2022年北京朝阳区高三一模数学试题和答案

2022北京朝阳高三一模数学20223（考试时间本试卷分为选择题分和非选择题分第一部分（选择题共分）一、选择题：本大题共小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A={x|2（A），集合B={x|x2−3x（B）{x|1x+2，则A=（）{x|2（D）{x|1x（2）直线y=x+1被圆x2+y2=1截得的弦长为（A）1（B）2（）2（D）22（3）已知平面向量a，b满足|a=2，|b=1，且a与b的夹角为，则|a+b=3（A）3（B）5（）7（D）3（4m，若a=m，bm2，c=m)2，则=（A）abc（B）bca（）cab（D）cba，（5）已知函数f(x)=若f(m)=−1，则实数m的值为−2x,x0.1（A）2−（B）（）1C（D）221（6）已知a+)，则“a1”是“a+2”的a（A）充分而不必要条件（）充分必要条件（）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知三棱锥A−BCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的种数为（A）3（B）6（）9（D）12（8）已知数列n}，若存在一个正整数T使得对任意nN*，都有n+T=a，则称T为数列a}的周期．若四个nn数列分别满足：1()()；N①1=n1=1−nnN；②b1=n1=−n+1n)n(N)③c=c=c=n1−nnN；④1dn1=(−d=n．12n+2n则上述数列中，8为其周期的个数是（A）1（B）2（）3（D）4（9）如图1，北京年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为m，上口半径为m，下口半径为28.5m，高为m．在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设|OA=16，|DC=17，|=，|DE=70，则双曲线的方程近似为28.5216228.52172172162（参考数据：，2.81，1.13）x2y2x2y2（A）（）−=1=1（）（D）−=1=1162382162482x2y2172382x2y2172482−−图2图3图1（10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，===1（单位：dm），小明同学计划过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积（单位：2）的最大值是12（A）（B）443344（）（D）填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上．（11）计算复数i+i)=_______．+34==（12）已知数列a是首项为3，公比为q的等比数列，S是其前n项的和，若aa50，则q_______；nS3=_______．n（13）已知直线x=和x=是曲线y=x+的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是36_______．（14）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三3角形绿地，其中P在上，PQ⊥AB,垂足为Q，PR⊥AC,垂足为R，设=)，则3=____表示）；当点P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_____．（15）在平面直角坐标系中设抛物线,y2=4x的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，且点l:y=3(x−A在x轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P，与x轴交于点H．给出下列四个结论：①△OFA的面积是3；②点H的坐标是(−3,0)；③在x轴上存在点Q使=0；④以为直径的圆与y轴的负半轴交于点N，则=2．其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题：本大题共6小题，共分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16在△中，asinCccosA0．+=（Ⅰ）求A；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△存在且唯一确定，求△的面积．条件①：b=2c；条件②：sinB=；条件③：a=．注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（17）（本小题某学校在寒假期间安排了垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分分，将数据分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；（Ⅱ）在样本中，从其成绩在分及以上的学生中随机抽取3人，用X表示其成绩在[90,100]中的人数，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）在（）抽取的3人中，用Y表示其成绩在[80,90)的人数，试判断方差D(X)DY)与的大小．（直接写结果）（18）（本小题如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，，OD=OB=1，OC=2，E，F分别是,上的点，，，2，HO=1．将沿折起到△1EF的位置，得到五棱锥=1−，如图2．（Ⅰ）求证：⊥平面1HC；（Ⅱ）若平面1⊥平面BCDFE，（）求二面角D−C−H的余弦值；（）对线段AF上任意一点N，求证：直线BN与平面ADC相交．11（19）（本小题已知f(x)xaex，aR．=−（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点f处的切线与x轴重合，求a的值；（Ⅱ）若函数f(x)在区间+)上存在极值，求a的取值范围；（Ⅲg(x)=f(2−x)，在（）的条件下，试判断函数g(x)在区间+)上的单调性，并说明理由．（20）（本小题x2y23已知椭圆C:+=ab0)的一个焦点为F0)，且过点)．a2b22（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）过点P(4,0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线x=1交于点Q，点M满足MP⊥x轴，MB∥x轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值．（21）（本小题对非空数集X,Y，定义X与Y的和集X+Y={x+y|xX,yY}．对任意有限集A，记|A|为集合A中元素的个数．（Ⅰ）若集合X={0,5,10},Y=，写出集合X+X与XY；+（Ⅱ）若集合X={x,x,满足xx，n，且|X+X2|X|，求证：数列x,x,是等差数121212列；（Ⅲ）设集合X={x,x,满足xx，n，且iZi=2,n)1，集合B=kZ|−mx−x1212（m），求证：存在集合A满足|A|1且XA+B．||参考答案一、选择题：（本题满分4012345678910B题号答案DBACCABBA二、填空题：（本题满分25题号1112131415=−13731+i−660sinm3m2①③④答案（答案不唯一）三、解答题：（本题满分85（16解：（）因为asinC+ccosA=0，ac由正弦定理=，sinAsinC得sinAsinC+sinCcosA=0，即sinC(sinA+)=0．因为C)，所以sinC0．所以sinAcosA0．+=所以A.所以cosA0．2sinA所以A==1．A所以A=．·········································································6分4（Ⅱ）选条件②③：ab=，及a=，sinB=，由正弦定理sinAsinB10b得=，所以b=2．1010sin4因为A=所以cosB，所以B)，4431010=1sinB−2=．23102105所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+(−)=．21021051215所以△=absinC=102=1．·······························13分25选条件①③：由余弦定理a2=b2+c2−bcA，及b=2c，2得10c2+c2+22c2=，2解得c=2．所以b=2c=2．112所以△ABC=bcsinA=22=1．··································13分222（17解：（）由题意得，(0.006+t+0.018+0.032+0.020+0.010)10=1，解得t=0.014．因为0.0645+0.1455+0.1865+0.3275+0.2085+0.1095=72.6，所以估计全校学生的平均成绩为72.6．··········································4分（Ⅱ）X的所有可能取值为，1，，．C32491P(X=0)=10=，C3152CC1545P(X==10=，C31591C153291P(X=2)=10=，C155C32P(X===．31591所以X的分布列为X01232P2491459120912所以X的数学期望为E(X)=0+1+2+3=1．··········10分91（Ⅲ）D(X)=DY)．········································································13分（18解：（）因为AC⊥DB，，所以AC⊥EF．所以1H⊥，HC⊥EF．又因为AH平面AHC，HC平面AHC，AH，1111所以⊥平面1HC．····························································4分（Ⅱ）（）因为平面AEF⊥平面BCDFE，平面AEF平面BCDFE=EF，11AH平面A，AH⊥，111所以1H⊥平面BCDFE．因为HC平面BCDFE，所以1H⊥．又因为HC⊥EF，如图建立空间直角坐标系H−，则H0)，1(0,2)，C，2B，D(−0)，F(−,0,0)．3所以C=(0,3,2)，=0)．设平面1DC的一个法向量为n=(x,y,z)，n−=3y2z则n=即x+2y=0.令z=3，则y=2，x=−4．所以n=(2,3)．由（I）可知，平面1HC，⊥所以平面1HC的一个法向量是m=0)．nm442929所以cos,m===−．|n||m|16+4+9由题可知，二面角D−C−H为锐角，429其余弦值为．·································································10分29（）设N(x,y,z)是线段AF上一点，设AN=AF(．1112则(x,y,z−2)=(−,0,2)．32解得x=−，y=0，z=2−2．3所以NB=(+2−2)．3210因为NBn=−4(++2+−2)=−80，33所以NBn0．所以直线BN与平面1DC相交．················································14分（19=−x解：（）f(x)1e，因为曲线y=f(x)在点f处的切线与x轴重合，所以f=1−ae=0．1所以a=,经检验符合题意.·······················································4分ee10，=−x+（Ⅱ）①当a时，f(x)函数f(x)在区间(−,+)上单调递增，所以f(x)在区间+)上无极值．所以a不合题意．1②当a0时，令f(x)e10，解得x==−x+=．a11−当x<时，f(x)0，函数f(x)在区间(,ln)上单调递增；aa11+)上单调递减．当x>时，f(x)0，函数f(x)在区间(ln,aa1所以当x=时，函数f(x)取得极大值．a11e令1，解得0a<．a1所以a的取值范围是)．···················································10分e1e（Ⅲ）由题可知，g(x)f(2x)=−=2−−2−x，aea<x0．则g(x)ae2−x−1．==10，解得x=2+lna．2−x−=令g(x)0，即ae1因为0a<，则lna−1，所以2+lna1．e当x+)，g(x)0，所以函数g(x)在区间+)上单调递减．…分（203解：（）由已知得半焦距c=1，因为椭圆C过点)，23252由椭圆定义得2a=+=4，所以a=2．又因为a2=b2+c2，所以b=3．x2y2c12所以椭圆方程为+=1．离心率e==．····························5分43a（Ⅱ）依题可设直线l:x4．=+x=+由x2y2得m2+4)y2+24+36=0．+=43=576m2−m2+4)144(m2−4)0，得m2m−2=令或．设(x,y),B(x,y)，yy，11221224mm2+36m2+4则y+y=−,yy=12，124所以2myy=y+y)．12123y2+3y2−ym由题得M(4,y2),Q−)，则k=1,k=．m4−13y−y)y−y)y−y)21则k=21==21=k33−y−3y(41y2−+)−1(y2+)121mmy−y)y−y)21=21=2．···································15分323(y+y)−3y1(y−12)122（21解：（）X+X={0,5,10,15,20}，X+Y=7,8,．···································4分（Ⅱ）因为x+xx+xx+xx+xx+xx+xx+x，11121