高中数学第三章不等式3.5.2简单的线性规划省公开课一等奖新名师获奖课件

3.5.2简单线性规划1/321：画出不等式（组）表示平面区域：⑴y≥2x+1⑵4x-3y>9x+2y<4说明：直线定界、特殊点定域划分区域时，找好特殊点，注意不等号。y=2x+1x+2y=4o-1yx112233-2xo123-1-2-3y4x-3y=92/323x+5y≤25x-4y≤-3x≥1在该平面区域上

问题1：ｘ有没有最大(小)值？问题２：ｙ有没有最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题３：2ｘ+ｙ有没有最大(小)值？CAB3/32引例

设z=2x+y，式中变量x、y满足以下条件．求z最大值和最小值．4/32xyO1234567654321ABC

分析：不等式组表示区域是图中

ABC．z=2x+y5/32xyO1234567654321ABCl2l1求最值方法1.

截距法

在经过不等式组表示公共区域内点且平行于l0直线中，以经过点A(5，2)直线

l2

所对应截距最大故zmax=2×5+2=12，以经过点B(1，1)直线l1所对应z最小故zmin=2×1+1=3．6/32xyO1234567654321ABC思索:2x+y-z=0(z

R)可看作什么?

一组平行直线,都与直线l0：2x+y=0平行.求最值方法2.距离法

7/32xyO1234567654321ABC

作一组与直线l0平行直线(或平行移动直线l0)l：2x+y=z，z

R．

求最值方法2.距离法

8/32xyO1234567654321ABC

在经过不等式组所表示公共区域内点且平行于l直线中，以经过点A(5，2)直线l2所对应d最大，l2求最值方法2.距离法

9/32

以经过点B(1，1)直线l1所对应d最小．所以：zmax=2×5+2=12，zmin=2×1+1=3．xyO1234567654321ABCl2l1求最值方法2.距离法

10/32

在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y约束条件，因为这组约束条件都是关于x、y一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z=2x+y是欲到达最大值或最小值所包括变量x、y解析式，我们把它称为目标函数．因为z=2x+y又是关于x、y一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．线性规划相关概念：11/32线性规划概念：问题：设z=2x+y，式中变量满足以下条件： 求z最大值与最小值。

目标函数（线性目标函数）线性约束条件12/32

注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．普通地，求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．比如：我们刚才研究就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下最大值和最小值问题，即为线性规划问题．线性规划相关概念：13/32

满足线性约束条件解(x，y)叫做可行解，由全部可行解组成集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示三角形区域．其中可行解(5，2)和(1，1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题最优解．线性规划相关概念：14/32解线性规划问题基本步骤：

第一步在平面直角坐标系中画出可行域.第二步：平移直线在可行域内找出最优解所对应点(找使纵截距取得最值时点).第三步：解方程组，从而求出目标函数最大值或最小值．简记为:

画….移….求15/32

例1已知x、y满足，试求z=300x+900y最大值．经典例题：

分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时点．16/32

例1已知x、y满足，试求z=300x+900y最大值．经典例题：

解：作出可行域，见图中四边形AOBC表示平面区域．x+2y=2502x+y=300xy250150COBA17/32经典例题：

作出直线l0：300x+900y=0，即x+3y=0，将它平移至点A，显然，点A坐标是可行域中最优解，它使z=300x+900y到达最大值．易得点A(0，125)，所以zmax=300×0+900×125=112500．l0：x+3y=0xy250150COBAx+2y=2502x+y=30018/32经典例题：

变题1：在例1中，若目标函数设为z=400x+300y，约束条件不变，则z最大值在点C处取得．l0：4x+3y=0xy250150COBAx+2y=2502x+y=300

变题2：若目标函数设为z=300x+600y，约束条件不变，则z最大值?可在线段AC上任一点处取得．19/32

实际上，可行域内最优解对应点在何处，与目标函数z=ax+by(a

0，b

0)所确定直线l0：ax+by=0斜率(

)相关．就本例而言，若

=

(直线x+2y=250斜率)，则线段AC上全部点都使z取得最大值(如：z=300x+600y时)；20/32

当

<

<0时，点A处使z取得最大值(比如：例1)；当

2<

<

时，点C处使z取得最大值(比如：z=400x+300y时)，其它情况请同学们课外思索．21/32BCxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ

例2：设z＝2x－y,式中变量x、y满足以下条件求ｚ最大值和最小值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1解：作出可行域如图：当ｚ＝0时，设直线l0：2x－y＝0

当l0经过可行域上点A时，－z最小，即ｚ最大。

当l0经过可行域上点C时，－ｚ最大，即ｚ最小。由得A点坐标_____；

x－4y＝－3

3x＋5y＝25由得C点坐标_______；

x=1

3x＋5y＝25∴zmax＝2×5－2＝8zmin＝2×1－4.4＝

－2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0

，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)22/32转化转化转化三个转化图解法想一想(结论):线性约束条件可行域线性目标函数Z=Ax+By一组平行线最优解寻找平行线组

最大（小）纵截距求最值方法:1,距离法;2,截距法.23/321．（年高考（辽宁文理））设变量x,y满足则2x+3y最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．551.【答案】D【解析】画出可行域,依据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选DD24/322．（年高考（天津文））设变量满足约束条件则目标函数最小值（）

A．-5 B．-4 C．-2 D．3【解析】做出不等式对应可行域如图,由图象可知当直线经过点时,直线截距最大,而此时最小为,选B.B25/323．（年高考（浙江文））设z=x+2y,其中实数x,y满足,则z取值范围是

_______________.【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示四边形,

但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点时最大值为.[0,]26/321.求z=600x+300y最大值，使式中x，y满足约束条件．附加练习

分析：画出约束条件表示平面区域即可行域再解．xyO252100CBA3x+y=300x+2y=2522x+y=0zmax

=600×70+300×90=69000．27/322.已知x、y满足不等式组求z=3x+y最小值．附加练习分析：可先找出可行域,平行移动直线l0：3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数最小值.zmin

=1．2x+y=1xy20.5OPx+2y=2l0：3x+y=028/32

3．满足线性约束条件可行域内共有_______个整数点．4

4．设z=x

y，式中变量x，y满足求z最大值和最小值．zmax=1，zmin=

3．附加练习：29/32

(1)求z=2x+y最大值，使式中x、y

满足约束条件附加练习5小结xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0x+y-1=0x-y=0CBAO21-1-2-