山西省临汾市宏昌国际学校高三数学理下学期摸底试题含解析

山西省临汾市宏昌国际学校高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是（

）A

B

C

D参考答案：C2.给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为．其中真命题是A．①② B．①③ C．②③ D．②参考答案：C3.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的 （

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.已知函数，若，f(x)的图象恒在直线y=3的上方，则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：C的图象恒在直线的上方,即恒成立，当k=0时，的取值范围是.故答案为：C.

5.若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关参考答案：B试题分析：因为最值在f(0)=b，f(1)=1+a+b，中取，所以最值之差一定与b无关，选B.【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．6.已知各项为正的等比数列满足·=，=1，则=（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：A略7.已知全集，集合，，则等于

(A).

(B).

(C).

(D).参考答案：C8.已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f（a1）+f（a3）+f（a5）的值(

)A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负参考答案：A【考点】等差数列的性质；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，知a1+a5＞0，所以f（a1）+f（a5）＞0，f（a3）＞0，由此知f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，∴取任何x2＞x1，总有f（x2）＞f（x1），∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，∴当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．∵数列{an}是等差数列，a1+a5=2a3，a3＞0，∴a1+a5＞0，则f（a1）+f（a5）＞0，∵f（a3）＞0，∴f（a1）+f（a3）+f（a5）恒为正数．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．9.已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：B略10.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D【考点】正弦函数的图象．【分析】由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则以球心O为顶点，以球O被平面ACD1所截得的圆为底面的圆锥的体积为．参考答案：π

12.设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的，有x+TD，且f（x+T）≥f（x），则称函数f（x）为M上的T高调函数．

（1）现给出下列命题：①函数f（x）=为（0，+）上的T高调函数；②函数f（x）=sinx为R上的2高调函数；③如果定义域为[-l，）的函数f（x）=x2为[-1，）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是

；

（2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是

。参考答案：略13.已知数列的前项和为,且对任意,有，则

；

．参考答案：，.14.如果随机变量，且，则＝

．参考答案：0.115.实数满足，则的最大值为

.参考答案：略16.函数在区间上是减函数，则的最大值为

.参考答案：17._____________．参考答案：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.19.(本小题满分12分)将函数f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．参考答案：[解析](1)化简f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)＝sincos·＝－sinx其极值点为x＝kπ＋(k∈Z)，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，an＝＋(n－1)·π＝π(n∈N*)．(2)bn＝2nan＝(2n－1)·2n∴Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]2Tn＝[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]相减得，－Tn＝[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]．20.已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化简为一个角的正弦函数，利用正弦函数的增减性确定出f（x）的单调增区间即可；（2）利用余弦定理表示cosA，整理后代入已知不等式求出cosA的范围，进而求出A的范围，即可确定出f（A）的范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞，∵A为△ABC内角，∴0＜A＜，∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜f（A）＜，则f（A）的范围为（﹣，）．21.（12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.参考答案：解析：(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件A,“乙投一次命中”为事件B,则P(A)=,P(B)=,P()=,P()=甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的事件为P()=P()+P()=答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率为(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次不命中”的概率是∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为P=1-=1-答：甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为22.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间.并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关.”

基础年级高三合计优秀

非优秀

合计

300

附：.参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879

参考答案：（1）运动时间5.8小时，人数30人（2）见解析【分析】（1）由频率直方图求出各组频率，利用平均数公式计算平均体育运动时间，再利用分层抽样中的比例计算高一年级的总人数，再由频率直方图前两组频率计算高