2021-2022学年河北省衡水市九年级上期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年河北省衡水市九年级上期末数学试卷

一、选择题：相信你一定能选对！（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的,

把你认为符合题意的答案涂在答题卡上，每小题3分，共42分）

1.（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月

的增长率都是x,根据题意列出的方程应该是（）

A.200（1+x）2=1000

B.200（l+2r）=1000

C.200+200（1+x）+200（1+%）2=1000

D.200（1+3%）=1000

2.（3分）下面是几何体中，主视图是矩形的（）

A.口

.A

CD.J

3.（3分）关于x的一元二次方程（/H-1）x2-2x-1=0有两个实数根，则实数m的取值

范围是（）

A.机20B.m>0C.加20且机D.，”:>0且，

4.（3分）如图，在。。中，^=E运点。在00上，ZCDB=25°,则/AOB=（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

5.（3分）下列说法正确的是（）

A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的梯形都相似

6.（3分）等腰梯形的腰长是5cm,中位线的长是4cm,这个等腰梯形的周长是（）

A.9cmB.13cmC.18c机D.20（.772

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7.（3分）把一个直角三角形的各边都扩大3倍，那么它的各锐角的正弦值（）

A.扩大3倍B.缩小为原来的

C.不变D.以上都不对

8.（3分）下列函数中，对于任意实数制，X2,当时，满足的是（）

A.y=-3x+2B.y=2x+\C.y=2/+lD.y=--

x

9.（3分）一次函数y=ax+/＞和反比例函数y=£在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,

x

则二次函数丫=--法+C的图象可能是（）

肉细脆多汁，酸甜可口，优质安全而享誉大江南北，是蒙阴县特产.据统计，2015年“蒙

阴苹果”的年产量是2.23亿斤，到2017年产量达到3.5亿斤，设苹果产量的平均年增长

率为x,则列方程为（）

A.2.23（1+x）=3.5B.2.23（1-x）=3.5

C.2.23（1+x）2=3.5D.2.23[（1+x）+（1+x）2]=3.5

11.（3分）如图，菱形ABC。的对角线相交于点O,过点。作。E〃AC,且。E=LAC,

2

连接CE、OE,连接AE,交0。于点F.若AB=2,/ABC=60°,则AE的长为（）

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D

12.（3分）如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E是边A。中点，点尸在边CD上,

且设3。与EF交于点G,则△OEG的面积是（）

5678

13.（3分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C,D,E为出口，小

红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C,

。出口离开的概率是（）

出口

L■

［入口

C出口

一AE,I

入口出口

A.1.B.2C.2D.2

2363

14.（3分）如图所示，抛物线y=o?+6x+c的顶点为8（-1,3）,与x轴的交点A在点（-

3,0）和（-2,0）之间，以下结论：（T）^2-4ac=0（2）a+b+c=0（3）2a-b=0@c-a=3,

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A.1B.2C.3D.4

二、填空题：你能填得又对又快吗？（把答案填在答题卡上，每小题3分，共15分）

15.（3分）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置

用（-1,0）表示，右下角方子的位置用（0,-1）表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘

后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是.

16.（3分）已知二次函数），=-/+2%+血的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-

x2+2x+m^0的解为.

17.（3分）如图，。。是AABC的外接圆，AQ是。。的直径，若。。的半径为5,AC=8.则

cosB的值是.

18.（3分）如图，矩形ABC。的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、。位于第一

象限，且04=3,0B=2,对角线4C、80交于点G,若曲线y=k（x>0）经过点C、

x

G,贝ijA=.

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三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共63分）

19.（6分）计算:（i）''+|1-V2I-V27tan30".

20.（10分）如图，MN是。。的直径，MN=4,点A在。。上，/4WN=30°,8为余的

中点，尸是直径上一动点.

（1）利用尺规作图，确定当南+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）.

（2）求以+PB的最小值.

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21.（10分）''友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元.“五一”期间，

商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可

多售出10件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）降价后每件商品盈利元，商场日销售量增加件（用含x的代数式

表示）；

（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大值是

多少？

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22.(10分)如图，已知AB是。。的直径，弦CO与直径AB相交于点尸.点E在。。外,

作直线AE,且NE4C=/O.

(1)求证：直线AE是。。的切线.

(2)若BC=4,cosZBAD=1,CF=12,求B尸的长.

43

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23.（12分）某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图

所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函

数关系.

（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为元；

（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？

y（元）

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24.(15分)已知抛物线y=/-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图,

设它的顶点为B.

(1)求加的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C,求证：AABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C',且与x轴的左半轴交于E点，

与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点尸，使得是以EF为直角边的直角

三角形.

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2021-2022学年河北省衡水市九年级上期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：相信你一定能选对！(下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，

把你认为符合题意的答案涂在答题卡上，每小题3分，共42分)

1.(3分)某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月

的增长率都是x,根据题意列出的方程应该是()

A.200(1+x)2=1000

B.200(l+2r)=1000

C.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000

D.200(l+3x)=1000

【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，关系式为:

一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000,把相关数值代入即可求解.

解：二月份的月营业额为200X(1+x),三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上

增加尤，

为200X(1+x)X(1+x),则列出的方程是200+200(1+x)+200(1+x)2=1000,故选

C.

【点评】考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为4,变化后的量为6,平均变化率

为X,则经过两次变化后的数量关系为。(l±x)2=b.

2.(3分)下面是几何体中，主视图是矩形的()

【分析】先得到相应的几何体，找到从正面看所得到的图形即可.

解：4、圆柱的主视图为矩形，符合题意；

3、球体的主视图为圆，不合题意；

C、圆锥的主视图为三角形，不合题意；

。、圆台的主视图为等腰梯形，不合题意.

故选：A.

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【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.（3分）关于x的一元二次方程（〃L1）--2x-1=0有两个实数根，则实数，"的取值

范围是（）

A.B.m＞0C.且，D.机＞0且

【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△》（），即可得出关于利的一元一次不等式组,

解之即可得出结论.

解：•.•关于x的一元二次方程（m-1）?-2x-1=0有两个实数根，

△=（-2）2+4（in-l）＞0，

解得：加20且

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△》（）时，方程有两

个实数根”是解题的关键.

4.（3分）如图，在。0中，篇=黄，点。在。。上，ZCDB=25Q,则（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论.

解：；在中，AB=BC.点。在OO上，NCDB=25：

：.ZAOB=2ZCDB=50°.

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

5.（3分）下列说法正确的是（）

A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的梯形都相似

【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案.

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解：A、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；

8、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；

C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；

。、所有的梯形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；

故选：C.

【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同.

6.（3分）等腰梯形的腰长是5cm,中位线的长是4cm,这个等腰梯形的周长是（）

A.9cmB.13c/nC.18c7%D.20cm

【分析】利用等腰梯形两腰相等及梯形的中位线定理解决.

解：等腰梯形的周长=4X2+5X2=18c/n,

故选：C.

【点评】此题主要运用梯形的中位线定理的计算公式解决，关键是利用等腰梯形两腰相

等及梯形的中位线定理解决.

7.（3分）把一个直角三角形的各边都扩大3倍，那么它的各锐角的正弦值（）

A.扩大3倍B.缩小为原来的

C.不变D.以上都不对

【分析】一个直角三角形的各边都扩大3倍，那么所得三角形与原三角形相似，角的大

小不变，因此正弦不变解答.

解：•.•三角形各边长度都扩大为原来的3倍，

得到的三角形与原三角形相似，

锐角A的大小不变，

•••锐角A的正弦值不变，

故选：C.

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做/A

的正弦是解题的关键.

8.（3分）下列函数中，对于任意实数xi，m，当时，满足的是（）

A.y--3x+2B.y—2x+\C.y=2/+lD.-—

x

【分析】A、由k=-3可得知y随x值的增大而减小；B、由左=2可得知y随x值的增

大而增大；C、由a=2可得知：当x<0时，y随x值的增大而减小，当x>0时，y随x

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值的增大而增大；D、由&=-1可得知：当x<0时，），随x值的增大而增大，当x>0

时，），随x值的增大而增大.此题得解.

解：4、y--3x+2中&=-3,

随x值的增大而减小，

.♦.A选项符合题意；

B、y=2x+\中k=2,

随x值的增大而增大，

选项不符合题意；

C、y=2f+l中a=2,

...当xVO时，y随x值的增大而减小，当x>0时，y随x值的增大而增大，

选项不符合题意；

D、y=-2中k=-1,

x

...当x<0时，y随x值的增大而增大，当x>0时，y随x值的增大而增大，

工。选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质以及反比例函数的性质，根据一

次（二次、反比例）函数的性质，逐一分析四个选项中y与x之间的增减性是解题的关

键.

9.（3分）一次函数y=nx+6和反比例函数尸土在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

x

则二次函数丫=/-"+。的图象可能是（）

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【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出“<0、b>0,c<0,

由此即可得出：二次函数丫=---+。的图象开口向下，对称轴x=-土V0,与y轴

2a

的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论.

解：观察函数图象可知：a<0,b>0,c<0,

，二次函数yua？-bx+c的图象开口向下，对称轴x=-二且<0,与y轴的交点在)，轴

2a

负半轴.

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反

比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出。<0、6>0、cVO是解题的关键.

10.(3分)“蒙阴苹果”有2000多年的种植历史，因果实均匀，香味浓郁，色泽鲜艳，果

肉细脆多汁，酸甜可口，优质安全而享誉大江南北，是蒙阴县特产.据统计，2015年“蒙

阴苹果”的年产量是2.23亿斤，到2017年产量达到3.5亿斤，设苹果产量的平均年增长

率为x,则列方程为()

A.2.23(1+x)=3.5B.2.23(1-%)=3.5

C.2.23(1+x)2=3.5D.2.23[(1+x)+(]+x)2]=3.5

【分析】等量关系为2017年产量=2015年产量X(1+x)2,即可求解.

解：设苹果产量的平均年增长率为x,由题意可得：

2.23(1+x)2=3.5.

故选：C.

【点评】本题主要考查了求平均变化率的方法.若设变化前的量为“，变化后的量为从

平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.得到三年利税的等量

关系是解决本题的关键.

11.(3分)如图，菱形4BCO的对角线相交于点0,过点。作。E〃AC,且。E=LlC,

2

连接CE、0E,连接AE,交0D于点、F.若A8=2,ZABC=60°,则AE的长为()

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D

【分析】先求出四边形OCE£）是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出NCOQ

=90°,证明四边形OCE。是矩形，再根据菱形的性质得出AC=A8,再根据勾股定理

得出AE的长度即可.

解：在菱形ABCO中，OC=Lc,ACLBD,

2

：.DE=OC,

\'DE//AC,

四边形OCED是平行四边形，

平行四边形OCEO是矩形，

:在菱形ABCQ中，NABC=60°,

C./XABC为等边三角形，

.".AD=AB=AC=2,OA=XAC=1,

2

在矩形OCEQ中，由勾股定理得：CE=OD=N口2402=如2―卢料,

在Rtz^ACE中，由勾股定理得：4后=｛人,2+CE2=苗22+（5^^）2=>/"7；

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、

等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键.

12.（3分）如图，在边长为2的正方形48CO中，点E是边中点，点尸在边8上，

且设BD与EF交于点G,则△OEG的面积是（）

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A,D

」

RC

A.2B.LC.AD.1.

5678

【分析】过点G作GMA.AD于M,如图，先证明△£>£：/,利用相似比计算出

DF=L,再利用正方形的性质判断△OGM为等腰直角三角形得到。M=MG,设。M=X,

2

则MG=x,EM=\-x,然后证明△EMGS/\E£>F,则利用相似比可计算出GM,再利用

三角形面积公式计算S&DEG即可.

解：过点G作GMLAO于M,如图，

,：FELBE,

/.Z/4EB+ZD£F=90°,

而N4EB+NABE=90°,

NABE=/DEF,

而/A=/EOF,

/\ABE^ADEF,

：.AB：DE=AE：DF,即2：1=1：DF,

：.DF^L,

2

•.•四边形ABC。为正方形，

AZADB=45°,

/.△DGM为等腰直角三角形，

：.DM=MG,

设DM=x,则MG=x,EM=1-x,

"JMG//DF,

:.丛EMGS/\EDF,

：.MG：DF=EM：ED,即x：(1-x)：1,解得x=L,

23

•'•SADEG=—X1X—=—.

236

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故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形

的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、

平行四边形、矩形、菱形的一切性质.熟练运用相似比计算线段的长.

13.（3分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定4和B为入口，C,D,E为出口，小

红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C,

。出口离开的概率是（）

出口

L--------------------■

［入口

C出口

一/_____，E.______1

入口出口

A.工B.工C.工D.2

2363

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红

从入口A进入景区并从C,。出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：画树形图如图得：

开始

/1\/N

CDECDE

由树形图可知所有可能的结果有6种，

设小红从入口A进入景区并从C,。出口离开的概率是P,

•.•小红从入口A进入景区并从C,O出口离开的有2种情况,

3

第17页共30页

故选：B.

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两

步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

14.（3分）如图所示，抛物线丫=/+法+。的顶点为B（-1,3）,与x轴的交点A在点（-

3,0）和（-2,0）之间，以下结论：①序-44,=0②a+b+c=0③2o-8=0（5）c-a=3,

其中正确的有（）个.

【分析】根据二次函数图象与性质即可求出答案.

解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

故△=/>2-4ac>0,故①错误；

②（-2,0）关于直线％=-1的对称点为（0,0）,

（-3,0）关于直线》=-1的对称点为（1,0）,

...令x=l,y—a+b+c<0,故②错误；

③由对称轴可知：一旦=-1,

：.2a-b=0,故③正确;

④令x=-I,y=a-b+c=3,

•a-2a+c=3,

即c-a=3,故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象

与性质，本题属于中等题型.

二、填空题：你能填得又对又快吗？（把答案填在答题卡上，每小题3分，共15分）

15.（3分）小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置

用（-1,0）表示，右下角方子的位置用（0,-1）表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘

第18页共30页

后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是（-1,1）

【分析】以中心方子的位置向右一个单位为原点建立平面直角坐标系，然后写出所有棋

子构成一个轴对称图形位置的坐标即可.

解：建立平面直角坐标系如图，

小莹放的位置是（-1,1）.

故答案为：（-1,1）.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

16.（3分）已知二次函数y=的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-

x2+2x+m=0的解为用=-1或X2=3.

【分析】由二次函数y=-/+标+,〃的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴

的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与

相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程-/+2x+%=0的解.

解：依题意得二次函数y=-/+2x+m的对称轴为x=l,与x轴的一个交点为（3,0）,

.•.抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-（3-1）=-1,

交点坐标为（-1,0）

第19页共30页

...当x=-1或x=3时，函数值y=0,

即-x1+2x+m=0,

二关于x的一元二次方程-xz+2x+m=0的解为xi=-1或X2=3.

故答案为：XI=-1或也=3.

【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函

数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率.

17.（3分）如图，。0是aABC的外接圆，AD是的直径，若。O的半径为5,AC=8.则

cosB的值是a.

一5一

【分析】连接CO,则可得NAC£>=90°,且NB=N£>,在RtZSAOC中可求得CQ,则

可求得cos。，即可求得答案.

解：如图，连接C£>,

是。。的直径，

AZACD=90°,且NB=ND,

在RtZXACO中，A£>=5X2=10,AC=8,

：.CD=6,

.".cos£)=-^=—=—,

AD105

••cosB~-cosD--

5

故答案为：芭.

5

【点评】本题主要考查圆周角定理及三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键.

18.（3分）如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、。位于第一

第20页共30页

象限，且。4=3,OB=2,对角线AC、交于点G,若曲线y=k(x>0)经过点C、

x

【分析】分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F,则CE〃GR设C(m.n),

利用矩形的性质可得AG=CG,根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G

(包，L),根据反比例函数系数k=xy,得至Umn=^.xkn,求得m=],作CH

2222

_Ly轴于〃，通过证得求得CE,得出C得坐标(1,工)，可求得k.

2

解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F,

J.CE//GF,

设C("i・几)，

・・•四边形A8CZ)是矩形，

:.AG=CG,

：.GF=LCE,EF=L(3-/72),

22

0F=—(3-w)+m=-+^-m,

222

：.G(.5±3L,L?),

22

；曲线y=k(x>0)经过点C、G,

X

mn—尹WX1-n,

22

解得m=\,

作C”J_y轴于"，

：.CH=]f

VZABC=90°,

・・・NCB”+NABO=90°,

第21页共30页

；NOA8+NA8O=90°,

：.ZOAB=ZCBH,

•.•/AOB=NBHC=90°,

:.△AOBsABHC,

•BH=CH即

*'0AOB）、7T

2

.•.OH=W+2=Z,

22

：.C（1,工），

2

：.k=\xl=L-

22

故答案为工.

2

【点评】本题考查「矩形的性质、三角形相似得判定和性质以及反比例函数k的几何意

义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解.

三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共63分）

19.（6分）计算：（1）-i+|l-J诉tan3O°.

2

【分析】直接利用负整指数基的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简

求出答案.

解：（±）'+|1-V2I-V27tan3O0

2

=2+&-1-3Mx显

3

=1+圾_3

=V2-2.

【点评】此题主要考查了负整指数基的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值，

第22页共30页

正确化简各数是解题关键.

20.（10分）如图，MN是。。的直径，MN=4,点A在。。上，NAMN=30°,8为AN的

中点，P是直径上一动点.

（1）利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹）.

（2）求B4+PB的最小值.

【分析】（1）作点A关于的对称点A',连接A'B,与MN的交点即为点P；

（2）由（1）可知，以+PB的最小值即为A'B的长，连接。A'、OB、OA,先求NA'

OB=NA'ON+NBON=60°+30°=90°,再根据勾股定理即可得出答案.

解：（1）如图1所示，点P即为所求；

（2）由（1）可知，出+PB的最小值即为A'8的长，连接OA'、OB、OA,

图2

：A'点为点A关于直线MN的对称点，NAMN=30°,

AZAON=ZA'ON=2NAMN=2X30°=60°,

又为余的中点，

AAB=BN-

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AZBON=ZAOB=^ZAON=kx60°=30°,

22

OB=ZA'ON+NBON=6Q°+30°=90°,

又,：MN=4,

：.OA'=OB=LMN=LX4=2,

22

：.Rt^A'。8中，A'B=Q淤+/=2近，即以+PB的最小值为2&.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图及轴对称的最短路线问题，熟练掌握轴对称的性

质和圆周角定理、圆心角定理是解题的关键.

21.（10分）''友谊商场”某种商品平均每天可销售100件，每件盈利20元.“五一”期间，

商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件该商品每降价1元，商场平均每天可

多售出10件.设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）降价后每件商品盈利（20-x）元,商场日销售量增加10x件（用含x的

代数式表示）；

（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大值是

多少？

【分析】（1）降价1元，可多售出10件，降价x元，可多售出10x件，盈利的钱数=原

来的盈利-降低的钱数；

（2）等量关系为：每件商品的盈利X可卖出商品的件数=利润w,化为一般式后，配方

可得结论.

解：（1）故答案为：（20-x）,10%；

（2）设每件商品降价x元时，利润为卬元.

根据题意得：w=（20-x）（100+10%）=-10X2+100X+2000=-10（x-5）2+2250,

V-10<0,

有最大值，

当x=5时，商场日盈利最大，最大值是2250元；

答：每件商品降价5元时，商场日盈利最大，最大值是2250元.

【点评】本题考查了二次函数的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到

总盈利的等量关系是解决本题的关键.

22.（10分）如图，已知A8是。。的直径，弦CD与直径AB相交于点尺点E在。0外，

作直线AE,且NE4C=ND.

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(1)求证：直线4E是。。的切线.

(2)若2C=4,cos/84O=旦，仃=凶，求8尸的长.

43

【分析】⑴由直径所对的圆周角是直角得：NAD?=90°,则NA£>C+NCQB=90°,

所以/E4C+/BAC=90°,则直线AE是。。的切线：

(2)过点8作CF边的垂线交C尸于点H,依据锐角三角函数的定义可求得HC和H8

的长，然后再求得F”的长，最后，在RtZ\8F”中，依据勾股定理求解即可.

证明：(1)连接BZ),

是。。的直径，

.../A£»B=90°,

即/4£>C+NCOB=90°,

VZEAC=ZADC,ZCDB=ZBAC,

/E4C+NBAC=90°,

即NB4E=90°,

直线AE是。。的切线；

(2)过点B作CF边的垂线交CF于点H.

；cosNBAD=W,

4

.".cosZBCD——,

4

VBC=4,

:.CH=3,

:.BH=R

:.FH=CF-CH=L,

3

在RtzXBF”中，BF=&.

3

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【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点

的综合运用，在圆中常利用同弧或等弧所对的圆周角相等，来证明三角形相似或得出其

他结论.

23.（12分）某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图

所示的图象，图中折线ABCD表示人均收费y（元）与参加旅游的人数x（人）之间的函

数关系.

（1）当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为加0元:

（2）如果该公司支付给旅行社3600元，那么参加这次旅游的人数是多少？

【分析】（1）观察图象即可解决问题；

（2）首先判断收费标准在8c段，求出直线2c的解析式，列出方程即可解决问题.

解：（1）观察图象可知：当参加旅游的人数不超过10人时，人均收费为240元.

故答案为240.

(2)V36004-240=15,3600+150=24,

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...收费标准在BC段，

设直线8c的解析式为y=fcr+b,则有1l°k+b=24°,

l25k+b=150

解得（k=-6,

lb=300

，y=-6大+300,

由题意（-6x+300）元=3600,

解得x=20或30（舍弃）

答：参加这次旅游的人数是20人.

【点评】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题

意，读懂图象信息，