2024年中考数学总复习：分式与二次根式-知识讲解（提高）

2024年中考数学总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质

1．分式

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

（M为不等于零的整式）.

3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

（4）分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A=0时，分式的值为零．考点二、分式的运算

1．基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．

2．零指数.

3．负整数指数

4．分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．

5．约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．

6．通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．

(3)确定最简公分母的方法：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.

要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式进行裂项.(4)分组运算法:当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题

(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；

(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．

要点诠释：

解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审——仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列——根据等量关系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)验——检验增根；

(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，

，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互为有理化因式；（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义 1．若分式的值为0，则x的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得﹣1=0，x+1≠0，由﹣1=0，得x=﹣1或x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴x=1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三：【变式1】如果分式的值为0，则x的值应为.【答案】由分式的值为零的条件得3x2-27=0且x-3≠0，

由3x2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，

∴x=-3或x=3，

由x-3≠0，得x≠3．

综上，得x=-3，分式的值为0．故答案为：-3．【变式2】若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是．【答案】若分式不论x取何实数总有意义，则分母≠0，设，当△＜0即可，.答案m＞1.类型二、分式的性质2．已知求的值.【答案与解析】设,所以所以所以即或当,所求代数式,当,所求代数式.即所求代数式等于或.【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解.举一反三：【变式】已知求的值.【答案】因为各式可加得所以，所以类型三、分式的运算3．已知且,求的值.【答案与解析】因为,所以原等式两边同时乘以,得:即所以所以【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知且,求的值.【答案】由已知得所以即,所以,同理所以.【变式2】已知x＋y=－4，xy=－12，求的值．【答案】原式=将x＋y＝－4，xy＝－12代入上式，∴原式类型四、分式方程及应用4．a何值时,关于x的方程会产生增根?【答案与解析】方程两边都乘以,得整理得.当a=1时,方程无解.当时,.如果方程有增根,那么,即或.当时,,所以;当时,,所以a=6.所以当或a=6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是或，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出其根，然后求a的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得：解得x＝80，经检验x＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得解得：y≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（）A． B． C． D．【答案】设走路线一时的平均速度为x千米/小时，故选A．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子有意义，则a的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x的范围．类型六、二次根式的运算7．已知m是的小数部分．（1）求m2+2m+1的值；（2）求的值．【答案与解析】解：依题意得，则（1）原式=（m+1）2=2；（2）原式=||=|﹣1﹣（）|=2．【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键．举一反三：【变式】计算：．【答案与解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．分式有意义的条件是（）A．x≠2B.x≠1C.x≠1或x≠2D.x≠1且x≠23．使分式等于0的x的值是（）A.2B.-2C.±2D.不存在4．计算的结果是（）5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A． B． C． D．6．化简甲，乙两同学的解法如下：

甲：=

乙：=

对他们的解法，正确的判断是（）

A．甲、乙的解法都正确B．甲的解法正确，乙的解法不正确

C．乙的解法正确，甲的解法不正确D．甲、乙的解法都不正确

二、填空题7．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b）的值为_______________.8．若m=，则的值是.9.下列各式：①；②；③；④其中正确的是（填序号）.10．当x=__________时，分式的值为0.11．（1）若，则的值为.（2）若则的值为.12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣1②==﹣③==﹣…回答下列问题：（1）化简：=；（n为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++=．三、解答题13．（1）已知,求的值.（2）已知和,求的值.14.设a=，b=2，c=．（1）当a有意义时，求x的取值范围．（2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？16.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：（四）；（1）请用不同的方法化简①参照（三）式得=；②参照（四）式得=；（2）化简【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C．2.【答案】D；【解析】分式有意义，则且.3.【答案】D；【解析】令得，而当时，，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D；【解析】本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为故选D.5.【答案】A；【解析】设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得．故选A．6.【答案】A；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为了.二、填空题7．【答案】；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.8．【答案】0；【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m=+1，以及是解决问题的关键．∵m==+1，

∴，故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，；②无意义.10．【答案】3；【解析】由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.11．【答案】（1）2；（2）；【解析】（1）由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；.（2）+++…++=…+=.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为，所以用除所求分式的分子、分母.原式.（2）由和,提,所以14.【答案与解析】解：（1）∵a有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a2+c2=b2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b∴存在两种情况，①当a2+b2=c2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b2+c2=a2，即4+6=8﹣x，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，根据题意，得，解之得，x=20,经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000,解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000（元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1）①②（2）.中考总复习：勾股定理及其逆定理(基础)巩固练习【巩固练习】一、选择题1.直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，则这个三角形的锐角是（）.

A．15°B．30°C．45°D．75°2．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）.

A．90°B．60°C．45°D．30°

3.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）.A．B．C．D．

4．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下，其中不是直角三角形的是（）.

A.1:1:2B.1:3:4C.9:25:36D.25:144:169

5.（2014•岑溪市一模）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为（）A． B． C． D．6.若△ABC的三边a、b、c满足a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（）.

A．338B．24C．26D．30二、填空题7.（2011贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________．

8.已知直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x=______________.9.（2015春•淮北期末）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是cm2．10.在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要__________分的时间．11.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：

）

12.若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；

②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；

④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形.

其中所有正确结论的序号为_____.三、解答题13.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.

14.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.（1）求A、C两点之间的距离.（2）确定目的地C在营地A的什么方向.

15.已知：如图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

16.（2015秋•德州校级月考）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC=1km，BD=3km，且CD=3km．（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由．（2）求出（1）中的最短路程．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C.【解析】由题意：，所以所以从而a=b,该三角形是等腰直角三角形，所以锐角为45°.2．【答案】C.【解析】连接AC，计算AC=BC=,AB=,满足勾股定理，△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.3．【答案】D.【解析】可证明△BDE是直角三角形，DE=4，BE=8，=.4．【答案】C.【解析】开方后看哪一组数满足勾股定理即可.5．【答案】B.【解析】矩形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在直角△ABC中，AC==5，设BE=x，则EF=BE=x．在直角△EFC中，CF=AC﹣AF=2，EC=4﹣x．根据勾股定理可得：EF2+CF2=CE2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=1.5．△CEF的面积=×1.5×2=1.5，矩形纸片ABCD的面积=4×3=12，△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为1.5：12=．故选：B．6．【答案】D.【解析】由a＋b＋c十338＝10a＋24b＋26c得（a－5）+(b－12)+(c－13)=0.二．填空题7．【答案】6.【解析】因为∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，所以AB=10cm.根据翻折的性质可知：，则,设，则AD=8－x,在直角△中，应用勾股定理：，解得：x=3.则S.8．【答案】5或.由于不知道4与x的大小关系，所以两者都有可能作斜边。

①当x为三角形的斜边时，有，所以x=5；

②当4为三角形的斜边时，有，所以x=（舍负）.

综上所述，x为5或.9．【答案】147.【解析】∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．10．【答案】12.11.【答案】2.【解析】提示：将吸管从指定地方插入，一直到包装盒的左前下角或左后下角，此时为吸管深入的最大距离，两次使用勾股定理可得：h=13-11=2cm）．12．【答案】②③．【解析】由已知三边，根据勾股定理得出a2+b2=c2，然后根据三角形三边关系即任意一边长大于其他二边的差，小于其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．三.综合题13．【解析】延长AD、BC交于E．

∵∠A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°,

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2－AB2=82－42=48，BE==,

∵DE2=CE2－CD2=42－22=12，∴DE==,

∴S四边形ABCD=S△ABE－S△CDE=AB·BE－CD·DE=.14．【解析】（1）过点B作BE//AD，

∴∠DAB=∠ABE=60°，

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形，

由已知可得：BC=500m，AB=，

由勾股定理可得：，

所以；

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m，

∴∠CAB=30°，

∵∠DAB=60°，

∴∠DAC=30°，

即点C在点A的北偏东30°的方向.15．【解析】设CE=x，则DE=8－x，

由条件知：ΔAEF≌ΔAED，∴AF=AD=10，EF=DE=8－x，

在ΔABF中，BF2=AF2－AB2=102－82=62，

∴BF=6，∴FC=4，

在RtΔEFC中：EF2=CE2+CF2，∴(8－x)2=x2+42，

即64－16x+x2=16+x2，∴16x=48，x=3，

答：EC的长为3cm.16.【解析】解：（1）如图；（2）由作图可得最短路程为A′B的距离，过A′作A′F⊥BD的延长线于F，则DF=A′C=AC=1km，A′F=CD=3km，BF=1+3=4km，根据勾股定理可得，A′B=5km．中考总复习：勾股定理及其逆定理(提高)巩固练习【巩固练习】一、选择题中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．（2014春•河西区期末）在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且，试判断△AEF是否是直角三角形？试说明理由．【思路点拨】首先设正方形的边长为4a，则CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．根据勾股定理可求出AF，AE和EF的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理，△AEF为直角三角形，否则不是直角三角形．【答案与解析】解：设正方形的边长为4a，∵E是BC的中点，，∴CF=a，DF=3a，CE=BE=2a．由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=16a2+9a2=25a2，EF2=CE2+CF2=4a2+a2=5a2，AE2=AB2+BE2=16a2+4a2=20a2，∴AF2=EF2+AE2，∴△AEF为直角三角形．【总结升华】勾股定理的应用．在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值．这样解题时用到的都是数字，表达方便．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：

∵AC=10，BC=8，

∴AB=6，

图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）.

【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，∴DF=CB=1，BF=2+2=4，

∴BD=．故选B．【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面周长为6cm，∴AC′=3cm．∵PC′=BC′，∴PC′=×6=4cm．在Rt△ACP中，AP2=AC′2+CP2，∴AP==5．故选：B．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝，∴S扇形ABD＝,又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为().A.3B.4C.5D.6【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，

∴BC=8，

∵△AEF是△AEB翻折而成，

∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，

∴CE=8-3=5，

在Rt△CEF中，CF=，

设AB=x，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，

故选D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）.A．4.5 B．5C．5.5 D．6【答案】B．【高清课堂：勾股定理及其逆定理例9】5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝12－x，利用勾股定理得出DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，即可求出x的值．【答案与解析】假设AE＝x，可得EC＝12－x，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，∴AC＝12米，∵正方形DEFH的边长为2米，即DE＝2米，∴DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x）2，AE2＋BC2＝x2＋36，∵DC2＝AE2＋BC2，∴4＋（12－x）2＝x2＋36，解得：x＝．故答案为：．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．【高清课堂：勾股定理及其逆定理例4】6.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，如图1；二是延长BC至点D，使CD＝4，则BD＝AB＝10，得等腰三角形ABD，如图2；三是作斜边AB的中垂线交BC的延长线于点D，则DA＝DB，得等腰三角形ABD，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m）．（2）如图2，因为BC＝6m，CD＝4m，所以BD＝AB＝10m，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝4，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为4＋10＋10＝20＋4．（3）如图3，设△ABD中DA＝DB，再设CD＝xm，则DA＝(x＋6)m，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋6)2，解得x＝∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x＋6)＝（m）．【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m，BC=25m，请求出这块花圃的面积．【答案】作CD⊥AB．

∵∠A=30°，

∴CD=AC=×40=20（m），

AD=（m），

BD=15（m）．

（1）当∠ACB为钝角时，AB=AD+BD=+15，

∴S△ABC=AB•CD=（+15）×20=（200+150）（m2）．

（2）当∠ACB为锐角时，AB=AD-BD=20-15．

∴S△ABC=AB•CD=AB•CD=(20-15)×20=（200-150）（m2）．1．（2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点C放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）.A.3cmB.6cmC.3cmD.6cm

2．在△中，若，则△是（）.

.锐角三角形.钝角三角形.等腰三角形.直角三角形3.如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）.

A.B.C.D.3

4.如图，分别以直角的三边为直径向外作半圆．设直线左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积和为，则（）.

A．B．C．D．无法确定5.（2014春•临沭县期中）如图，是一长、宽都是3cm，高BC=9cm的长方体纸箱，BC上有一点P，PC=BC，一只蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是（）A．6cm B．3cm C．10cm D．12cm6.（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）.A.90B．100C．110D．121二、填空题7.如图，在由12个边长都为1且有一个锐角是60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长________．

8.如图，已知点F的坐标为(3，0)，点A、B分别是某函数图象与x轴，y轴的交点，点P是此图像上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5－x(0≤x≤5),则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；④OB=3中，正确结论的序号是______________.

9.（2014•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是cm．10.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于_________________.11．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…

列举：13、b、c，猜想：132=b+c；

请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=_____,c=________.12.如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为________________．三、解答题13.作长为、、的线段.14.如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长;

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

15.（2014春•朝阳区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，分别以AB、BC、AC为边作正方形ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，求PQ的长？16．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________.．（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？

问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．【答案与解析】一．选择题1.【答案】D.【解析】过点A作AH垂直于纸带边沿于点H，

在直角△AHC中，∵AH=3，∠ACH=30°，

∴AC=2AH=6,

再在等腰直角△ABC中，∵AC=6,∠B=45°，

∴AB=.

故选D.2．【答案】D.【解析】因为=4，所以，

，由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形,答案选D.3．【答案】C．【解析】如图，过D点作DE⊥BC于E,则DE=AB，AD=BE,EC=BC－BE=3

在Rt△CDE中，DE=,

延长AB至F，使AB=BF，连接DF，交BC于P点，连接AP，

这时候PA+PD取最小值，

∵AD∥BC，B是AF中点，

∴

在Rt△ABP中，AP=

∵

∴=,故选C.4．【答案】A.【解析】圆的面积为，设三条边长为a,b,c,分别表示三块阴影部分面积，用勾股定理即可.5．【答案】A．【解析】（1）如图1，AD=3cm，DP=3+6=9cm，在Rt△ADP中，AP==3cm；（2）如图2，AC=6cm，CP=3+3=6cm，Rt△ADP中，AP==6cm．综上，蚂蚁从点A出发沿纸箱表面爬行到点P的最短距离是6cm．故选A．6．【答案】C.二．填空题7．【答案】2，，，4，.【解析】如下图，可能的直角三角形斜边长有2，，，4，.

8．【答案】①；②；③.【解析】令x=0得到d=5,此时点P与点B重合，BF=5，由勾股定理的OB=4.令x=5得到d=2,此时点P与点A重合，可得AO=5，AF=2.9．【答案】.【解析】如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，由翻折的性质得，BC=B′C=10cm，在Rt△B′DC中，B′D===8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=2cm，设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，在Rt△BEF中，EF===cm．故答案为：．10．【答案】27+13．【解析】在直角