空间向量及其线性运算同步练习

空间向量及其线性运算同步练习

一、选择题

1.已知向量胃=（t+l,l,t）,B=则付一川的最小值为（）

A.V2B.V3C.2D.4

2.如图所示，空间四边形0A8C中，瓦5=五，而=3,5?=阳

点M■在市上，且丽=2MA，N为8C的中点，MN=xa+

yb+zc＞则x,y,z的值分别为（）

p11_21

A11R_£11D.|,|

‘2’3’2•3‘2’2*2,2,32

3.已知空间向量五=（0,2,1）,亍=（0,则与向量8+3方向相反的单位向量3的

坐标是（）

A.（0,1,2）B.（0,-1,-2）

C（。，美发）D.（0,一亲,一专）

4,已知正方体4BCD-49C'»的中心为。，则在下列各结论中正确的共有（）

①示+而与赤+正是一对相反向量；

@05-泰与万7-亦是一对相反向量；

@~OA+OB+OC+而与万7+~OBi+~OC'+而是一对相反向量；

④瓦？-瓦5与泰-下是一对相反向量.

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.已知在四面体4BCD中，点M是棱点，且BM=3MC,1

点N是棱的中点，若丽二久荏+y而+z同其中X,/V\A*

»Z为实数，则x+y+z的值是（）/\X.

M

C

B.-C.-2

6.已知向量为=(-3,2,5),3=(1,无，-1),且五，3，则尤的值为()

7.已知两个向量五=(2,-1,3)1=(4,m,n)，且明/B，则爪+n的值为()

A.-4C.-8

8.如图，在空间四边形ABCQ中，AB-~CD+AC-~DB+

AD-SC=()

A.-1

B.1

C.O

D.不确定

9.在三棱柱4BC-4/1C1中，融=%配=3,矶=e.点M在棱BC上，且BM=2MC,

N为A4i的中点，若以优方尤为基底，则而=()

A2—ly*,1-»n2—ly*1IT-1.7.2r1-c1-27*,IT

A.——a——D+-cB.-a——b+-cC.——a+-b——cD.——a——/?+-c

10.如图所示，已知空间四边形ABCZ),连接AC,BD,M,G分别是BC,CO的中点,

则南+3就+3前等于()

D.MG

11.如图，以长方体ABCDABiGDi的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为

坐标轴，建立空间直角坐标系，若西的坐标为(4,3,2),则好的坐标是()

12.已知正方体48CD—AB'C'。'中，点厂是侧面CD。'。'的中心，^AF=AD+xAB+

yAA''则％-丫等于()

A.0B.1C.-D.--

22

13.已知。为坐标原点，嬴在基底｛优后，现下的坐标为(2,1,3),其中］=“+2j,3=

2j+3k,c^3k-j,则向量鼐在基底0J,舟下的坐标为()

A.(7,3,12)B.(3,7,12)C.(2,4,6)D.(8,3,12)

14.平行六面体A8CD-4/停也中，向量荏，而，标两两的夹角均为60。，且|布|=

1.|而|=2，|巩|=3，贝1J|宿|等于()

A.5B.6C.4D.8

二、填空题

15.给出下列

①若向量区方共线，则向量市石所在的直线平行；

②若三个向量优b，不两两共面，则向量乙b，?共面；

③已知空间的三个向量落b，c,则对于空间的任意一个向量力，总存在实数x,»

z使得万—xa.+yb+zc;

④若A,B,C,。是空间任意四点，则有丽+阮+而+砺=0.

其中为真命题的是—.

16.已知力(1,0,0),B(0,—1,1),嬴+4而与丽的夹角为1对，贝设=.

17.已知四=(1,—2,3)，AC=(-1,2,1),则正=.

18.已知正方体4BCD-&B1C1D1中，若点尸是侧面CD】的中心，且刀=而+小同一

nAA^则根=.

19.已知向量五=(0,—1,1),1=(4,1,0)，以为+同=闻且4>0,则

A=.

三、解答题

20.已知向量五=(2,1,—2),不=(—1,0,1)，若向量石同时满足下列三个条件：①五1=

-1:@\b\=3;③3与？垂直.

(1)求向量石的坐标；

(2)若向量3与向量胃=1)共线，求向量五—3与23+3下夹角的余弦值.

21.三棱柱ABC-4/16中，M,N分别是力道、81cl上的点，且BM=2&M,C】N=

2B1N,设AB=a>AC=b>AAt=c-

(/)试用优石片表示向量亦;

2

(〃)若NBAC=90,NBA4i==60%AB=AC=AA1=1,求MN的长.

22.在空间直角坐标系。一xyz中，。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,2,0),C(0,1,2),

点P满足布=AAC.

(1)求点P的坐标(用4表示)；

(2)若。P1BC,求4的值.

23.如图，在三棱柱48C-中，M,N分别是4/,&G上的点，且BM=24M,

GN=2/N.设荏=a,XC=氏硒＞=c.

(1)试用五花片表示向量丽;

(2)若NB4C=90。，/BAA】=NC7L41=60。，AB=AC=AA1=1,求MN的长.

答案和解析

1.C

解：由已知方一3=(2,1—t,t—1)，

所以H-同=J22+(1—t)2+(t—1)2=V2t2-4t+6,

因为teR,所以，2t2一牝+6=J2(t-1)2+4>2.

故选C.

2.B

解：MN=0N-OM+0C)~l0A=-|a+|K+|c,

所以x=一|,y=|,z=|

故选：B.

3.D

解：•.・E=(0,2,1),3=(0,-1,1)，

：.a+b=(0,1，2),|a+K|=V5)

二与向量N+3方向相反的单位向量E的坐标是一专x(0,1,2)=(0,-东，-

故选D

4.C

解：如图所示,

@OA=-~OC'yOD=-OB7>

所以瓦？+说=—0#+而)是一对相反向量；

@~0B-~0C=CB，O7-OD7=F7，而方=»R，故不是相反向量;

③同①也是正确的；

④万不—改=启，元—赤=否=一而，是一对相反向量，

所以①③④正确，

故选C.

5.B

解：因为BM=3MC,点N是棱AD的中点；

二丽=一：启AN=iAD；-.■BC=AC-AB;

42

：.~MN=~MB+~BA+AN=--(AC-AB)-AB+-AD=--AB--AC+-AD.①

4、72442^

vMN=x^AB+y~KC+zAD②；

131

，，z=-；

•••x=——4,y=——42

•,•%+y+z=一工.

/2

6.A

解：由题可得五.另=0，

-3xl+2x%+5x(—1)=0,

解得久=4,

故选A.

7.B

解”胃〃1

••・存在实数k使得方=k另，

2=4*

-l=km,

{3=用1

解得k=}m=-2,n=6,

则m+n=4.

故选B.

8.C

解：AB-CD+AC-DB+AD-BC

=(XC+CB)-CD+ZC-DB+AD-BC

=AC-CD+CB-CD+AC-UB+AD-BC

=AC-(CD+DB)+CB-(CD+~DA)

=AC-CB+~CB-~CA

-CB-(AC+CA)

=CB-0

=0.

故选C.

9.D

解：因为BM=2MC,

所以前=通+前=通+|芯=南+|(而一通)=|a+|b.

因为N为A4i的中点，

_>-1___>-1

所以AN=5ZZ1=2c,

故MN=AN-AM=—a—b4—c.

332

故选

10.C

1T71——

解：因为M、G分别是8C、CD的中点，所以工BC=BM，-BD=MG

22

-»1-»i->-»->-»—>

所以AB+%BC+LB。=AB+BM+MG=AG

22

故选c.

ll.A

解：•••西的坐标为(4,3,2),。为坐标原点，;当(4,3,2),

BC=4,DC=3,CC1=2,：.6的坐标为(0,3,2).故选A.

12.A

解：由向量的运算法则可得

AF=AD+1DF=AD+-(DC+而)

=AD+|(XS+Z?)

—.1_1—

=AD+-AB+-AA'?

又彳？=AD+xAB+yAA;>

故x=}y=I，所以x-y=O,

故选A.

13.D

解：因为瓦?在基底低，瓦碍下的坐标为(2,1,3),

所以工？=2a+b+3c>

又因为五=4彳+2),3=2，+351=3%一，，

所以市=23+3+32=2(4；+20+(2j+3%)+3(3%-j)=8i+3j+12fc,

所以则向量就在基底fJ,舟下的坐标为(8,3,12).

故选D

14.A

解：如图，•••平行六面体ABC。-&B1GD1中,

向量屈、而、就两两的夹角均为60。，

且|同|=1，|而|=2，|而］=3，

•*-24cl=A.B+BC+CCp

>2>>--->一

2

ACr=(AB+BC+CCJ

->2-->2--->2-->-->--->--->-->--->

=48+BC+CQ+2XB-BC+2XB-CQ+2BC-CQ

=l+4+9+2xlx2xcos60°+2x1x3xcos600+2x2x3xcos60°

=25,

|=5.

故选A.

15.④

解：若行,另共线，贝展，石所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确；

三个向量为，b,表中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确；

只有当了，b，不不共面时，空间任意一个向量心才一定能表示为「=xa+yb+zc,

故③不正确;据向量运算法则可知④正确.

故答案为④.

16.—西

6

解：OA+AOB=(1,0,0)+2(0,-1,1)=(1,-/L,/L)-

・•・OA+4而与人的夹角为120。，

(PA+XOB\OB2A

,,C0S-\OA+XOB\\OB\-V14-2A2V2,

化为万=g

o

A<0,：.A———.

6

故答案为-遗.

6

17.(-2,4,-2)

解：「毋=(1,-2,3)，AC=(-1,2,1),

：.BC=AC-AB=(-2,4,-2).

故(—2,4,—2).

推导出配=前-荏，由此能求出结果.

本题考查向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

得

解：如图所示，

AF=AD+DF，而=[(西+反)，西=视，DC=AB，

，AFADAAAB

.■=+-21I+-2,

与无声=五3十«重不一江石漆比较可得小=|)

19.3

解：由向量五=b=(4,1,0)-

得4五+3=(4,1—；1,4)，

由a五+同=内，得16+(1-4)2+■=29,

解得4=3或4=一2(舍去)，

故答案为3.

(2x+y—2z=-1,x=2,

20.解(1)设B=(K,y,z)，则由题意可知，久2+y2+z2=9,解得.y=_l,或

1-%+z=0,z=2

'x=—2,

y=-1,**,b=(2,-1,2)或b=(_2,_1,—2)•

、z=-2.

(2)•.•向量石与向量N=(1,—gl)共线，...1=Q，—1,2),

又•••汗=(2,1,—2),c=(-1,0,1),a-K=(0,2,-4)126+3c=(1,-2,7)，

(a-K)-(2K+3c)=-32,K|a-b\=2V5,|2b+3c|=3V6,

・•・五—I与2B+32夹角的余弦值为cos值一反21+33=(黑I]院蓝)=—嚓.

21.解:(1)BM=24iM,QN=2B、N,

>1----*----»1----->

BIN

•••MN=~MA[+A^B[+O

1—>一1----->

=-BA-\+AB+-B-iCi

31311

ii