角坐标系。一xyz中,。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,2,0),C(0,1,2),
点P满足布=AAC.
(1)求点P的坐标(用4表示);
(2)若。P1BC,求4的值.
23.如图,在三棱柱48C-中,M,N分别是4/,&G上的点,且BM=24M,
GN=2/N.设荏=a,XC=氏硒>=c.
(1)试用五花片表示向量丽;
(2)若NB4C=90。,/BAA】=NC7L41=60。,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
答案和解析
1.C
解:由已知方一3=(2,1—t,t—1),
所以H-同=J22+(1—t)2+(t—1)2=V2t2-4t+6,
因为teR,所以,2t2一牝+6=J2(t-1)2+4>2.
故选C.
2.B
解:MN=0N-OM+0C)~l0A=-|a+|K+|c,
所以x=一|,y=|,z=|
故选:B.
3.D
解:•.・E=(0,2,1),3=(0,-1,1),
:.a+b=(0,1,2),|a+K|=V5)
二与向量N+3方向相反的单位向量E的坐标是一专x(0,1,2)=(0,-东,-
故选D
4.C
解:如图所示,
@OA=-~OC'yOD=-OB7>
所以瓦?+说=—0#+而)是一对相反向量;
@~0B-~0C=CB,O7-OD7=F7,而方=»R,故不是相反向量;
③同①也是正确的;
④万不—改=启,元—赤=否=一而,是一对相反向量,
所以①③④正确,
故选C.
5.B
解:因为BM=3MC,点N是棱AD的中点;
二丽=一:启AN=iAD;-.■BC=AC-AB;
42
:.~MN=~MB+~BA+AN=--(AC-AB)-AB+-AD=--AB--AC+-AD.①
4、72442^
vMN=x^AB+y~KC+zAD②;
131
,,z=-;
•••x=——4,y=——42
•,•%+y+z=一工.
/2
6.A
解:由题可得五.另=0,
-3xl+2x%+5x(—1)=0,
解得久=4,
故选A.
7.B
解”胃〃1
••・存在实数k使得方=k另,
2=4*
-l=km,
{3=用1
解得k=}m=-2,n=6,
则m+n=4.
故选B.
8.C
解:AB-CD+AC-DB+AD-BC
=(XC+CB)-CD+ZC-DB+AD-BC
=AC-CD+CB-CD+AC-UB+AD-BC
=AC-(CD+DB)+CB-(CD+~DA)
=AC-CB+~CB-~CA
-CB-(AC+CA)
=CB-0
=0.
故选C.
9.D
解:因为BM=2MC,
所以前=通+前=通+|芯=南+|(而一通)=|a+|b.
因为N为A4i的中点,
_>-1___>-1
所以AN=5ZZ1=2c,
故MN=AN-AM=—a—b4—c.
332
故选
10.C
1T71——
解:因为M、G分别是8C、CD的中点,所以工BC=BM,-BD=MG
22
-»1-»i->-»->-»—>
所以AB+%BC+LB。=AB+BM+MG=AG
22
故选c.
ll.A
解:•••西的坐标为(4,3,2),。为坐标原点,;当(4,3,2),
BC=4,DC=3,CC1=2,:.6的坐标为(0,3,2).故选A.
12.A
解:由向量的运算法则可得
AF=AD+1DF=AD+-(DC+而)
=AD+|(XS+Z?)
—.1_1—
=AD+-AB+-AA'?
又彳?=AD+xAB+yAA;>
故x=}y=I,所以x-y=O,
故选A.
13.D
解:因为瓦?在基底低,瓦碍下的坐标为(2,1,3),
所以工?=2a+b+3c>
又因为五=4彳+2),3=2,+351=3%一,,
所以市=23+3+32=2(4;+20+(2j+3%)+3(3%-j)=8i+3j+12fc,
所以则向量就在基底fJ,舟下的坐标为(8,3,12).
故选D
14.A
解:如图,•••平行六面体ABC。-&B1GD1中,
向量屈、而、就两两的夹角均为60。,
且|同|=1,|而|=2,|而]=3,
•*-24cl=A.B+BC+CCp
>2>>--->一
2
ACr=(AB+BC+CCJ
->2-->2--->2-->-->--->--->-->--->
=48+BC+CQ+2XB-BC+2XB-CQ+2BC-CQ
=l+4+9+2xlx2xcos60°+2x1x3xcos600+2x2x3xcos60°
=25,
|=5.
故选A.
15.④
解:若行,另共线,贝展,石所在的直线可能平行也可能重合,故①不正确;
三个向量为,b,表中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②不正确;
只有当了,b,不不共面时,空间任意一个向量心才一定能表示为「=xa+yb+zc,
故③不正确;据向量运算法则可知④正确.
故答案为④.
16.—西
6
解:OA+AOB=(1,0,0)+2(0,-1,1)=(1,-/L,/L)-
・•・OA+4而与人的夹角为120。,
(PA+XOB\OB2A
,,C0S-\OA+XOB\\OB\-V14-2A2V2,
化为万=g
o
A<0,:.A———.
6
故答案为-遗.
6
17.(-2,4,-2)
解:「毋=(1,-2,3),AC=(-1,2,1),
:.BC=AC-AB=(-2,4,-2).
故(—2,4,—2).
推导出配=前-荏,由此能求出结果.
本题考查向量的求法,考查向量坐标运算法则等基础知识,考查运算求解能力,是基础
题.
得
解:如图所示,
AF=AD+DF,而=[(西+反),西=视,DC=AB,
,AFADAAAB
.■=+-21I+-2,
与无声=五3十«重不一江石漆比较可得小=|)
19.3
解:由向量五=b=(4,1,0)-
得4五+3=(4,1—;1,4),
由a五+同=内,得16+(1-4)2+■=29,
解得4=3或4=一2(舍去),
故答案为3.
(2x+y—2z=-1,x=2,
20.解(1)设B=(K,y,z),则由题意可知,久2+y2+z2=9,解得.y=_l,或
1-%+z=0,z=2
'x=—2,
y=-1,**,b=(2,-1,2)或b=(_2,_1,—2)•
、z=-2.
(2)•.•向量石与向量N=(1,—gl)共线,...1=Q,—1,2),
又•••汗=(2,1,—2),c=(-1,0,1),a-K=(0,2,-4)126+3c=(1,-2,7),
(a-K)-(2K+3c)=-32,K|a-b\=2V5,|2b+3c|=3V6,
・•・五—I与2B+32夹角的余弦值为cos值一反21+33=(黑I]院蓝)=—嚓.
21.解:(1)BM=24iM,QN=2B、N,
>1----*----»1----->
BIN
•••MN=~MA[+A^B[+O
1—>一1----->
=-BA-\+AB+-B-iCi
31311
ii
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