医学高等数学习题解答

医学高等教学学习指南

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第一考而教、极限刍修镇习题肱解(P27)

一、判断题题解

1.正确。设h(x)=fix)+j(-x),则/?(-%)=式-式)t/U)=h(x)。故为偶函数。

2.错。y=21nx的定义域(0,+oo),)=1后的定义域(-8,0)U(0,+8)。定义域不同。

3.错。lim—―=+00o故无界。

…%2

4.错。在的点极限存在不一定连续。

5.错。lim-L=0逐渐增大。

X->+00X

6.正确。设lim/Cx)=A,当x无限趋向于孙,并在沏的邻域内，有A-£</(X)<A+£。

7.正确。反证法：设FCr)=y(x)+ga)在演)处连续，则g(x)=F(X)-J(X)9在XO处F(X),於)均

连续，从而g(x)在x=xo处也连续，与已知条件矛盾。

8.正确。是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解

I./(X)=x2,<p(x)=2\f[<p(x)]=(2^=22r(D)

2.y=x(C)

3.limxsin-=0(A)

ZX

.1

xsin—

4.lim------=0(B)

xcosx

5.vlimf(x)=lim(3x-l)=2,limf(x)=lim(3-x)=2,z.limf(x)=2w/(I)(B)

X->FXT「XT1+XT】+XT1

6.9-d>o=Wv3(£>)

7.画出图形后知：最大值是3,最小值是-10。(A)

8.设/。)=/一%—1,则/(1)=—1,/(2)=13,/(x)连续，由介质定理可知。(。)

三、填空题题解

1.0<x—1<2=>1<%<3

2.y=arctan。')是奇函数，关于原点对称。

1

工-3---O

4.1=一、5，可以写成丁=-4。

、《.6\ii・广一]r1+12

5.设工二/,x—>1,Z->1,lim-：---=lim工-------

»3―15产+/+13

jrI

6.|arctanxW—有界，lim—=0,故极限为0。

2“f20x

..%?—4.x+2

7.lim--------=lim—r----—二4

22sin(x-2)z2sin(x-2)

x—2

8.x2+ax+b=(l-x)(-x+c)=x2-(c+l)x+cnb=c,a=-(c+1)而

lim(—x+c)=5,得c=6,从而加=6,〃二一7。

A->1

I1-$inx

9.lim(l-sinx)'=lim(l-sinx)-sinA*

x^O.v^O

…..tan2x[.sin2x..sin2x5x122

10.lim---=lim------------=lim---------------------=—

x-sin5xx-^cos2x-sin5x72xsin5xcos2x55

11

11.设u=e^-l,lim-----二lim--------=---=1

“T01n(l+〃)“T°,-rIne

ln(l+〃)“

r

12.由x=0处连续定义，lim(a+x)=a=lime=1,得：a=1o

D+尤fer

四、解答题题解

1.求定义域

⑴管黑0={:器1)之0,定义域为…和户。

⑵.同一号二建黄上定义域为[一4,5]

25-X2>0——

(3)设圆柱底半径为r,高为h,则v=m2h,h=一二，则罐头筒的全面积

7ir~

S-2初2+2m7z=2|71rl+—|,其定义域为(0,+8)。

(4)经过一天细菌数为M=No+M/=No(l+r),经过两天细菌数为

M=M+N/=M(1+r)=%(1+r)?,故经过x天的细菌数为N=N()(T+r)A,其定义域为

L0,+oo)o

,|x-2|01-2-21°,|々+力一2|,

2./(x)=J~/(-2)=L—^=-4,+»=J—-1(。+"—1)。

x+1-2+1。+。+1

“3•1

3.y-e,u=v,v=smt,t=­

xo

4.证明：f[x(x+i)]=Inx(x+l)=lnx+ln(x+l)=/(x)+/(x+l)。

5.令x+1=t,则./(x+l)=/(O=糕R；:mf2["1)2,l<t<2

[2(r-l),2<t<3

[(1)2,l<x<2

所以:/(x)=

[2(x-l),2<x<3

6.求函数的极限

(1)原式=lim上乂2=&。

1-1/3

后..3—(l+x+x~)..(1—x)(2+x)..2+x

(3)原式=lrim-------——-=lim---------=lim----------

—1-x(1-x)(l+x+x/)-1+x+x，7

(4)原式=lim=3o

s工v1.2sin2xsinx...sin2xsinx.……沁c一々、工…-、

(5)原式=hm----------=lim4-----------=4。(P289常见二角公式提不)

ktOx22xx

arcsinxarctanx

(6)原式=-lim令arcr台力，则s,

2xx

arcsinx

lim=lim----=1

xsin/

人—..arctanx.t..t,1

令arctanx=/,则tan，=x,lim-------=ltim-----=lim-----cost=1,原式=一。

x->oxtant，T°sin/2

A.=lim(l+3tan2=lim(l+3tan2x)3tan

⑺|3tan2x

x->0.v^O

2x+lA2

222

(8)原式=lim1+=lim1+•liml1+—

2x+l.r—x»l2x+l2x+l

/日Y

匹,,[.xsinxcsinx?]

⑼原式二lim------；~----=21rim--------^―=1o

2>()xVl+xsinx+1

D2sin—(Jl+xsinx+1)'sin-

2I27

ea(el-1)〃

(10)令，=x-a,则％=〃+，，原式=lim--------=e(填空题11)。

1—X)t

Iaa.7TV3,

r。_1.兀2

7.S、=-ci,6fsin—=——ciS2-------sin-=—ra~

12322222---324

°\aa.7iA/3

3a=----77Sin——二——C2T,…，

322222326

S=&2(；+/+…+/)=W2f*/(〃f8)

1---

4

8.指出下列各题的无穷大量和无穷小量

(1)lims-x=0,为无穷小量。

X1+cosx

arctanx

⑵lim=0,为无穷小量。

XT81+x2

(3)lime"・sinx=0,为无穷小量。

X+]

(4)lim------=oo,为无穷大量。

zsinx

9.比较下列无穷小量的阶

1_Y11-r1

lim—,lim------------=1,当x-1时，IT与IT3是同阶无穷小。IT与一(1—Y)

Ji-13fl”“2、2

2(1)

是等阶无穷小。

X2—1

10.当X-0时，f是无穷小量，当X-8时，X2是无穷大量；当Xf±l时，一L是无穷小

x

X2—1

量，当X-0时，——「是无穷大量；当Xf+8时，e-是无穷小量，当冗->一8时，©r是无穷

X

大量。

11.Ay=/(3)-/(I)=(2-32+1)-(2-I2+1)=19-3=16o

X

12.lim^--1,limfxsin—+Z7|=bf/(0)=a+2=l,:.a=-\

xMXx)

13.lim%*—=(lim[l+(x-l)]n[=e2,limf(x)=/(I),e2=ekk=2

%->】IX->1LJXT1

14.设/(x)=e*-2,/(0)=-l<0,f(2)=e2-2>0,由介值定理推论知：在(0,2)

上至少存在一点xo使得/(玉))=0,即e"—2=0。

15.设/(x)=asinx+〃一x,它在[0,。+夕上连续，且/(0)=方>0,/(a+Z?)=a[sin(a+/?)-1]<0,

若/(a+b)=O,则q+b就是方程/(x)=0的根。若/(。+与＜0,由介值定理推论知：至少存在

一点云(0,a+8),使得了(9=0,即J是./Xx)=O的根。综上所述，方程x=asinx+〃至少且

个正根，并且它不超过“+瓦

,小2626..26”

16.(1)w(0)=-=—(g);(2)wmax=lim--------37=26(g);

l+30e31^*°l+30e5

(3)—=―"F=/=”30,5(周)。

21+30”'2

17.设F(x)=/(x)-g(x),则尸(x)在［a用上连续,F(a)=/(a)-g(d)>0,F(b)=f(b)-g(b)<0,

由介值定理推论知：至少存在一点型(a,h),使得F©=0。即/©-g©=0=>/G)=g©。

所以y=f(x)与y=g(x)在3力)内至少有一个交点。

第二章一石留谢1微分孽习巡巡解(P66)

一、判断题题解

1,正确。设y=^W,则limAy=lim.Ar]=(lim”](limAx)=y'•()=0。

J&D,2()(AxJ3.OAXJAD

2.正确。反证法。假设E(x)=/(x)+g(x)在xo点可导，则g(x)=F(x)—/(x)在沏点

也可导，与题设矛盾。故命题成立。，

3.错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点孙

4.错。如图。

5.错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。

6.错。不满足拉格朗日中值的结论。

7.错。设/(x)=x,g(x)=l,则：F(x)=/(x)/

X

显然/(x)在X二0点的导数为1,g(x)在x=0点的导数不存在，而尸(x)在工=0点的导数为0。

是可导的。

8.错。设y=d和)，=盯，显然它们在(-co,+8)上是单调增函数，但在x=0点y的导数

为0,y=我的导数不存在。

二、选择题题解

1.设切点坐标为(%,%),则切线的斜率女=y[=2x),切线方程为：了-为过

(0,-1)得1+%=2h，又有为=片，解方程组?+2汇得：%=1,/=±1,切线方程为：

、%=/

y=±2x-lo(A)

2.可导一定连续。(O

3.连续但不可导。(0

4.因为《6(々,%1)^(。,历。(B)

5.y]=^,y2=\[x,在x=0处导数不存在，但yi在x=0处切线不存在，R在x=0处切线

存在。(D).

,..sin(O+Ax)-0..sinAx,(0+Ax)-0,/

6./''(0)=1101--------=hm-----=1,/；(0)=hm--------=1可导。(C)

以句Ax以劣Ax以劣Ax

7.f'(x)=5x4,f'(ex)=5e4\(A)

(0+Ax)2sin—--0.

8.lim----------—=limAxsin—=0,(B)

-Ax-Ax

三、填空题题解

1.,r(-2)=­4====-7=»

N2g——k2|必百2V3

2.(cscx)'=-cscxcotx

「•/vi，/、，/、/，、i，，”。$(孙)一1

3.[sin(xy)]v=(x+y)Y=>COS(A)0\y+xy)=l+y,y=----------

l-xcos(孙)

4.d(冽,)=*,<0$/.2址。

5./*(%)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3),当一2<x<3时,f'(x)<0,单调调减小。

山>=4Mf(x)-Ing(x)]n2•

6.

2y,2(/(x)g(x〃，27^(%)l/W

52r*)=|j—|小=击位—叫当x=g时,

7.f(x)=x3—x3/(x)由减变增,

取得极小值。

dvdx11

8.—=lt+ex,—=—=----

dxdydyl+ex

dx

四、解答题题解

10(l+A0-1^(l+Ar)2j-l10-1^

1.Sz(l)=lim=则110——"加)=1°一g

A/->0△t

（0+Ar）sin-------0.

2.（l）lim---------旺至一二limsin」-不存在，/（x）在x=0不可导。

Ax->0ArAx->0zkr

（0+Ax）2sin^----0/］、

（2）lim----------吐至一=UrnAx-sin—=0,/（x）在x=0可导，且

Ar—oA%AITO<AV）

r（o）=0o

°（O+Axf-Or1=丁匕

3.lim-----------=lim——二=oo不可导。

Ar->0NT。A%一。

4-1）

4.过（1,1）与（2,4）两点的割线斜率为*=—=3,抛物线y=V过*点的切线斜率为

2—1

30A39、

/=2x,故2x=3,得x=—,y=一,二,一即为所求点。

*24<24；

2

5.过（%,%）点作抛物线y=—的切线，设切点为（X,/）,应满足上二凶=2x方程，若

X-Xf,

方程有两个不等的实根X,则说明过（％,%）点可作抛物线的两条切线。整理方程得：

2

x-2xox+yo=0,当A=4$-4%>0时，方程有两个不等的实根。也就是要满足为<工；即

可。

6.求下列函数的导数。

(1)yf=(%〃+axy=nxn~l+优Ina

⑵y=(x+lnx+5),=1+—

x

⑶yf=(x"sinx+cosx+x)'=sinx+x"cosx-sinx+1

,tanx、,x2sec2x-2xtanx112tanx1

z--------------|

(4)y=(——+arctanx)+

x%41+7x2cos2xx3---l+x2

(5)yr=(—sin2x-lnx/=cos2xlnx+'诂、'

22x

",\secxi/、、(1+x)secxtanx-secx

(6)广卷+皿+〃)卜』)2-

7.求下列函数的导数。

(1)y=n(l+炉)1.(1+£)'=〃(1+xny-]•卅-1=n2xn-](1+/严

(2)/=(x2)'tan3x+x2(tan3x)r=2xtan3x+3x2sec23x

(3)y，=[Insinx-ln(l+x2)]r-——=cotx——

sinx1+xl+x-

,=[ln(2x+l)匚1(2x+l)；2

ln(2x+l)ln(2x+l)2x+l(2x+l)ln(2x+l)

,nni八.、】，cosxcosx2cosx个

(5)y-[ln(l+sinx)-In(l-smx)]----------+-----------=———=2secx

l+sinx1-sinxcos-x

(6)

，[i2/13Jci3\nn3、[，ci“3'(In、)’3、3(ln2_r)(inx)'.31n2x61n(ln3x)

y=lln(Inx)\=21n(nlnx)[ln(lnx)J=21n(lnx)—；-=21nn(lnx)--------；--------=21n(ln3x)———=-------------

InxInxxlnxxlnx

iff，需货"

9.求下列函数的导数。

(1)Iny=sinxlnx,—y=cosxlnxd--------,y=xcosxlnx+--------

VxI%

Iny=g[in2+ln(x+1)+ln(x+3)-Insin2x]

⑵

11+12cos2x।

y2(x+lx+3sin2x)

y=il2(.n)(^3)O+^_2cot2^=kx+l)(x+3)Q+^_2cot2%

2vsin2x(x+1x+3)V2sin2x\x+lx+3

ix-i(Iny)y

(3)]ny=x,Ininj=xlnx,——-=lnx+l,—=ln)?(lnx+1)

Inyy

y'=ylny(lnx+l),y'=/・三(111工+1)

y,xi

(4)Iny=xlna月,—=lnarctanx+------------------

yarctanxl+x

/、

x

y=(arctanx)vln(ai*ctanx)H--------------------

、(1+厂)arctanx,

10.求下列函数的〃阶导数。

(1)(=5、y'=5*ln5,/=5xln25,严=5、In”5

(2)y=acQsbx,y=-absinhx=abcodbx-\--

I2j

yn=-ab2sin^/?x+yj=ab1cos(0x+/+/)

n

y,n=-ab3sin(/?x+^)=ab3cosfZ7x+-|,;，'”=abcosfbx+n・—|

(3)y=In%,=—=x-11,<=--，叶=2/，…，严=(-1产-(〃-1)!广

X

11.求下列隐函数的导数。

2

(1)(/+>3-3。孙)；=0,3j?+3y2y3a(y+R)=0,y'=

ax-y

/、，/、/八i「ycos(xy)-l

(2)同填空题3。[sin(xy)]；:二Q+y)r=>cosQy)・(y+“)=l+y,y=;。

1一NCOS(孙)

xyfxyxyf

(3)(y+xeSx=(cosy)xny'+e+xeXy+xy)=_siny・y'n.

i2)

；「)+.,.l-y+xy-

(4)[arctan(q)+y]'x=(x)ny-iny-12i

1+(孙)l+x+xy

12.求下列函数的微分。

(1)dy=d(esinx)=esinjJ(sinx)=esinxcosxdx

d-)_e2xd(2x)_2e2xdx

⑵dy="(arcsine")

yll-(e2x)2~Jl-e”，~yl\-e4x

⑶

(

dy=J[sin(x+arccosx)]=cos(x+arccosx)J(x+arccosx)=cos(x+arccosix)1-dx

yll-x~>

?2arctanx

(4)dy=J(e2arc,anr)=/arc-z(2arctanx)=e2arcanxdx=—~—dx

I+X1+X

13.求石、sin3r近似值。

2

⑴设/(x)=4x,则f\x)=—,取x0=2.2=4.84,Ar=0.16,则

2y1x

r(%)=1=0.227

/(曲)=J4.84=2.2故

°27484

45=/(/+Ar)»/(x0)+/'(%)Ar=2.2+0.227x0.16=2.2

7TA[o冗

⑵设f(x)=sinx,则ff(x)=cOK,取x=30°=—Ax=1=—则

06180

r(Xo)=cos300=#

/(Xo)=sin3O。=g故

In

sin31°=/(x0+Ax)»/(%())+=-+—x=0.515

22lot)

14.证明下列不等式。

(1)设/(x)=x-tanx,则/'(x)=l-sec2x=-tan2x«o,/(x)在上单调递减。当

一；K0>寸，/(x)>/(0),即工〉tnx,当xe°，3时，/(X)</(0),即工<tnx,当x=0

XE,

【2

乃n

时，/(x)=/(O),即工=1加工，综上所述，当二£时，网4忖1^。

\22；

x1

(2)设/(x)=----ln(l+x)=l-----+ln(l+x),当x>0

1+x1+x

11—YY

时,r(x)=-~~2--—="、2<0，有/(x)</(o)，即六<ln(l+x)；设/(x)=x-ln(l+x),

(1+x)-1+x(1+x)-]+x

1Y

当x>0时，f'Cx)=l----=一>0,有/(x)>f(0),即x>ln(l+x)：综上所述，当x>0时，

1+x1+x

x

有----<ln(l+x)<xo

1+x

⑶设/⑴=e'-l—x,则r(x)=e=1,当x>0时，(。)〉0,有/(x)>/(0),即

ex-l-x>0；当工<0B寸，/'(x)<0,有/(打>/(0),即e*—lr>0；综上所述

e'>1+工(]。0)。

15.求下列函数的极限。

-5sin5x

In(cos5x)一「eq35T.5sin5x2xcos2x25

(1)lim-------=lime=-hm------------------------

xf。ln(cos2x)io-2sin2x2工"25xsin2xcos5x4

cos2x

(2)

1必吐宴w

limxpIn"尤=lim——1m

Pp2P

x->0+XTO+X~x->o+-px―0+(-p)X

lim蚓T)…("〃+1加‘七=。

3,(-pYx'P

（分子和分母分别求n阶导数，使〃>q)

limsinA-Inx

⑶limxsinv=lim***=夕"+=।

1

..Inxsin2x..2sinxcosx八

limsinxlnx=lim---=lim——-——=lim--------=lim------------------=0

+

xW1XT。'-COSXX->0XCOSXcosx—xsinx

sinxsin2x

_L叱.也liml-L

(4)limx}~x=lime]~x=e^i{~x=ex^x(-1)=^-1

X->1X->1

xcosx-sinx

lim

2

XTO2xsinx

xcosx-sinx..cosx-xsinx-cosx-sinx

limlim-----------------7--------lim

x->02x2sinx•x4xsinx+2xcosxx4sinx+2xcosx

-cosx

lim

e4cosx+2(cosx-xsinx)6

1IncoixInCO*

lim-------------

1,1AInx0XTO+cotx—^v->0+sinVCOSV--]

(6)lim(cotx)mx=Umee

x->0+10-

16.证明下列不等式。

(1)令/(x)=sinx-x,因为fr(x)=cosx-l<0(x<0),所以当x<0时段)\,凡以次0)=0=>

sinx>x;

令g(x)=sinx-x+f/6,则:/(X)=COSX-1+X2/2,g〃(x)=-sinx+x,gf,,(x)=-cosx+l>0(x<0),

有g'G)/

ng"。)<g"(0)=0ng'(x)、，g'a)>g'(O)=O=>ga)/=>ga)<g(0)=0=>Sinx<x-x3/6o综上所述：

x<sim<r-x3/6

⑵令/（》）=/+（17）匕於）在［o』］连续且的）于⑴=i,1a）=p3M-（1一尸］，令〃a）二o得

x=l/2为驻点。

f〃(犬)=〃(p-l)W-2+(1_工广2]>0,有极小值

/，/，

=>^r<X+(l-X)<1

17.确定下列函数的单调区间。

(1)y=x3-6x,定义域(-8,+8),y'=3x2-6=3(x2-2),令y'=0,解得x=±J^,增减

性如下表:

(V2,+00)

X(-00-V2)-V2(-72,72)V2

y'+0一0+

y/X/

(2)y=x+sinx,定义域(-oo,+oo),/=1+cosx>0,令y'=0,解得

112

(3)y=x+-,定义域(—8,0)U(0,+8),/=1--,y=—,令y=0,解得x=±l,

xxx'

/(-I)=-2<0有极大值X-l)=-2,/(I)=2>0有极小值y(l)=2。

19.求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。

(1)/(%)=丁5-4元是上的连续函数，/'(X)=［<0减函数且无驻点,但有

V5-4x

一个不可导点X=：>1,它不在［7,1］上，故7max(T)=3,7mhi⑴=1。

4

(2)/(X)=|X2-3X+2|是［-10,10］上的连续函数，此函数可用分段函数表示

，-3x+2),l<x<2-2x+3,l<x<23

=<f\x)=,令/。)=0,得:X~2r

/w?-3x+2,其它2/一3,x〈l或工>2

/(l)=/(2)=0./(-10)=132,40)=72,比较得：/max=132,加=0。

M,x<2

⑶f(x)=2是［-5,5］上的连续函数，此函数可用分段函数表示/(x)

,x>2

吃无驻点。"27,",比

分段点为x=2,分2)=1,f\x)=<

较得：加=128,源=1。

20.y=ax'+bx1,y'=3ax2+2bx,y"-6ax+2h,因为(1,3)为曲线的拐点，所以有

j6a+2b=0J,b9

,解之得:

人=322

x—1，-x2+2x+1”2(x+1)(x2-4x+l)人”八以成j

2Ly=77Ty二(41)2,》=一命而一‘令,二°,解传％=T,

—1iV3

x=2+43

2i弘=T>23=—4可验证

([V\(_[+加

(-1,-1),2-V3,———,2+V3,———是曲线的三个拐点。下面论证此三点在一条

I4)[4}

直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。

-1-V3,3-73-1+V3,3+73

)_%一必_4_4_1,葭_%f_4_4」，

々-X12-,y/3+13-V34~Xj-X|2+V3+13+V34

k1=k2得证。

ktkrkrf

22.w-^-bew=w0(l+/?),w=/(l?)两端对t求导数：w+b(-ke~w+e~w)=0

1+be

ktkt

bke~w_bkwQ(l-vb)e~

l+be*-(1+尻一”2

23.将r看作常数，两端对f求导数，得：—=^--,

dt2初dt

包=4为7x0.02x2xQi=8x103(cffl2/min)«

24.(1)求出现浓度最大值的时刻：C(f)=i22(^-01f!,-e-,),C,(Z)=122(—().18e《⑶+e-'),

令C'(f)=O,解得唯一驻点£=二1n0」8C"Q)=122(0.182/⑶一/),

0.82

-In0.18-In0.18

,,-ln0.18-0.18x

)=122(0.18^0.820。・82)

0.82

、—In0.18—In0.18、——

=122(0.182e41-e41)=122(0.182x0.1841-0.1841)=122(0.1841-0.184l)<0有极大

值。也为最大值。

_innio

(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令C"(f)=0,解得唯一驻点f=^—。

0.41

-InO18,如8*小处-心理

C"Q)=122(—O.lgZRW+e-'),C"(—^)=122(-0.18%。,力+e0-41)=

吗nO.I8181no.18

122(〃-0.183)

10018100141

=122(0.18万-0.183,0.1声)=122(0.18万-0.18否>0有极小值。也为最小值。

341.5

25.求卬'何时达最大值。Inw-ln(34l.5-w)=k(t-l.66)w=]_-|_-g-K…(1.(二X>—_»八)…①,

1_1L-

—­wz--------------w=k=>w=---------(341.5vv—w2)…②，

卬341.5-vv341.5

wn=--—(341.5vv'—2w・w')=--—(341.5—2w)wr,令w"=0,得：

1

，八345

w=0,w=-------o

2

由H/=On(341.5—vv)w=0,而vvw0nvv=341.5,由①得=0无解。

由卬=网q=*小=1

得：t=\.66是唯一驻点。

2

-_—1_3］在向―2(yr')?-2vv•"

34153415

当f=1.66时，卬=三工w'=^±±k,"=0,”<0有极大值。也为最大值。

24

26.讨论下列函数的凹凸性和拐点

a(备宕a(合田)

X-73正

n

y+0-04-

拐点拐点

y凹凸凹

3/43/4

_2a-/)

(a2+x2)3

a3

/=0,得x=±y=—,列表讨论。

为’.4

(2)y=x+sinx,定义域(一oo,+8),/=l+cosx,y"二一sinx，令y"=0，得

x—kjr,(k—0,±1,±2,…)，当

xG((2火一1)肛2左乃)时,y">0,曲线是凹的。当xwQki,Qk+1)1)时,y"<0,曲线是凸的。

拐点为：(4万,4万)。

27.讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。

(1)y=e~x,定义域(-8,+oo),是偶函数，lim=0,有水平渐进线y=0,/=-2xe~x2,

XTOO

7=-2[e~x2+xe*(-2x)]=