2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 复数（学生版+解析版）（共2讲）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题54复数第一讲

1.【2021年福建预赛】若与=1,x2=l-i,x3=l+i"为虚数单位)为方程/+a/+bx+c=0的

三个解，则a+b-c=.

2.【2021年重庆预赛】已知复数z1,Z2满足|Z]|=|zi—2zzl,=V3(l-i),i为叙述单位，则包=_

z2

3.【2021年浙江预赛】设复数z=x+yi的实虚部x,y所形成的点(x,y)在椭圆差+3=1上。若丁为

实数，则复数z=.

4.[2021年全国高中数学联赛B卷一试】设m为实数，复数Zi=l+2i,z2=m+3氏这里i为虚数单位)，若z[•

石为纯虚数，则IZ1+Z2I的值为.

5.【2020高中数学联赛A卷(第01试)】设z为复数.若三为实数(i为虚数单位)，则|z+3|的最小值为一

6.12020高中数学联赛B卷(第01试)】设9元集合4={a+bi\a,be{1,2,3}},i是虚数单位.a=

(Zi，Z2,…z。是A中所有元素的一个排列，满足<|z2|<-<IzJ,则这样的排列a的个数为.

7.【2020年福建预赛】已知复数z满足|z-l|=|z—i|,若z—W为正实数，则z=.

Z—L

8.[2020年甘肃预赛】已知复数z满足|z|-z=3-i.则z=.

9.【2020年广西预赛】已知复数z满足|z+J5i|+|z-旧i|=4.则|z-i|的最小值为.

10.【2020年四川预赛】已知复数2=。+8i(a,beZ)，满足z3=2+11i.则a+b=.

11.【2020年浙江预赛】己知z为复数，且|z|=1.当|l+z+3Z2+Z3+Z4I取得最小值时，复数z=__

或.

12.【2020年新疆预赛】已知复数z满足|z|=l，则|z+iz+l|的最小值为.

13.【2019年内蒙古预赛】己知％+则％2。2。一募=.

14.[2019年上海预赛】若复数z满足|z-V3|+|z+V3|=4,则|z+i|的最大值为.

15.[2019年上海预赛】设a为实数，关于z的方程Q2-2z+5)(z2+2az+1)=0有四个互不相等的根，它

们在复平面上对应的四个点共圆.则实数a的取值范围是.

16.【2019年浙江预赛】设Zi，Z2为复数，且满足|z/=5*=2+i(其中i为虚数单位)，则^-Zzl取值为_

Z2

17.【2019年重庆预赛】已知复数Zi，Z2，Z3使得且为纯虚数，|z/=\z2\=1,|zj+z2+z3|=1,则的

最小值是.

18.【2019年福建预赛】已知复数z,Zi，Z2（Z]KZ2）满足zf=z/=-2-2bi,且|z—z/=|z—z2|=4,则

|z|=•

19.【2018年江苏预赛】已知（a+bi）2=3+4i,其中a,be/?,i是虚数单位，则。2+炉的值为.

20.【2018年浙江预赛】已知虚数z满足z3+l=0,则7（7六\20）18+（Z210\2018=.

21.【2018年广西预赛】设a、b为正整数，且|（a+i）（2+i）|=|踪.则a+b=.

22.【2018年安徽预赛】设三个复数1、i、z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5,则2=.

23.【2018年山东预赛】若复数z满足|z-l|+|z—3—2i|=2&,则口的最小值为.

24.【2018年甘肃预赛】在复平面内，复数Zi，Z2，Z3对应的点分别为Zi%%.若闾=㈤=,西•

两=0,%+Z2-Z3I=2,则怙3|的取值范围是.

25.【2018年河南预赛】已知i为虚数单位，则在（遮+i）】°的展开式中，所有奇数项的和是.

26.[2018年河北预赛】若zeC,且|z+2-2i\=1,则|z-2-2i|的最小值为.

27.【2018年浙江预赛】己知虚数z满足z3+l=0,则（六）+（±）=.

28.[2018年辽宁预赛】设a、b均为实数，复数4=一1+（b一b）i与z2=2-V3a+尻的模长相

等，且Zi豆为纯虚数，则a+b=.

29.【2018年福建预赛】设复数z满足|z-i|=2,则|z-z1的最大值为.（i为虚数单位，N为复数z的

共规复数）

30.【2018年全国】设复数z满足|z|=l,使得关于x的方程zM+2衣+2=0有实根，则这样的复数z的和

为.

31.【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设复数满足团=1,使得关于x的方程2/+2女+2=0有实

根，则这样的复数z的和为.

32.12018高中数学联赛B卷（第01试）】已知复数4/2,23满足%|=㈤=㈤=1,怙1+Z2+Z3I=丁,

其中厂是给定实数，则包+叁+二的实数是___________（用含有/•的式子表示）.

z2z3Z1

33.12017高中数学联赛B卷（第01试）】设复数z满足z+9=10Z+22i,则|z|的值为.

34.[2017年辽宁预赛】已知复数z满足|z|=1,则回一3z-2|的最大值为.

35.[2017年山东预赛】已知复数与*2满足怙1+z2l=20,04-zfl=16,则0+z期的最小值为.

36.[2017年四川预赛】设aGR,复数z1=a+i,z2=2a+21,z3=3a+4i,其中i是虚数单位.若。|、\z2\,\z3\

成等比数列,则实数a的值是.

37.(2017年甘肃预赛】设复数21=-3-7^,22=8+1,2=7^^0+488$0+2),则2-21|+|2-221

的最小值是.

38.【2017年安徽预赛】设复数z满足答言=3+4i,其中i是虚数单位，则z的模长|z|=.

39.[2017年湖南预赛】已知z6C,若关于x的方程4/一8zx+4i+3=0(i为虚数单位)有实数根,则复数z的

模|z|的最小值是.

40.(2017年内蒙古预赛】设复数z=3cos。+(2sin0)i,则函数y=9-argz(0＜。＜的最大值为

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题54复数第一讲

1.(2021年福建预赛】若冤1=为虚数单位)为方程+

1,X2=l-i,X3=l+i(i

ax2+fox+c=0的三个解，则a+b-c=.

【答案】3

【解析】依题意有：

x3+ax2+bx+c=(x-1)•[x—(1—i)][x—(1+i)]

=(x—l)(x2—2x+2)=x3—3x2+4x—2,

于是。=—3,b=4,c=-2.

所以。+b—c=-3+4—(—2)=3.

2.12021年重庆预赛】己知复数Z1/2满足=必1-222|,=73(1-i),i为

叙述单位，则用=.

【答案】1-i

【解析】由必1|=pl_2Zz|知|ZI|2=|z/2+4眼产―2(/%+京Z2),

则z2药=2(Zi互+Z7Z2)=Re(Zi豆)=V3.

所以舁=殖=1-i-

z2Z2Z2

3.[2021年浙江预赛】设复数Z=x+yi的实虚部x,y所形成的点(X,，)在椭圆若+需=1

上。若可1为实数，则复数z=

Z-I

3JT5,•3V15.,

【答案】当F+i或———+1

4

【解析】由*=1一对』，所以y=l，则霓=±警，

3V15,.3V15,.

所以z=--—F1或z=----------F1.

44

4.(2021年全国高中数学联赛B卷一试】设m为实数，复数Zi=14-=m+3i(这里i为虚数单位)，若内•

2i,z2

石为纯虚数，则IZ1+Z2I的值为.

【答案】5V2

【解析】由于Zi,石■=(1+2Q(m-3i)=m+6+(2m-3)i为纯虚数，故m=-6.

所以同4-z2|=|-5+5i|=5V2.

5.12020高中数学联赛A卷(第01试)】设z为复数.若分为实数(i为虚数单位)，则|Z+3|的最小值

为.

【答案】店

【解析】解法1：设z=a+bi(a,beR),由条件知

、、(八

r/Z—2r,(a—2)+bi—a—2)(b-l)+aba+2b—2

/皿有)=所(西可)=-温+(b二-=西『=°，

故a+2b=2.

从而店|z+3|=J(l2+22)((a+3)2+£>2)》|(a+3)+2b|=5,

即|z+3]>后当a=-2,b=2时，|z+3|取到最小值J5.

解法2：由*GR及复数除法的几何意义,可知复平面中z所对应的点在2与i所对应的点的连线上a所对

应的点除外)，故|z+31的最小值即为平面直

角坐标系xOy中的点(-3,0)到直线工+2y-2=0的距离，即埋出=V5.

Jl2+22

6.【2020高中数学联赛B卷(第oi试)】设9元集合4={a+bi\a,bG{1,2,3}},i是虚数单

位.，「・)是4中所有元素的一个排列，满足…<忆八则这样的

a=(ZiZ2Z9|zi|<\z2\<

排列a的个数为.

【答案】8

【解析】由于|1+i|<|2+i|=|1+2i\<\2+2i\<|3+i|=|1+3i|<

|3+2i|=|2+3i|<|3+3i|,

故

Zi=1+i,[z2,z3]={2+i,l+2i},z4=2+2i,{z5,z6}={3+i,l+

3i},{z7,z8}={3+2i,2+3i}.|z9|=3+3i

由乘法原理知，满足条件的排列a的个数为2^=8

7.【2020年福建预赛】已知复数z满足|z—1|=|z—i|,若z一1彳为正实数，则z=

【答案】2+2i

【解析】由题意，知z的实部与虚部相等.设z=x+xi(x6R).则

z---z-—-6=z—1w+5

z-1Z-1

=x+xi—1+5

x+xi-1

=d)+s+誓M

=aT)+瑞曰+1-

i.

z-6

由Z—六为正实数知

(%―1)+75(焉1)>0,

''(x-l)2+x2

5x八

且再

解得尤=2.

因此,z=2+2i.

8.【2020年甘肃预赛】已知复数Z满足|z|-Z=3-i.则2=.

41.

【答案】-3+1

【解析】Eti|z|-3=z-ieR

=z=a+i=Va2+1—3=a

44,.

=CL=—=z=----FL

33

9.(2020年广西预赛】己知复数z满足|z+V3i|+\z-V3i|=4.则|z-i|的最小值为

【答案】

【解析】注意到,Z在复平面上对应的曲线方程为：J+冗2=1.

4

记z=cos0+2isin0(0G[0,2TT)).则

z—i=cosO+(2sin0—l)i.

故|z-i|=yjcos20+(2sin0—l)2

=.sin”*]

.c2

当且仅当sm。=-时，上式等号成立.

io.【2020年四川预赛】已知复数z=a+bi(a,bGZ)，满足z3=2+11i.则a+b=

【答案】3

【解析】由条件知

|z|3=V22+II2=V125

=>|z|=V5=>a2+h2=5

n(a,b)=(2,1),(2T),(-2,T),(-2,-1).

注意到(a+bi)3=(a3-3ab2)+(3a2b—fc3)i.

经验证，仅有(a,b)=(2,1)符合条件.

因此a+b=3.

11.【2020年浙江预赛】已知z为复数，且|z|=1.当|1+z+3z2+z3+z4|取得最小

值时，复数z=或.

1.Vis.

【答案】一±丁

7441

【解析】注意到，

\1+z+3z2+z3+z41

11

=lm+7+3+z+z2o|

=l(Z+》2+Z+/+1|

=|(z+z)2+z+z+1|

=|4Re2z+2Rez+1|

16-43

此时,Rez=--.

4

1.V15.

故Z=一1±丁1.

44

12.【2020年新疆预赛】已知复数Z满足|Z|=1，则忆+LZ+1|的最小值为

【答案】

【解析】解法一:设z=cos0+isin0，则

|z+iz+1|=7(1+cos0—sin0)2+(cos0+sin0)2=

,3+2V2cos(0+3)

所以Jz+iz+l|mjn=V3-2V2=V2—1

解法二：|z+iz+1|=一(一1一i)|,由复数的几何意义知一(一1一i)|表示复

数2对应的点与点(一1,一1)的距离。而各数2对应的点在单位圆上，故：|z+iz+l|min=

V2-1,

2020

13.【2019年内蒙古预赛】已知尤+工=-l.KiJX.

【答案】

【解析】显然元2+冗+1=0,则(x-l)(W+x+l)=0,即-=1.

22

所以％2020=(x+i)-4=-3

即工2020_=+/3i.

1/<k>U

14.【2019年上海预赛】若复数z满足|z-V3|+|z+V3|=4,则|z+i|的最大值为

【答案】3

【解析】设z=x+W(尤、yWR),依题意，知X、y满足竽+y2=1

设比=2sin0,y=cos0(O<0<2TT).则

\z+i\=|2sin0+(1+cos0)i|=V(2sin0)2+(1+cos0)2

=V—3cos20+2cos0+5=J—3(cos6—：)+y<?，

即|z+iI的最大值为竽.

2

15.[2019年上海预赛】设a为实数，关于Z的方程传2—2Z+5)(Z+2«Z+1)=0有四个互

不相等的根，它们在复平面上对应的四个点共圆.则实数。的取值范围是.

【答案】{一3}“一1,1)

【解析】由

z?—2z+5=0=z12=1+2.

22

由z2+2az+1=0=>(z+a)=a—1.

据题意，此方程有四个不相等的根知—

分情况讨论

2

⑴若(Ai>0,即„>i或火-1,则Z34=—a±Ja-1.

为了保证这四个点共圆据圆暴定理，知只需一

z/|l-Z21=|1-Z3||1-Z4|.

即4=|1—(—a+Va2-1)||1—(—a—Va2—1)|=|(1+a)2—(a2—

胤

解得a=-3(a=l舍去).

2

⑵若足1<(),即一］<“<1,则Z34=—a±Jl—a.

从而Z1，Z2,Z3,Z4四个点恰构成一个等腰梯形，必然四点共圆.

综上，实数ae{-3}U(-1,1).

16.[2019年浙江预赛】设Z1，Z2为复数，且满足R1I=5,1^=2+i(其中i为虚数单位)，则

|Z1-Zzl取值为.

【答案】/10

【解析】由|zj=5,设Zi=5(cosa+isina),由留=2+i得z2=(2-i)(cosa+

isina),于是区】-z2\=|(3+i)(cosa+isina)|=V10

17.[2019年重庆预赛】已知复数Z2,Z3使得金为纯虚数，|Zi|=必21=1，|Zi+Z2+Z3|=

1,则R3I的最小值是.

【答案】72-1

【解析】设2=Z1+Z2+z3,则|Z|=1,由已知言+⑶=0.-.Z1Z^+Z2^1=0

zz

|Z1+Z2『=(zt+z2)(zr+z2)=Zxz7+Z2^2+^l2+1^2=2A\Z1+

Z2I=

\z3\=\zr+z2—z\>\z±+z2|—izi=V2—1«当zx=l,z2=i,Z3=

与2(1+i)时，最小值能取到。

18.(2019年福建预赛】已知复数Z,Z1，Z2(Z1WZ2)满足城=Z^=—2—2/3八且区一

zt|=|z—z2\=4,贝u|z|=.

【答案】2V3

【解析】先求复数一2一2dgi的平方根

设(x+yif=-2—2/^i(yyWR),则(7—,)+2冤yi二-2一2万i.

(X2.y2=_2fX1=l(X2yl

(2xy=-2/3=一万]丫2=痣

由z彳=Z2=-2—2j3i,Zi工z2-知Zi，Zz为复数一2一的两个平方根.由对称性,

不妨设Z1=1—y/3i,Z2——1+J37.

于是，|ZLZZI=4,\Z1-Z2\=\z-z1\=\z-z2\=4,复数Z,ZLZ?对应的点Z,Z「

Z2构成边长为4的正三角形.

乂复数Zi,Z2对应的点Z〉Z2关于原点。对称,

:.o为二ZZ1Z2的高，故|z|=\0Z\=2A/3.

19.【2018年江苏预赛】已知(a+bi)2=3+4i,其中a,b€R,i是虚数单位，则。2+炉的值为

【答案】5

【解析】

由(a+bi)2=3+4i得|a+bi\2=|3+4i|,即a?4-/)2=5.

故答案为：5

/，X2018Z1S2018

20.【2018年浙江预赛】已知虚数z满足z3+l=0,则(看)+(三)=

【答案】-1

【解析】

z3+1=0=>(z+l)(z2—z+l)=0=>z2—z+1=0,

田-以，zY°18/1\2018_z2018+1_(Z3)672Z2+1_z2+1_

%以+=(Z2)2O18=(Z3)134SZ==一］

21.【2018年广西预赛】设a、b为正整数，且|(a+i)(2+i)|=|芸］.则a+b=.

【答案】8.

【解析】

由题意得(2a—I)2+(a+2)2=+(等)=(b+5a)(b-5a)=24.

又因为b+5a与匕一5a为奇偶性相同的整数，所以，?或4+差=?，

Ib-5Q=23-5a=4.

解得Q=1,b=7.

故Q+Z?=8.

22.【2018年安徽预赛】设三个复数1、i、z在复平面上对应的三点共线，且怙|=5,则2=

【答案】4-3i或・3+4i

【解析】

设z=x-+-yi,由题设得x+y=1且M+y2=25.

故(x,y)=(4,-3)或(34).所以z=4・3i或-3+4i.

故答案为：4-3i或-3+4i

23.【2018年山东预赛】若复数z满足|z—l|+|z-3—2i|=2&，则|z|的最小值为

【答案】1

【解析】

设4(1,0),8(3,2),\AB\=2V2,则点z的轨迹为线段48.

因此Izlmin为原点。到4的距离，即Izlmin=I。川=1.

24.【2018年甘肃预赛】在复平面内，复数Z]Z2，Z3对应的点分别为Z1，Z2，Z3.若。|=%|=应,西•

西=0,IZ1+Z2—Z3I=2,则怙3|的取值范围是.

【答案】[0,4]

【解析】

因为匕|=忆2|=/,西•西=0,所以区+Zzl==2,

因为IZ1+Z2-Z3I=2,所以2=\zx+z2-z3\>IIZ1+Z2I-|z3Hz3|-2|,

从而一2<|Z3|-2<2,0<㈤<4.

25.【2018年河南预赛】已知i为虚数单位，则在(国+i)1°的展开式中，所有奇数项的和是.

【答案】512

【解析】

易知(8+的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部.

又(O+i)10=[(-2i)(-1+yi)]10=(-2i)10(-i+yi)10

=(-1024)x(-^+yi)=512-512后.

故填52.

26.[2018年河北预赛】若zGC,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为.

【答案】3

【解析】

试题分析：设2=2+环(a,bWR),满足|Z-2-2i|=l的点均在以Ci(2,2)为圆心,1为半径的圆上，所以

|Z+22|的最小值是C”C2连线的长为4与1的差,即为3.

考点：复数模的几何意义及数形结合的思想方法，

/7\2018z1x2018

27.【2018年浙江预赛】已知虚数z满足z3+1=0,则(六)+(方=.

【答案】-1

【解析】

z34-1=0=>(z4-l)(z2—z+l)=0=>z2-z+l=0,

、2018Z1\2018_2018_(3)6722_2

GrrJ/Zz+122+1z+1

助以(工+(/iJ=.2)2018=.3)1345、=^7"

28.(2018年辽宁预赛】设a、b均为实数，复数z】=V3a-1+(V3-b)i与z?=2-ga+儿的模长相

等，且Z1石为纯虚数，则a+b=

【答案】V3±l

【解析】

由题设知忤|=1,且包=z房为纯虚数，故红=±i.因此(产"1=_上或解得

。122ZzIV3-6=2-V3a.IV3-fe=V3a-2.

a=b=立二或a=b=至上故a+b=V5+l.

22

故答案为：V3土1

29.【2018年福建预赛】设复数z满足|z-i|=2,则怙-幻的最大值为.(i为虚数单位，％为复数z的

共筑复数)

【答案】6

【解析】

设z=x+yi(%yGR),

则N=x-yi,z—z=(%+yi)~(x-yi)=2yi,\z-z\=2|y|,

由|z—i|=2,知K%+yi)—i|=2,%2+(y-I)2=4.

所以(y-1)2^4,-1<y<3.所以|z-=2|y|W6.

当且仅当y=3,即z=3i时，等号成立.故怙一方的最大值为6.

30.【2018年全国】设复数z满足|z|=l,使得关于x的方程Z^2+2ZX+2=0有实根，则这样的复

数z的和为.

2

【答案】一百

【解析】设z=a+bi(小bGR,a2+h2=1).

将原方程改为(〃+bi)f+2(a-bi)x+2=0,分离实部与虚部后等价于:

ax2+2ax+2=0①

bx2—2bx=0②

若b=o,则〃=i,但当。=i时，①无实数解，从而a=-1,此时存在实数工=-1±V满足①、

②，故z=-l满足条件。

1J

若厚o,则由②知工£{0,2),但显然户o不满足①，故只能是x=2,代入①解得a=一二，进而b=

,V15-l±V15i

±-—,相应有Z——-—.

44

y,-1+V15i,-1-V15i3

综上，满足条件的所有复数之和为一1+--一+---=--

442

31.12018高中数学联赛A卷(第01试)】设复数满足|z|=l,使得关于x的方程2尤2+2ZX+2=

0有实根，则这样的复数Z的和为.

3

【答案】一］

【解析】

设=。+砥。，t>wR,a2+£>2=1).

将原方程改为(a+bi)x2+2(a-bi)x+2=0,分离实部与虚部后等价于

ax2+2ax+2=0①

bx2—2bx=0②

b—0f则ci~=1,但当ci—1时，①无数解，从而ci=1,此时存在实数冗=-1±V满足①、

②，故Z=-1满足条件.

若厚0,则由②知文£{0,2},但显然广0不满足①，故只能是x=2,

1,,V15-l±V15f

代入①解得a=进而b=±,相应有z=—二;——.

444

Y-l+-15i—1—V15i3

综上，满足条件的所有复数Z之和为一1+---+—--=--

442

32.12018高中数学联赛B卷(第01试)】已知复数Zi，Z2，Z3满足|Zj=亿2〔=IZ3I=

其中r是给定实数，则留+用+含的实数是(用含有r的式子

l,\Z1+Z2+Z3\=r,

表示)

2_

【答案】二r产3

【解析】记W=—+—+々.由复数模的性质可知百=；，无=；，药=

Z3Z1AZ1z2Z3

Z2

因此W=Z1药+Z2Z3+Z3Z1

于是京+互+药)=区2区

M=(Zi+Z2+23)(15+|Z2|+35+w+W=3+

2Rew,

r2-3

解得Rew=——.

33.12017高中数学联赛B卷(第01试)】设复数z满足Z+9=1OZ+221,则|z|的值为

【答案】店

【解析】设a,由条件得(a+9)+bi=10a+(—10ft+22)i.

比较两边实虚部可得｛二七号帚：g2，

解得a=l,b-2,故z=l+2i,进而|z|=

34.(2017年辽宁预赛】已知复数z满足|z|=1,则h一3z-2|的最大值为.

【答案】36

32

【解析】提示：设2=。+儿,则。2+产=1.因为：|Z-3Z-2|=|(Z+1)(Z-2)|=

||(Z+1)|2|(Z-2)||,

原式=2(a+1)=2(a+1)V5-4a=J(2a+2)(2a+2)(5-4a)<

3V3,

1,.V2

当a=3,b=±〒时等号成立.

35.[2017年山东预赛】已知复数Zi,Z2满足|zi+z2\=20,0+z和=16,则|z1+z邦的最小值为________.

【答案】3520

2

【解析】提示：由解+zfI=|Z1+z2\-\zl-Z1Z2+Z2I=20x||(zf+z分-](Z1+Z2)|220x|||zf+

2

Z2|~||zi+z2l1=3520,

=

而当za+zf16,Z]+z2=20,即Z[=10+2V23i,z2=10—2V^i时，等号成立,

所以0+z列的最小值为3520.

36.(2017年四川预赛】设aGR,复数z1=a+i,z2=2a+2i,z3=3a+4i,其中i是虚数单位.若区|、\z2\,\z3\

成等比数列,则实数a的值是.

【答案】0

【解析】提示:由条件知|Z]条|z3|=区匕注意到=2%],则有Z3l=4%

即V9a2+16=4，a2+1,解得a=0.

37.(2017年甘肃预赛】设复数Z]=-3-V5i,Z2=8+i,z=gsinO+i(V^cos。+2),则z-z/+|z-Z2I

的最小值是.

【答案】2+2V3

【解析】提示：点Z】(-3,—75)4(居1),动点2:婷+。-2)2=3.

如图所示,易知点Zi，Zz在圆外.直线Z/2的方程为x-V3y=0.

且直线ZE与圆相切于点7停,》

即z=当+1使Iz-z1\+\z-z2I取得最小值2+2V3.

38.[2017年安徽预赛】设复数z满足2°i7z左=3+4。其中i是虚数单位，则z的模长|z|=___________.

Z-2017

【答案】5

一记

【解析】提示:设w=3+4i,则z=2017W-2520171V-WW2017w,故|z|=|w|=5.

W-2017w-20172017-W

39.(2017年湖南预赛】已知zGC,若关于x的方程4/-8zx+4i+3=0(i为虚数单位)有实数根,则复数z的

模|z|的最小值是.

【答案】1

【解析】提示：设z=a+bi(a,beR),x=x()是方程4/-8zx+4i+3=0的实数根.

Axl-8ax0+3=0

则4诏-8(a+bi)x0+41+3=0,进一步得

-8bx0+4=0

由方程组中的第2个方程，得霓0=/，

代入第1个方程得4­—7—8a-—+3=0,

4炉2b

即3b2—4ab+1=0,得a=3b

4b

所以忆产2222

=a+b=+b=^b+^+1>|+1=1,

»,V5

当且仅当b=±三时等号成立.

所以z的模|z|的最小值是1.

40.[2017年内蒙古预赛】设复数z=3cos6+(2sin6)i,则函数y=6-argz(0<0<的最大值为

【答案】arctan

ZsecW-

[解析】提示：因为tan(argZ)="an。,所以y=0-arctantan0),y,=1-产三一=1--?■—]——•

3\3/-tanz04-l-sm0+cosz0

99

令y'=0,解得6=arctan系

当0V6Varctan一时,y'>0;

当arcta吟<8<(V<0.

所以当8=arctan当时,y最大，且%1ax=arctany-arctany,

而tanymax=誓，所以Wax=arctan

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题55复数第二讲

1.【2016年福建预赛】已知zGC.若关于x的方程“2-22%+：+1=0«为虚数单位)有实数

4

根，则|z|的最小值为.

2.[2016年安徽预赛】化简(i+1)2016+(i-1)2016=.

3.【2016年全国】设复z、w满足|z|=3,(z+而)(z—T)=7+4i,其中，i为虚数单位，

2、W分别表示z、w的共轨复数.则(z+2而(z-2而的模为.

4.[2016年上海预赛】复数z满足|z|=1,w=3z2-捻在复平面上对应的动点W所表示

曲线的普通方程为.

5.【2016年江苏预赛】已知复数Z]、Z2满足出+Z2I=20,|z1+z却=16.则|z：+z刃的最

小值为•

6.12016高中数学联赛(第01试)】设复数z、w满足|z|=3,(z+W)(N—w)=7+4i,

其中i是虚数单位，2,刃分别表示z、w的共物复数，则(2+2W)(2—2卬)的模为

7.【2015年全国】已知复数数列｛zn｝满足zj=l,z"+i=^+l+ni(n=1,2,…)，其中，i为

虚数单位，私表示Zn的共辗复数.则Z2015的值为.

8.【2015年天津预赛】设复数2=8$景+回吟.则|备+名+总|的值为(用

数学作答).

9.【2015年四川预赛】已知复数2=衿。则|z[=»

10.【2015年安徽预赛】设2=》+必(x、yeR,i为虚数单位)，z的虚部与三的实部均

非负.则满足条件的复平面上的点集(x,y)所构成区域的面积为.

11.【2015年山东预赛】复数z满足|z|=5,且(3+4i)z为纯虚数.则z=.

12.[2015年辽宁预赛】已知复数2=。+(。€/?)在复平面内对应的点在第二象限,且

|z(l+i)l>2.则实数a的取值范围是.

13.[2015年江苏预赛】关于x的方程“2-2ax+a2-4a=0有模为3的虚数根.则实数a

的值为.

14.【2015年湖南预赛】满足使/=©+点。”为纯虚数的最小正整数n=.

15.[2015年福建预赛】在复平面内，复数Zi、Z2、Z3的对应点分别为Zi、Z2>Z3.若%|=

|z2|=V2,OZr-OZ2=0,怙1+Z2—Z3I=1,则的取值范围是.

16.[2015高中数学联赛(第01试)】已知复数数列｛z“｝满足Zi=l,zn+1=zn+l+

ni(n=l,2,…)，其中i为虚数单位，2n表示z“的共轨复数，则Z2。”的值为•

17.[2020年吉林预赛】设复数z1,Z2在复平面上对应的点分别为A、B,且田=4,42取-

2Z1Z2+Z/=0,。为坐标原点.则AO/IB的面积为（）

A.8V3B.4V3C.6V3D.12V3

18.【2019年吉林预赛】若复数z满足团<1且,+1=|,则|z|=（）

A.-B.-C.-D.-

5423

19.【2018年天津预赛】设复数z满足|z|=l,i是虚数单位，则乂2+1）+乂7-2）|的值不

可能是（）.

A.4V2B.4V3C.5V2D.5V3

20.[2017年天津预赛】设复数z满足|z-|z+1||=|z+|z-1||,则下列判断错误的是（

）

（A）z可能为纯虚数

（B）z可能为实数

（C）z的实部小于2

（D）z的辐角可能为g

4

21.【2017年黑龙江预赛】复数z=W（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（

1—1

）

（A）第一象限（B）第二彖限（C）第三象限（D）第四象限

22.【2016年四川预赛】若复数z=*+?,则z2。*（）

A.-1B.-iC.iD.1

23.【2016年辽宁预赛】设复数z满足忆|=l则甲+3z+2i|的最大值为（）

A.4V2B.3V3C.2V5D.4依

24.[2021年全国高中数学联赛A卷一试】已知复数%满足Zi=y,zn+1=亚（1+zni）（n=

1,2，…）其中i为虚数单位.求Z2021的值.

25.（2019年全国】称一个复数数列｛z"为“有趣的"，若㈤=1,且对任意正整数",均有4z^+i+

2ZnZn+i+z£=0.求最大的常数C,使得对一切有趣的数列｛Zn｝及任意正整数m,均有

%+Z24-----Fzm\>C.

26.12019高中数学联赛A卷（第01试）】称一个复数数列⑵｝为“有趣的"，若㈤=1,且

对任意正整数n,均有4zMi+2znzn+1+z^=0.求最大的常数C,使得对一切有趣的数列

｛z“｝及任意正整数m,均有0+z2-I------Fzm\>C.

27.12019高中数学联赛B卷（第01试）】设复数数列｛z“｝满足=1,且对任意正整数

n,均有4z£+]+22nzlt+1+=0.

证明:对任意正整数m,均有|Z[+Z2+•••+zm\<拳

28.12017高中数学联赛A卷(第01试)】设复数Zi，Z2满足Re(Zi)>0,Re(Z2)>0,且

Re(zf)=Re(z/)=2(其中Re⑵表示复数z的实部)

(1)求Re(z1Z2)的最小值；

(2)求。+2|+|五+2|-瓦一Z2I的最小值.

29.【2016年新疆预赛】已知复数z满足|z=1|.求a=怙2-3%+2|的最大值.

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编

专题55复数第二讲

1.【2016年福建预赛】已知zCC.若关于x的方程/-22尤+：+1=0«为虚数单位)有实数根，则同的最

小值为.

【答案】1.

【解析】

设z=