2022年北京海淀区高三一模数学试题和答案

2022北京海淀高三一模数学一选择题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项､440..B=xxAB=，则（A=x1x21.已知集合，）xx2xx1xx1xx0A.B.C.D.(−)，则(+)=（）2.在复平面内，复数z对应的点为1z1iA.2B.2iC.D.−2x2−y2=1的离心率为（3.双曲线）33623AB.C.D.33334.在(x−x)A.−14的展开式中，x2的系数为（）B.1C.−4D.45.下列说法中正确的是A.平行于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行B.垂直于同一直线的两个平面平行D.垂直于同一平面的两个平面平行6.已知直线l:ax+by=12+y2−2x−2y=0是圆x的一条对称轴，则的最大值为（）112A.B.C.1D.2427.已知角的终边重合，且)1+=，则的终边绕原点O逆时针旋转π后与角的取值可以为（）3ππππAB.C.D.6336()的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数()的图象，则不等式fxgx8.已知二次函数2()gxlog2x的解集是（）(−)(+)(0,2)(),2A.B.C.D.1/19π2中，A=，则“sinB”是“是钝角三角形”B.必要而不充分条件）9.在42A充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：)40)60)60,80)80,+)年龄（岁）总计确诊组人数排除组人数07374014844115192为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式第一种：从人中随机抽取7人.第二种：从排除组的人中随X,Y机抽取7人.用分别表示两种抽样方式下岁及以上的人数与岁以下的人数之比给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；1265X,Y,；③④的取值范围都是E(X)EY)其中，正确结论的个数为（A1）B.2C.3D.4､55分.二填空题共小题，每小题分，共y2=2px(p0)准线方程为x=1，则p等于________．Sn11.已知抛物线是等比数列，且公比为q，为其前项和，若是、=，则=S415qanna2112.S2的等差中项，___________，1___________.1的值域为[−+)a，则实数的一个取值可以为___________.=13.若函数f(x)=2x−a−=，设向量a=e+e，当==1时，a,e=0___________；当12114.e,e是单位向量，且ee121的最小值为cosx2+=2−e1a___________.时，15.已知函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有无数个零点；③f(x)的最小值为2x+11−f(x)的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.；④2三解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程.､6.､2/1916.设函数f(x)2sinxxAcos2x(AR).已知存在A使得=+f(x)f(x)同时满足下列三个条件中的两个：条件①：πf(0)=0x=f(x)图象的一条对称轴.；条件②：的最大值为2；条件③：f(x)满足的两个条件，并说明理由；是8（1）请写出f(x)在区间(0,m)m（217.如图，在四棱柱上有且只有一个零点，求的取值范围.ABCD−ABCDA⊥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，AD=2，111111=AD.11AD⊥1（1）求证：；21（2）若直线AB与平面A所成角的正弦值为，求的长度.111718.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨1点）相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晩睡人群占比51)10.1%66)))34.6%48.6%47.4%31.6%11.8%0.0%2345769090,100注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间76,90)内的人群中，早睡人群约占76,90)内的.从睡眠指数得分在区间人群中随着抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望()；EX（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间76,90).试判断这种说法是否正确，并说明理由.3/1919.已知函数f()e1)(xax2−x+.y=f(x)在点(0,f(0))（1）求曲线（2）若函数（3）若函数处的切线的方程；f(x)在x=0处取得极大值，求的取值范围；af(x)存在最小值，直接写出的取值范围.ax22y22120.已知椭圆C:+=l:y=(x−2)ab0)的下顶点A和右顶点B都在直线上.1ab2（1）求椭圆方程及其离心率；l:y=+m交椭圆C2P,Qx，过点P作轴的垂线交于点D，点P关于点D的l（2）不经过点B的直线于两点1对称点为E.若E,B,Ql三点共线，求证：直线经过定点2.满足，则称为数列aP.nmmaik+i=ik+ii=21.设为正整数，若无穷数列n（1）数列是否为数列？说明理由；nP1s,,a=ns,t为数列，求s,t；aPn2（2）已知其中为常数.若数列t,,（3）已知数列满足，=，Pa10826k6k+6(k=an.3n4/19参考答案一选择题共小题，每小题分，共分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.､440.B=xxAB=，则（A=x1x21.已知集合，）xx2xx1xx1xxD.A.B.C.【答案】B【解析】AB.【分析】利用并集的定义可求+),A【详解】故选：B(−)，则(+)=（1z1i）2.在复平面内，复数z对应的点为A.2B.2iC.D.−2【答案】A【解析】z.【分析】由复数的几何意义可得复数，利用复数的乘法可求得结果【详解】由复数的几何意义可知z1i，故故选：A.=−(+)=(−)(+)=z1i1i1i2.x2−y2=1的离心率为（）3.双曲线336233A.B.C.D.333【答案】C【解析】ac【分析】求出、b、的值，可求得双曲线的离心率.x2−y=1中，a=3，b=1，则c=a+b2【详解】在椭圆22=2，3x2c233−y2=1的离心率为e==因此，双曲线.3a故选：C.4.在(x−x)4的展开式中，x2的系数为（）A.−1B.1C.4−D.4【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求x2的系数.5/19r4−r2+(x)r1rx【详解】(x−x)4的展开式的通项公式为r1=C4r(−x)=(−)Cr4，2r2+=2，则r=0(−)，故x2的系数为1C=1，004令2故选：B.5.下列说法中正确的是A.平行于同一直线的两个平面平行C.平行于同一平面的两条直线平行【答案】BB.垂直于同一直线的两个平面平行D.垂直于同一平面的两个平面平行【解析】【详解】平行于同一直线的两个平面可以平行、相交，故不正确，垂直于同一直线的两个平面平行正确，平行于同一平面的两条直线平行错误，因为也可以相交也可以是异面直线，垂直于同一平面的两个平面平行错误，因为也可以相交，故选B.6.已知直线l:+=12+y2−2x−2y=0的一条对称轴，则的最大值为（）是圆x112A.B.C.1D.24【答案】A【解析】a,b【分析】圆心必然在直线l上，得到的关系式，再考虑求最大值.【详解】由于直线l是圆的对称轴，所以圆的圆心必定在直线l(−)2+(−)y1=2，2将圆的一般方程转变为标准方程：x1圆心为()，将圆心坐标代入直线l的方程得a+b=1，b=1−a，aba1a)，=−12y=a1−a)是开口向下，以a=(函数所以为对称轴的抛物线，111−=14y=，22故选：A.27.已知角的终边重合，且)1+=，则的终边绕原点O逆时针旋转π后与角的取值可以为（）3ππππA.B.C.D.6336【答案】C【解析】【分析】由题意易得+=，列出余弦函数方程解出即可.36/192【详解】由于角的终边绕原点O逆时针旋转π后与角的终边重合，3所以+=，33+=1，即+=2k,kZ，解得=−+k,kZ，所以33当k=1时，=，3故选：C.()的图象如图所示，将其向右平移个单位长度得到函数()的图象，则不等式fxgx8.已知二次函数2()gxlog2x的解集是（）(−)(+)(0,2)(),2A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出函数()与y=log2x的图象，数形结合可得出不等式()gxlog2x的解集.gx【详解】根据图中信息作出函数()、y=log2x的图象如下图所示：gx因为f(0)=1，则()=，且g212=1，2gxx由图可知，不等式()的解集为(2).2故选：C.π2中，A=，则“sinB”是“是钝角三角形”）9.在427/19A.充分而不必要条件C.充分必要条件【答案】AB.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】2【分析】先判断如果sinB能不能推出是钝角三角形，22即可.再判断如果是钝角三角形，是否一定有sinB22【详解】如果sinB，由于是三角形的内角，并且BA=则0B,，244A+B，是钝角三角形，22所以sinB是充分条件；232B=sinB=如果是钝角三角形，不妨设，3222所以sinB故选：A.不是必要条件；210.甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有人.经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：)40)60)60,80)80,+)年龄（岁）总计确诊组人数排除组人数07374014844115192为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式第一种：从人中随机抽取7人.第二种：从排除组的人中随X,Y机抽取7人.用分别表示两种抽样方式下岁及以上的人数与岁以下的人数之比给出下列四个结论：①在第一种抽样方式下，抽取的7人中一定有1人在确诊组；②在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；1265X,Y,；③④的取值范围都是E(X)EY)其中，正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】8/19【分析】根据抽样调查和概率的计算以及样本的期望逐项分析即可得答案【详解】解：对于①：人中确诊的有14人，若抽取的7人都是84个排除组的，则可能出现7人都不在确诊组，①错误；C7C7P=0，故②错误；对于②：排除组中小于岁的人有7人，抽取7人小于岁的概率为784对于③：第一种0,80第二种0,80)有人，80,+)有2人)有人，80,+)有2人MM=2故设抽取岁以上的人数为，则当M=0时，X=Y=01=1时，X=Y=当M62=X=Y=当M2时，5故③正确；C7C025851C6C1213972C5C2723P(X=0)=96=P(X=)==P(X=)=96=对于④：，，C7986796C75C67998C7C022092491C6C12772C5C2721PY=0)==PY=)==PY=)==，，C76C74985C1665851132++67969756793()=EX00.0240.028209177+2496498516621()=EY+0E(X)EY)故④正确；故选：B､55分.二填空题共小题，每小题分，共y=2px(p0)的准线方程为x=1，则p等于________．211.已知抛物线【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的准线方程求解.y2=2px(p0)的准线方程为x=1，【详解】因为抛物线p−=−1，所以解得2p=2.故答案为：29/19【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.是等比数列，且公比为q，为其前项和，若、=，则=S415qanSnna21是12.S2的等差中项，___________，1___________.【答案】①.2②.1【解析】=2a=a+Sqa【分析】利用已知条件可得出，化简可得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值.2121a2a=a+S=2a+a2=2aq=2=2，【详解】由题意可得，，则2121211()a1−q4S4=1==15，解得1=1.1511−q故答案为：2；1.13.若函数f(x)=2x−a−1的值域为[−+)a，则实数的一个取值可以为___________.【答案】1【解析】fx=2−a−1的图像，【分析】考察函数()x就是先把2x向上或向下平移aa个单位（取决于的符号），如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去，最后再把整个图像向下平移一个单位.fx2xa12xa1()=−−=−−，其值域为(−−+)，a【详解】如果a0，−a−1−1，不符合题意；如果a0，当x=log2a时，2x−a=0，2x−axlog2a就是把函数的部分以x轴为对称轴翻折上去，2x−a∴此时的最小值为，()=−−的最小值为，值域为−+)，fx2xa1-1a(+)a=1；所以，不妨取故答案为：1.=，设向量a=e+e，当==1时，a,e=014.e,e是单位向量，且ee___________；当1212121+=2−e1a的最小值为___________.时，2【答案】①.##45②.42【解析】aa,ea−e表示为关于【分析】求出，根据夹角公式可得，将二次函数，求出最小值即可.1110/19【详解】当==1时，ae2，a=+=++2=a=22，即，e12ee211)+ee12a,1==，a1a122因为a,10,，所以a,1=；4+=2a−e时，=(−)+=(−)+(−)1e21e22当11123212则a−e1=(−)2+(2−)2=2−+，322=−ae1当时，的最小值为，22故答案为：，.42cosxx+1215.已知函数f(x)=，给出下列四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)有无数个零点；③f(x)的最小值为1−f(x)的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为___________.；④2【答案】①②④【解析】【分析】根据偶函数定义、零点的定义，结合导数的性质逐一判断即可.cos(x)cosxf(−x)===f(x)【详解】因为，所以该函数是偶函数，因此结论①正确；(−x)2+12x+1cosx1令f(x)==0x==+0xk(kZ)x=k+(kZ)，所以结论②正确；x2+122cosx(x2+sinx−2xcosx1212f(x)=f(x)=f=−f=0，，因为，x2+1(x2+212−所以函数的最小值不可能为，因此结论③不正确；cosx1，当x=k(kZ)时取等号，即x=k(kZ)时取等号，1，当且仅当x=01因为x211，当且仅当+x=0时取等号，所以有0时取等号，2x+1cosxcosxx+121，当且仅当x=0f(x)=1，所以结论④正确，所以有时取等号，因此有2x+1故答案为：①②④【点睛】关键点睛：利用函数极值与最值的关系进行判断是解题的关键.三解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程､6.､.11/1916.设函数f(x)2sinxxAcos2x(AR).已知存在A使得=+f(x)f(x)同时满足下列三个条件中的两个：条件①：πf(0)=0x=f(x)图象的一条对称轴.；条件②：的最大值为2；条件③：f(x)满足的两个条件，并说明理由；是8（1）请写出f(x)在区间(0,m)m（2上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）②③，理由见解析,（2）88【解析】分析】（）首先分析①②可得A=1，逐个验证条件③即可得结果；x+m的范围，结合正弦函数的性质列出关于的不等式即可（2）由（）得函数的解析式，通过的范围求出2x4得解.【小问1详解】f(x)=2sinxx+A2x=sin2x+Acos2x=1+Asin(2x+)，2函数22tan=,−,其中，f(0)=0A=0对于条件①：若，则，f(x)+=A=1，①②不能同时成立，对于条件②：的最大值为2，则1A22，得82当A=0时，f=1，即不满足条件③；24=f(x)=2sin2x+f=2当A1时，，，即满足条件③；8当A()==−1时，fx−，8=0，即不满足条件③；2sin2xf4综上可得，存在A1满足条件②③.=【小问2详解】()=fx+由（）得2sin2x，4当0xm时，2x+2m+，444f(x)在区间(0,m)由于上有且只有一个零点，则2m+，解得m，48888m,即的取值范围是.12/19ABCD−ABCDA⊥17.如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，AD=2，111111=AD.11AD⊥1（1）求证：；21（2）若直线AB与平面A所成角的正弦值为，求的长度.1117【答案】（1）证明见解析AA1=2（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得AB平面⊥DD，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；11（2AD的中点O，连接AO1，证明出AO⊥1平面ABCD，以点O为坐标原点，、、的方向分1xyzAO=a1a0a别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，a的长.1求出的值，即可求得棱【小问1详解】证明：因为四边形ABCD为正方形，则，⊥A⊥A11平面ABCD=，AB因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，11AB⊥DD平面，11⊥1D平面DD，所以，.11【小问2详解】解：取AD的中点O，连接AO1，1D，OAO⊥1为AD的中点，则，AADD⊥DDABCD=AODD，因为平面平面ABCD，平面平面，平面1111111AO⊥1所以，平面ABCD，以点O为坐标原点，AB、、1的方向分别为x、yz、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设O=aa0，，其中13/19则A(1,0)、(−)、(B0A0,0,a)、(C2,2,a)、()，D011)AC1=(2,01)AD=(−a)，，1=(2,0,0，+2y=0m=(x,y,z，则)x=a=(−−)ma,a,1，则设平面ACD的法向量为m，取，11−=myaz012aa217AB,m===由题意可得，m22a2+12a+123，则AA=1+a2=2.，解得a=118.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指点到次日凌晨1点）相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表：组别睡眠指数早睡人群占比晩睡人群占比51)10.1%66)))34.6%48.6%47.4%31.6%11.8%0.0%2345769090,100注：早睡人群为23:00前入睡的人群，晚睡人群为01:00后入睡的人群.（1）根据表中数据，估计早睡人群睡眠指数25%分位数与晚睡人群睡眠指数25%分位数分别在第几组？（2）据统计，睡眠指数得分在区间76,90)内的人群中，早睡人群约占76,90)内的.从睡眠指数得分在区间人群中随着抽取3人，以X表示这3人中属于早睡人群的人数，求X的分布列与数学期望()；EX14/19（3）根据表中数据，有人认为，早睡人群的睡眠指数平均值一定落在区间90).试判断这种说法是否正确，并说明理由.【答案】（1）答案见解析12（2）分布列答案见解析，E(X)=5（3）这种说法不正确，理由见解析【解析】【分析】（1）根据百分位数的定义判断可得出结论；45()EX，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，利用二项分布的期望公式可求得X~B（2）分析可知的值；（3）取第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为，第4组的均值为76，第5组的均值为91，结合平均数公式判断可得出结论.【小问1详解】解：早睡人群睡眠指数25%分位数估计在第3组，晚睡人群睡眠指数25%分位数估计在第2组.【小问2详解】45X~B，随机变量X的可能取值有0、1、2、3，解：由题意可知，32111412C=3(=0)==(=)=1PX，PX1，512555125214484364(=2)=C23=(=3)==PX，PX，551255125所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123148P125125412EX()==3.55【小问3详解】解：这种说法不正确，理由如下：当第1组的均值为0，第2组的均值为51，第3组的均值为，第4组的均值为76，第5组的均值为91，则睡眠指数的均值为00.001+510.111+660.346+760.486+970.0560+510.12+660.35+760.5+910.06=72.6876.19.已知函数f()e1)(xax2−x+.y=f(x)在点(0,f(0))（1）求曲线处的切线的方程；15/19a（2）若函数（3）若函数f(x)在x=0处取得极大值，求的取值范围；f(x)存在最小值，直接写出的取值范围.ay=1【答案】（1）1(−,)（2）21（3）4【解析】【分析】（1）先求导后求出切线的斜率（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；'f(0)=0，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【小问1详解】解：由题意得：ff'(x)=e(0)=0，f(0)=1y=f(x)在点(0,f(0))x(ax2−x+1+2ax−=ex(ax2+2ax−x)'y=1.故曲线处的切线的方程处取得极大值，【小问2详解】由（）得要使得f(x)在x=0f'(x)在x0时应该f'(x)0，'f(x)在x0时应该f'(x)0，ex(ax+2a−1−2a0故①a0且a0，解得a1−2a1②a0且0，解得0aa2当a=0时，f'(x)=−ex，满足题意；11a=f'(x)=x2xe，不满足题意；当时，221a(−,).综上：的取值范围为2【小问3详解】1212可以分三种情况讨论：①a0②0aa③1−2a1−2a若a0，单调递增，在(0,+)上单调递减，无最小值；f(x)(−,)上单调递减，在(,0)aa16/1912若0时，当时，趋向时，f(x)x0趋向于；当，要使函数取得存在最小值ax0x−1−2a12a−12a−−2a141−2a12a(4a−0，解得0ax=,a处取得最小值故的取值f()=ea[a()2−+=ea，故aaaa14范围.12ax时，0f(0)1趋向于，又=故无最小值；f(x)f(x)f(x)若时，在趋向1a存在最小值，的取值范围综上所述函数.4x2y22120.已知椭圆C:+=ab0)的下顶点A和右顶点B都在直线l:y=(x−2)上.1a2b2（1）求椭圆方程及其离心率；l:y=+m交椭圆C2P,Qx，过点P作轴的垂线交于点D，点P关于点D的l（2）不经过点B的直线于两点1对称点为E.若【答案】（1）E,B,Q三点共线，求证：直线经过定点l.2x23+y=1，离心率为2.42（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出顶点坐标后可求椭圆方程和离心率；()()Px,y,Qx,y，则可用此两点坐标表示E，根据三点共线可得2（2112xy+xy=2(y+y)+xx−2(x+x)+4，利用点在直线可得1221121212(−)m2k2x+(−+)(+)−4m−4=0，再联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理可得定点.2k1xxx1212【小问1详解】因为下顶点A和右顶点B都在直线1:y1=(x2)上，−2x2(−)()+=1.A1,B2,0y2故，故椭圆方程为：44−13其离心率为e==22小问2详解】()()Px,y,Qx,yxx2.设则，则1112221()，故Ex,x1(−1−2)，