高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积笔记省公开课一等奖新名师获奖课

空间向量的数量积1/44

依据功计算,我们定义了平面向量数量积.W=|F||S|cos

类似地,我们能够定义空间向量数量积运算:这种运算非常有用,它能处理相关垂直、长度和角度等问题.一、问题情境2/441、两个向量夹角:OAB（1）两个向量夹角取值范围是:（2）（3）（4）二、知识建构3/442、两个向量数量积（1）两个向量数量积是数量，而不是向量.（2）要求:零向量与任意向量数量积等于零.注意：4/44

性质（1）是证实两向量垂直依据；性质（2）是求向量长度（模）依据；性质（3）是求向量夹角依据．3、空间两个向量数量积性质（3）空间两个非零向量夹角满足：5/44４、空间向量数量积满足运算律思索：吗？(2)对于向量，成立吗？6/44.212121zzyyxx++

5、空间向量数量积坐标表示问题2令,能够得出怎样结果?模长公式问题1

平面向量数量积能够用坐标表示，空间向量数量积能用坐标表示吗？怎样表示呢？7/44问题3若,则能得出怎样结论?向量垂直充要条件坐标表示问题4两空间向量夹角余弦值能用坐标表示吗?8/44

例1、已知空间向量满足试求:

变式向量

求:三、数学应用9/44

例2、空间四边形ABCD中,每条边和对角线长度都为1,M、N分别是AB、AD中点，计算：MN·DC．变式1

空间四边形OABC中,且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC中点，G是MN中点，求．10/44

变式２已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥AB．ABCO11/44

例3、

已知m,n是平面

内两条相交直线，直线l满足：l⊥m，l⊥n，求证：l⊥.gmn

lnlgm12/44

证实：在

内作不与m、n重合任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一有序实数对（x，y），使：

g=xm+yn,∴

l·g=xl·m+yl·n，∵l·m=0,l·n=0，∴l·g=0.∴l⊥g，∴l⊥g．这就证实了直线l垂直于平面

内任一条直线，所以l⊥．13/44解：由，可知.由，知.

例４、如图，已知线段在平面内，线段，，，，假如，求、之间距离．^ACa14/44例5已知在平行六面体中，,,求对角线长．解：15/44例6

已知、，求：（1）线段中点坐标和长度；

解：设是中点，则∴点坐标是.16/44例6

已知、，求：（3）设O为坐标原点，求面积．

17/44（2）到两点距离相等点坐标满足条件．解：点到距离相等，则化简整理，得即到两点距离相等点坐标满足条件是18/44

例7已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),求满足以下条件点D坐标:

(1)DB∥AC且DC∥AB;

(2)DBAC,DCAB且AD=BC．

变式已知A(1,-1,,7),B(3,-2,5),C(2,-3,9),求:三角形ABC各边之长和各内角大小．19/44

解：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则：

例8如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E１、F１分别是A1B1、C1D1一个四等分点，求BE1与DF1所成角余弦值．20/4421/44变式１C1B1A1D1DABCMP如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是AD中点，点P是C1B1中点，求A1P与DQ所成角余弦值．22/44所求余弦值为．23/44FEC1B1A1D1DABC变式２如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是BB1、D1B1一个中点，求证:

EF与DA1相互垂直．24/441.已知线段、在平面内，，线段，假如，求、之间距离.解：∵四、巩固练习25/442.已知空间四边形每条边和对角线长都等于，点分别是边中点．求证：．证实：因为所以同理，26/443.已知空间四边形，求证：．证实：∵27/444.如图，已知正方体，和相交于点，连结，求证：．28/44aAOP29/446.已知空间四边形每条边和对角线长都等于,点分别是中点，求以下向量数量积：30/4431/4432/44ADFCBE33/4434/4435/4436/4437/4438/4439/4416.已知三角形ABC是正三角形，PA与平面ABC垂直，求PB与AC所成角大小．40/44

5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是D1D、BD中点，G在棱CD上，且．(2)求BE与C1F所成角