2023年湖南省永州市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2023年湖南省永州市成考专升本数学(理)

自考真题(含答案)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

1.有不等式⑴Weca区|tana|(2)sina区|tana|(3)|csca凶cota|(4)|cosa凶cota|其中

必定成立的是()

A42)(4)B.⑴⑶C.⑴⑵⑶(4)D渚R不一定成立

2.sin42°sin72°+cos42°cos72°等于()

A.A.sin60°B.cos60°C.cosll4°D.sinll40

3.某人打靶的命中率为0.8,现射击5次，那么恰有两次击中的概率

为()

A.A.oR2

B.08-X0?3

C.l：：O.x>0,25

D.I0.X'>0.2:

4.不等式|X-2|W7的解集是()

A.{x|x<9}B.{x|x>—5}C.{x|x<-5或x>9}D.{x|-5<x<9}

正三梭锥底面边长为/n,侧校与底面成60°角，那么棱锥的外接圆锥的全面积为.

()

•(A)irm’(B)--irm,

_(C)(D)yirm

5.

6.设函数f(x+2)=202-5,贝IJf(4)=()

A.-5B.-4C.3D.l

已知底面边长为6的正三梭锥的体积为9虑,则此正三棱锥的岛为

A.6居B.376

7.C.2#D.痣

A.A.AB.BC.CD.D

已知直线4：2*-%=0.4：3-2>+5=0,过1|与。的交点且与L垂直的直线方

程是()

(A)8x-4y+25=0(B)8*+4y+25=0

8(C)8x-4y-25=0(D)8x+4y-25=0

9.在△ABC中.已知AB=6・AC=2.BC=1・IM!iinA等于()

A.A.O

B.l

C：

D.1

1。.明名广的”于

A.IB.a

，_1D.

11.过两点（-4,1）和（3,0）的直线的倾角为（）

A.A.一

Bn-arctan；

I

D宣一ar<tan（一；）

12.命题甲：Igx,Igy,Igz成等差数列；命题乙：y2=x,z则甲是乙的

（）

A.A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.既充分又必要条件D.

既非充分也非必要条件

13.乙:△，岱C是纤功三角形.mi

（A）甲是乙的充分条科但不录乙的必要余件

<B）甲盘乙的必吧条件但不是乙妁充分条件

（Q中是乙的充分必要条件

fD）甲不足乙的先升条件也不是乙的必要条件

抛物线/=-4x的准线方程为)

(A)x=-2(B)zs-1

(C)x=2(D)x=1

14.

15.二项式(2x-l)6的展开式中，含x4项系数是()

A.A.-15B.-240C.15D.240

16.

下列各选项中，正确的是()

A.y=x+sinx是偶函数

B.y=x+sinx是奇函数

C.Y=

D.x

E.+sinx是偶函数

F.y=

G.x

H.+sinx是奇函数

(9)设甲：k=IH5=I.

乙:直线y=M+&与)•=”平行，

则—

(A)甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件

(B：甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件

(C)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

17.(D)甲是乙的充分必要条件

18.使函数y=x2—2x—3为增函数的区间是()

A.A.(1,+oo)B.(—oo,3)C.(3,+oo)D.(-oo.1)

不等式组f<°的解集为-2vx<4,则a的取值范围是()

la-2z>0

(A)a<-4(B)aN-4

19.(C)aM8(D)aW8

20.一枚硬币连续抛掷3次，至少有两次正面向上的概率是()

A.A.2/3B.l/2C.3/4D.3/8

(10)正六边形中,由任意三个顶点连线构成的三角形的个数为

(A)6(B)20

21.(C)120(D)720

22.已知a=(3,6),b=(-4,x),且a上b,则x的值是()

A.A.lB.-lC.2D.-2

23.甲、乙各自独立地射击一次，已知甲射中10环的概率为0.9,乙射中

10环的概率为0.5,则甲、乙都射中10环的概率为0

A.0.2B.0.45C.0.25D.0.75

24.如果圆锥的轴截面是等边三角形，那么这个圆锥的侧面展开图的圆

心角是()

A.7TB.57T/6C.27T/3D.n/2

25.A=20°,B=25°则(l+tanA)(l+tanB)的值为()

A忑

B.2

C.1+应

D.2(tanA+tanB)

26.下列函数的周期是7T的是

./(x)=cos22x—sin22x

B.F(x)=2sin4x

C.F(x)=sinxcosx

D.F(x)=4sinx

函数=亡经'的定义域是

27.।咽(雪-1)

A.(l,3]

C.(2,3]D.(1.2)U(2.3]

已如25与实数r的等比中项是1,Mm-

(A)—(B)-(C)$(D)2S

28.25

设玛，鸟为椭园余+]=1的焦点,P为椭圆上任一点，则F2的周长为

)

(A)16(8)20

29.918(D)不能确定

30.设函数f(x)=x2-l,则f(x+2)=()

A.A.x2+4x+5

B.x2+4x+3

C.x2+2x+5

D.x2+2x+3

二、填空题（20题）

31.

已知随机变量G的分布列是：

012345

2

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

贝!IEg=__________

32.

已知/(x)=球rQ>O.a¥1).且/(log/。)=$•则a=

-log/（h+2）

33.函数）'=―一2^+31的定义域为

计算3亍X3于一log,10—iog《A=

34.5---------------------------------------------------------•

己知球的一个小圆的面枳为W,球心到小圈所在平面的即曲为G,则这个球的

35.长面枳为.

在5个数字1,2,3,4,5中,电机取出W个数字.则利下两个数字是奇效的概率是

36.•

21.曲线y=%■在点（-1.0）处的切线方程___________

37.*+2

38.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为（单

位:cm）

196,189,193,190,183,175,

则身高的样本方差为cm2（精确到0.1cm2）.

391：“"

40.若/Cr）=xl-ax+1有负值，则a的取值范圉是,

41.

设函畋/工）=十一人则f（o）=_____________

42.已知直线3x+4y-5=0,x2+y2的最小值是.

43.

某次测试中5位同学的成绩分别为79,81,85,75,80,则他们成绩的平均数为

44.设i,j,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k,贝！J

a・b=__________

45.设fa十】）="+2右+i,则函数f（x）=.

同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年

46.则四张贺年K不同的分配方式有——种.

（2知（1+,〉，・仆+41|工+*/+…4中.So..••2as•那么（1+1》•的展开戒

47.中•中间偌琅依次♦—_・

48.设离散型随机变量的分布列如下表，那么的期望值等于

0

65.454

0.060.04

P0.70.10.1

49、tanCarctanw+arctan3）的值等于1

50.设a是直线Y=-x+2的倾斜角，贝l」a=

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

已知等差数列｛an｝中，al=9,a3+a8=0.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵当n为何值时，数列｛an｝的前n项和Sn取得最大值,并求该最大值.

52.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

53.

(本小题满分12分)

在(a%+l)7的展开式中,*的系数是％2的系数与的系数的等差中项,

若实数a>l,求a的值.

54.（本小题满分12分）

在△A8C中.A8=8%.8=45°,C=60°,^AC.HC.

55.

(本小题满分13分)

如图，巳知确08£：，+/=I与双曲线G：4-/=*(«>1).

(1)设.©分别是C..C,的离心率,证明e,e,<I；

(2)设44是G长轴的两个端点/(0,%)(1与1>a)在G上，直线PA与G的

另一个交点为Q,直线P4,与a的另一个交点为上证明QR平行于y轴.

56.

(本题满分13分)

求以曲线2/+/-"-10=0和，=2*-2的交点与原点的连线为惭近线,且实

轴在T轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

57.(本小题满分12分)

巳知等比数列laj中,4=16.公比g=X

(D求数列忖」的通项公式；

(2)若数列；的前n项的和S.=124,求"的他

58.(本小题满分13分)

从地面上A点处测山顶的仰角为明沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为P，求山高.

59.

(本小题满分13分)

巳知函数/(x)=X-2日

(1)求函数y=/(x)的单调区间,并指出它在各单调区间上是增函数还是减函数;

(2)求函数v=f［x)在区间［0,4］上的最大值和最小值•

60.

(本小题满分12分)

已知确甑的离心率为冬且该椭圆与双曲线%八1焦点相同•求椭圜的标准

和港线方程.

四、解答题(10题)

61.(24)(本小・戏分12分)

如图,已知科圆G。«1与双曲线G$・/=Ha>1).

(I)设小。分别是C,£的离心率,证明VI；

(0)设人乂,是G长轴的两个端点,“>a)在G上,直线犯4马%的另

一个交点为Q,直线PA1与G的另一个交点为R瓦明QR平行于，轴

62.已知伯力是等差数列，且a2=-2,a4=-l.

(I)求伯”的通项公式；

(II)求｛an｝的前n项和Sn.

63.

巳知双曲端一£=1的两个焦点为R.F’,前P在双曲线上,若PEJ_PB.求:

(1)点「到了轴的距离；

(0)APF.F.的面积.

64.已知n｝为等差数列，且a3=a5+l.

(I)求｛an｝的公差d；

(II)若ai=2,求同｝的前20项和S2o.

65.

已知双曲线的焦点是椭圆<十与1的顶点，其顶点为此椭圆的焦点.求।

(I)双曲线的标准方程；(II)双曲线的焦点坐标和准线方程.

66.已知数列同｝的前n项和Sn=7t(2n2+n)/12.求证：｛aj是等差数列，并

求公差与首项.

67.

已知△ABC中，A=30°,AC=BC=1.求

(I)AB；

(1口△ABC的面积.

己如公比为g(gwl)的等比数列｛a.｝中，a,=-l.相3项和S,=-3.

(I)求g；

68.(II)求向｝的通项公式.

已知椭圆C：4+与=1(a>b>0)的离心率为！，且2小，6’成等比数列.

ab2

(I)求C的方程：

6%(II)设C上一点P的横坐标为i,耳、鸟为c的左、右焦点，求△尸耳鸟的面枳.

70.

已知等差数列(a.)中=9.由+公0,

(I)求数列｛4>的通项公式；

《H)当”为何值时，数列(aJ的前〃项和S”取得圾大信,并求出该最大值.

五、单选题(2题)

71.不等式|3x-l|<l的解集为()

A.A.RB.{x|x<0或x>2/3)C.{x|x>2/3}D.{x|0<x<2/3)

已知向量a=（-3,m）,b=且a=，则m,n的值是（）

(A)ms3,n=1(B)m=-3,n=1

(C)m==-6(D)m=-6,n=y-

72.

六、单选题（1题）

73.某学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙、丙三门课程至少选修

两门，则不同的选课方案共有（）

A.A.4种B.18种C.22种D.26种

参考答案

1.A

22

•:secQ=1+tanQ♦

scc:a>tan?|secaI>tanaI.

平方平方等号两边非负

V1+cot2a=esc2a♦

：•cot2esc2a=>IcotaiVIcscai,I.(1)(3)为错

••sirio

-----=tana-

cosa

Isina■•-；---r=itanaI,

Icosal

当icosa|=±1时•|sina|=|tana|,

当0VIcosa|V1时.|sina|<|tana|,

即Isina|4|tana|.

同理IcosaI&।cota।(2)(4)正确.

2.A

3.C

4.D

D【解析】|工一2|&70-74。-247㈡

—54<r49.故选D.

要会解形如|ar+6|4c和|ar+61

的不等式.这是一道解含有绝对值的不等式的问题，解这类问题关键是

要注意对原不等式去掉绝对值符号，进行同解变形.去掉绝对值符号的

①利用不等式|zIVaQ—aOVa或|z|>aQ]>

常见方法有：a或zV-a;②利

用定义;③两边平方，但要注意两边必须同时为正这一条件.

5.C

6.B利用凑配法，就是将函数的解析式写成关于(x+2)的函数式；

7.D

8.B

9.D

由余弦定理有cosA=M*±^C二^

2AB-AC2X73X2

A=»专.则ainA=»sin套="1'.（答案为D）

006

10.C

c它的:信严备

11.B

12.A

因为iKT.板v.3成等差数列->/.1•%则甲是乙的充分而非必要条件.（容宝为A）

13.B

14.D

15.D

由二项式定理可得,含『项为C：<.2..-IT-240/.（答案为D）

16.B

17.B

18.A

y'=2工2,令y=O得I=1.当工>1时.，>0・原函数为增函数,所求区间为（1.+oo）.

（答案为A）

19.C

20.B

21.B

22.C

23.B甲乙都射中10环的概率P=0.9x0.5=0.45.

24.A

设圆锥底面圆半径为F,由已知圆锥母线Er,圆心角8=十•2.”,本题是对圆

锥的基本知识的考查，其侧面展开图所在圆的半径即为圆锥的母线

25.B

.,-8)=产外见

由题已知A+B=7t/4-tanA•tanB即tanA+tanB=l-

tanA*tanB,(1+tanA)(1+tanB)=l+tanA+tanB+tanA*tanB=2

26.C

求三角函数的周期时，一般应将函数转化为

1y=AsinlcuN+p)或y=Acos(cor+p)型,

然后利用正弦、余弦型的周期公式T=A求解.

|wl

A./(jr)=cos22x—sin*2x=cos(2X2x)=cos4x,

r=2L

2°

B./(x)=2sin4x,T=^=f.

-in

Ct/(x)=siorcosj,=-z-sin2x>T==K.

乙乙

D»/(x)=4sinx»T=^=2n.

27.D

>0

|＞解析：由nx・1>。=定义域为(1.2)U(2Jl.

x1)0U

28.A

29.C

30.B

31.

2.3

32.

由/(bgJ0)=aQ：7="唱,.a=■，得a=20.(答案为20)

33.

【答案】《川一2<^<-1.且上,一］）

iog1<^+2»0[OVI+241

工〉-2

，x+2>0-J

3

l2x+3#O卜K-f

=>-2<x<-l.Ax#-y

yioglCx-rZ)

所以函数的定义域是

y2*+3

3

34.

7

【解析】该小题主要考查的知识点为对数函数与指数函数的计算.

33X3丁一log10—log—=31—

445

(log,10+log!-1-)=9—log416=9—2=7.

【考试指导】

35.

12x

36.

■桥J个数字中共有三个有数.若利下苒个是奇fell・塞力G帆◎的队优育C种，鬼所承假

*为f而

4,

21.y--7（4+1）

37.J

38.

?=47.9（使用科学计辑器计匏）.（卷案为47.9）

39.

40.

{aIa<.2或a：>2)

M因为/XJ)=2'一a，r仃负值.

所以A-<-u),-4X1X1

解之用a<-2a>2.

【分析】本蜀学查对二次函敕的图象与性质、二

次不等式的解决的掌接.

41.

/(£)=«?-r.//(x)=cJ—1'=e'-1=I—l-O.(答案为0)

42.1

■:3x+4y-5=0—>y=-3/4x+5/4,x2+y2=x2+(-3/4x+5/4)2=25/16x(x2-15)

/8x+25/16-a=25/16>l,又,当x=-b/2a时，y=4ac-b2/4a=l,是开口向

上的抛物线，顶点坐标(-b/2a,4ac-b2/4a),有最小值1.

43.

【答案】80

【解析】该小题主要考查的知识点为平均数.

【考试指导】成绩的平均数=(79+81+85+75+80)/5=80

44.答案：0【解析】由向量的内积坐标式和坐标向量的性质得：

i2=j2=k2=l,i・j=j,k=ia*.*a=i+j,b=-i+j-k,得a,b=(i+j)(-i+j-k)=-

i2+j2=-l+l=0.【考点指要】本题考查考生对向量坐标的掌握情况.

45.

工十2，工二1

微.+]-,.剜,看它<1代入八*+1)・*+26+1t，ff

国人"r+s'T.

9

46.

47.

48.答案：5.48解析：E6)=6*0.7+5.4*0.1+5*0.4+4*0.06+0*0.04=5.48

49.

50.

3

51.

(I)设等差数列la.l的公差为d,由已知a,+，=0,得

2a,+9rf=0.又已知％=9.所以d=-2.

数列la1的通项公式为%=9-2(n-l).即a.=11-2n_

(2)数列la.l的前n项和

S,—~(9+1—2n)=-+1On=—(n-5)!+25.

当a=5时.S.取得最大值25.

52.

设三角形三边分别为a,b,c且。+6=10,则6=10-a.

方程-3x-2=0可化为(2x+1)(工-2)=0.所以*,.=-y.x：=2.

因为a』的夹角为。，且ICOBOIW1,所以coM=-y.

由余弦定理，得

eJ=a:+(10-a)1-2a(!0-a)x(-y)

=2a'+100-20a+10a-a1=a2-10a+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0,

所以当a-5=0,即a=5H*c的值最小，其值为月=5、.

又因为a+i<=10,所以c取得fl小值.a+6+e也取得最小值•

因此所求为10+5笈

由于(ax+[)'=(1+心户.

可见,展开式中，"X的系数分别为C".C；a‘，C?a4.

由巳知已C。'=C?a:+C?a\

又a>1.则2x7：立勺5.加，5a:-10a+3=0.

3x223x2

53•解之，得a由a>1,得a=

54.

由已知可得4=75。.

5tsin750=«in(450+30°)=»in45ocos30°+coe45°8in30°.......4分

在AABC中，由正弦定理得

工____"-且又……8分

sin45°~sin75°~sin60°.

所以4C=16.8C=86+8........12分

55.证明：（1）由已知得

将①两边平方.化简科

（现+a）jy!=（5④

由②③分别得y：=4（£-/）♦y?-M）.

aa

代人（手整理得

同理可得物=;.

所以处.所以。犬平行于，轴.

56.

本题主要考查双曲线方程及绦合解es能力

[2x2+/-4x-10=0

根据愿意.先解方程组卜；_2

得两曲线交点为广,[=3

ly=2.ly=-2

先分别把这两点和原点连接.得到两条直线7=土多

这两个方程也可以写成《-彳=0

94

所以以这两条直线为渐近线的双曲线方程为旨-£=0

由于巳知双曲线的实轴长为12.于是有

”=6'

所以*=4

所求双曲线方程为袅-巳=1

50J0

57.

(1)因为叼=。",即16=5X：,得，=64.

所以.该数列的通项公式为a.=64x(-i-)-*,

n.”64(1-i)

(2)由公式得i%=---------r~.

i-gi,L

2

化简得2・=32.解得n=5.

58.解

设山高C0=x则中=xcota.

Rt^BDC中，8"=xco<3.

为48=«4Z)—W所以a=xcotzx-xcoU3所以熏=—°...-

cota-cot/3

答:山高为米

cota-coy3

59.

(I)八*)=1|令〃G=0,解得*=1.当xe(O/)./(x)<0;

当xe(l.+8)J⑺>0.

故函数人外在(0.1)是减函数,在(1.+8)是增函数.

(2)当*=1时/(外取得极小值.

又<0)=0,/(1)«-1,A4)=0.

故函数八%)在区间［0,4］上的最大值为。,最小值为-I.

60.

由已知可得椭BS焦点为A(-3,0),G(6.0).……3分

设椭圆的标准方程为三+/1(a>6>0).则

—-—曲，—福

”.解得仁;：

“…$分

a3

所以椭圆的标准方程为总+91.

.……9分

桶胧的准线方程为了=土产.

……12分

61.

（24）本小均战分12分.

证明:（I）由已知的

一■呼•与I・守・〃.小；……3分

又,可得0＜（工）・＜|.所以.。吊＜1.……5分

°

（口）设Q但*）,/W，力由题设.

由②（3＞分别得*=%（C-a‘）拓……8分

代入④整理粉

0Tl勺一0

or[q*。

即＜|»—•

同理可得*,・3.

所以XLA-0.所以QR平行于y输.12分

62.

(I)由题可知

4=a?+2d=-2+2d=-1,

可得d=；.

Lt

故a*=aj+(n—2)d

=-2+(月一2)X

=2L-3

2

(n)由(i)可知囚=IT=_4",

.S.="a.)

〃(—+-^—3)

,SS一1--£，>■w,

2

=-11).

4

63.

(I)设所求双曲线的焦距为2c•由双曲线的标准方程可知/=9."=16.

得c-，7¥产=，开痛=5.所以焦点F,(一5,O).E(5,O).

设点P(4,为)(勺>0,»>())•

因为点口.”)在双曲线上,则有净嗦=i,①

又PF.JLPF,,则a,•♦二】,即鼻•占=-1,②

①②联立•消去々.得即点P到工轴的距离为A=号.

CU)S^=ylF.F»l•A=yX^X10=16.

64.(I)设公差为d,知a5=a+32d,

故a5=a3+2d=a3-l,

因此有d=-l/2.

(II)由前n项和公式可得

=20a”X(”Dxd

=20X2+竺孑二12x(-十)

=­55.

65.

<I）设精圆的长半物长为S，短半轴长为by.半焦距为Q,由椭圆方程得

a（=3.6i=>/5»^«ya?=，§—5=2,

设所求双曲线的标准方程为W-£=l（aX,b>0）.

aor

由已知"B。=2.c=。［=3,6=Jn，$-

因此所求双曲线的标准方程为1—g=l.