复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

习题一

1.用复数的代数形式。+彷表示下列复数

产;薪（2+3）;1白

①解eT=cos(-：)+isin(-：)=¥+(-¥i)=*-¥i

②解：3+5i=(34-5i)(l-7i)=_16+13.

7i+l(l+7i)(l-7i)2525

③解：(2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i

1+J_=_i+2O,3

④解:

i1+i222

2.求下列各复数的实部和虚部（z=x+»

z-a,、,

------)；Z；

Z+Q

①：二•设z=x+iy

则z—4=(%+»)一〃二(x—G+iy=[(力一4+加工卜+另一以]...x2-a2-y2

(x+q)2+>2

Z+Q(x+iy)+a(x+a)+iy(x+«)2+/

\Z-Va)(x+Q)-+y2

②解：设z=x+(y

、山+明:门+加2+的+―砌(x+iy)•••Re(z3)=xJ3xy2,1„1卜3)=3^一片

=x(f-y2)-2xy2+[y(x2-/)+2x2y]i

_3中2+(3丘_办

③解：审工"3g”到口—(叫

=1(8+0i)=l

④解：•十（咛（TAS"-©；上。怎网］i=l（8+0j）=1

),n=2k卜

⑤解：Vi

.i,〃=2左+1

・，・当典=2£时,Re(ifl)=(-1/，Im(iB)=O；

当〃=24+1时，Re(i")=O,Im(iw)=(-lf.

3.求下列复数的模和共蛹复数

-2+z;-3;(2+z)(3+2z);号

①解：卜2+i|="7T=百.

-2+l=-2-i

②解：卜3|=3^3=-3

③解：|(2+i)(3+2i)|=|2+i||3+2i|=V5-V13=V65.

(2+i)(3+2i)=(2+i)-(3+2i)=(2-i)-(3-2i)=4-7i

④解：l±i|=M=V2

2|22

)2

4、证明：当且仅当z=W时，z才是实数.

证明：若2=2,设2=工+»,

则有x+iy=x-iyf从而有（2y）i=0,即片:0

**.z=x为实数.

若z=x,%£，贝l|z=x=x.

••Z-Z

命题成立.

5、设z,w£，证明：|z+vv|w|z|+|M

证明,.[z+M=(z+w)・(z+w)=(z+w)(z+w)

=z-z+z-w+w-z+w-w

=|z|2+zw+(z・wj+|w|2

=|z|2+|w|2+2Re(z.w)

w|z「+|w(2+2|z|-|w|

=，+时+2|小惬

=(lzl+H)2

|z+w|w|z|+|M•

6、设z,w£,证明下列不等式.

z+w|~=|z|2+2Re(z.w)+|w|2

\z-w|2=|z|"-2Re(z・+

|z4-w|2+|z-城=2(|z「+|w『)

并给出最后一个等式的几何解释.

证明：|z+w|2=|z|2+2Rc(z•可+|w|2在上面第五题的证明已经证明T.

下面证|z—vv『=|z『-2Re(z.w)+M.

V\z-vv|2=(z-vv)•(z-w)=(z-w)(z-vvj

|2

z\'-z-w-w-z+|w|

=|z|2-2Re(z・vv)+|M二从而得证.

/.\z4-时+|z-w|2=21Z「+|M~)

几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和.

7.将卜.列复数表示为指数形式或三角形式

z;-1;-8K(1+V3z)；fcos—+zsin—

7z+lI99

①解:畀磊徐

38-16i19-8iV17Q

广。其中。二兀一arctan—.

5025519

②解：』，'其中。曝

i=e'5

③解：-1=6泣=©疝

④解:|-87t(l+>/3i)|=167c

”-I兀.

2.

Jti

二一8兀(1+=16兀・e3

⑤解：(cos/+isin

8.计算：（l）i的三次根；（2）-1的三次根；（3）g+4的平方根.

（Di的三次根.

解：

2br+-2Jbr+-

yj\=cos—+zsin—=cos-------+isin------

I22)3;

.n..7iA/31.5..5V31.

・・Z[=cos—Fisin—=--------1—i.z>=COS—TT+lSin—71=-------+—1

166226622

9..9y/3

Z.=COS—71+1Sin—71=------------i

3662)

⑵・1的三次根

解：

r/...2kn+7

v-l=(cos7t+isin兀尸=cos---+isin——--£(〃=0J2)

•7t..n1\/3.

・•z.=cos—+ism—=—+——i

13322

z2=cos兀+isin兀=-1

5..51比

Z,=COS—71+1Sin—7T=-----------

33322

⑶石+JJi的平方根.

解：V3+V3i=V6•+=\/6-e4

••=61c°s^^+i2E+'

sin--------—(A:=0.1)

2/

X.

/.z.=6^-fcos—+isin—^=6^-e-1

1I88j

-(99A1%

z=64-cos—兀+isin—兀=64•e8.

27I88)

.2n

9.设z=e〃，〃22.证明：l+z+…+Z〃T=0

.2n

证明：Vz=e'v：.zn=l,即z"-1=0.

(z-l)(l+z+…+z"T)=0

又YG2.，z#l

从而l+z+z?+…+z"1=0

11.设，是圆周｛2：|2-°|=可/>0,。=。+*，令

其中6=群.求出与在。切于圆周r的关于（3的充分必要条件.

因为4=｛z:Im[^J=O｝表示通过点。且方向与6同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则C4

VLp.过C作直线平行”,则有/28="，乙4c8=90。

故a/=90。

所以人在a处切于圆周T的关于尸的充要条件是a>90°.

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

⑴argz=7t;

(2)|z-l|=|z|；

(3)l<|z+z|<2;

(4)Rez>Imz;

(5)Imz>ll.|z|<2.

解：

⑴、argz=7i.表示负实轴.

y

o

(2)>|z-l|=|z|.表示直线

(3)、l<|z+i|<2

解：表示以・i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

解：表示直线尸的右下半平面

5、Imz>l,.l.|z|<2.

1

w=z+—

1.求映射z卜圆周Iz1=2的像.

解：设2=》+以w=w+iv|j||j

1x-iy

w+iv=,r+iy+-----=x+iv+-----：=x+--------7

，x+iyx2+rx~+y+2右

53

=

22AW+ZV—XH---

因为x+y=4,所以44

53

u=-xv=H■—y

所以4,4，

uv

X=T^=T

44

二+3=2£+E=[

所以⑴一("即(kGF,表示椭圆.

2.在映射w=z?下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w=〃e'°或w=〃+iv

7TIT

0<r<2,(9=-0<r<2,0<6><-

(1)4；(2)4;

(3)x=a,y=b.(a,b为实数)

解：^w=ii+iv^(x+iy)2=x2-y2+2xyi

所以“=/-1/,v=2邛

_卬0<r<2,0=—

(1)记w=〃e,则4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

0<p<4,<p=-.

r

4i

0

兀

,0<r<20<P<4,0<夕<一.

映成了w平面上扇形域，即2

(3)记卬=“+',则将直线x=a映成了"=2吵即/=4/(/一").是以原点为焦点,张口向左的抛

物线将y=b映成了〃=X?-,v=2xb.

即V2=4b2(b2+〃)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.

V

3.求下列极限.

lim—

(1)z,l+z-；

1

z――

解：令，，则z-»8,/fO.

1『

lim-----=lim-----=0

于是ZT8]+Z-0]+/

Re(z)

hm———

(2)ZT。z；

Re(z)_x

解：设2=*+十，则zx+iy有

..Re(z)「x1

lim———=lim------=-----

z->ozdx+\kx1+i上

_r=iv->n0

显然当取不同的值时f(z)的极限不同

所以极限不存在.

lim-

(3)ez(l+z-)；

..z—i..z—iS1_1

lim-------lim------------

解：jZ(1+z)=zfz(i+z)(z-i)iz(i+z)2

..zz+2z—z-2

lim-------------

(4)ZTlZ-1

zz+2z—z—2(z+2)(z—1)z+2

解：因为?-1(z+l)(z-l)z+1

..zz+2z-z-2..z+23

lim-------------=lim-----=—

所以ZT】Z-1ZT1Z+l2

4.讨论下列函数的连续性:

(1)

z。0,

/(z)=</+y2

0,z=0;

limf(z)=lim尸

解：因为e(“A©。)、+y

lim"

若令y=kx,则‘wx+N"A'

因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.

(2)

丸

zw0,

/(z)=x4+/

0,z=0.

0.|九=|x|

解:因为山+升2-2,

3

lim：XV=0=/10)

所以(mw))x+y-

所以f(z)在整个z平面连续.

5.卜.列函数在何处求导？并求其导数.

⑴/(z)=(z-l)'i(n为正整数)；

解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.

z+2

/(Z)=

(z+l)(z2+l)

(2)

解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在(2+1)仁2+1)=°处不可导.

从而f⑵除z=-Lz=±i外可导.

(z+2y(z+1*+1)-(z+l)[(z+帽+1)了

」(z+l)2(?+l)2

_-2z3+5z2+4z+3

(z+l)2(z2+l)2

、3z+8

/(z)=7~~7

⑶5Z-7

z=Lf\z)61

解：f(z)除5外处处可导，且(5Z-7)ST

x+y

/(z)=+ix—y

x2222

(4)+yx+y

解：因为

/⑶=X+y+i(x•-y)=x_ip+i(x-iy)=(x-ij')(l+i)_z(1+i)=Jjdf,iz)--。+,)

X、"xfx：+/苗z所以f⑵除=0外处处可导，且,z-Z2

6.试判断卜列函数的可导性与解析性.

(1)f(z)=x)>2+ix2y.

解："(xj)=xy2,v(x,y)=x2y在全平面上可微.

dydv_dv

~=y2»­=2xy,—=2A^,—=X2

oxoydxdy

所以要使得

du_dvdu_dv

dx力dydx

，9

只有当z=O时，

从而f(z)在z=O处可导，在全平面上不解析.

(2)/(z)=x2+iy2

解："(x,y)=Vv(x,y)=y2在全平面上可微

du_du_dv_dv.

—=2x,—=0,—=0,—=2y

dxdydxdy

—du=—dv—du=--dv

只有当z=0时，即(0,0)处有dx®，勿如.

所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

5

⑶/(z)=2x+3i/;

解："(x，y)=2x3,v(x,y)=3y3在全平面上可微

电=6f,电”电=9儿电=0

dxdydxdy

所以只有当△=士Gy时.，才满足C-R方程.

从而f(z)在士岛=°处可导，在全平面不解析.

(4)“NW.

解：设2=工+以，则

/(z)=(x-iy)•(x+iy)2=xy+xy2+i(y}+x2y)

u(x,y)=x3+xy2,v(x,j)=/+x2j^

2

OV

OV_

r

8"

2

OU-

+x

=3y

—

=2盯，

，k

=2刈

,F

x+y

—=3

oy

ox

dy

ox

方程.

C-R

满足

0时才

当z=

只有

所以

.

解析

处不

，处

可导

z=0处

f(z)在

从而

.

为常数

函数必

的解析

件之一

卜列条

内满足

域D

明区

7.证

。；

'⑶=

⑴，

.

dv

.dv

du

du

—。

——

0—

——

——

，&如

⑪

以&

°,所

(z)=

为''

：因

证明

数.

)为常

是f(z

，于

常数

u,v为

所以

解析.

〃z)

(2)

证

析，则

内解

在D

"一加

/⑶=

：设

理

dv

du_

)

5(-v

&

dy

dx

dy

史

dv

-d(-v)

--

-=d-

------

®

dy

dx

史

v

du_d

dv

&

9

&

如-

dy

dv

du

u

dud

---

—―

—,

—=

8x

如

私方

所以

数，

析函

)为解

而f(z

dv

v_

d

dv

dv_

力

&

&如

/即

dy

dx'

&

所以

常数.

f(z)为

数，即

为常

，U

常数

V为

从而

数.

z产常

Ref(

(3)

_

du

du

0

——

——

勿

私

—Cl,

，即

常数

z)为

Ref(

：因为

证明

u=C2

即

"@

。故

成立

条件

C-R

析，

(z)解

因为f

常数.

f(z)为

从而

数.

Imf(z)=常

(4)