2020-2021学年宜宾市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年宜宾市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.己知直线I的方程为y=x+l,则它的倾斜角为（）

A二BjC_D了

2.直线x+2y+2=0与直线2x-y+l=0的位置关系是（）

A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合

3.如图所示是小明在某条道路所统计的某个时段来往车辆的车速情况，下列说法中正确的是

（）

.主球（辆）

A.中位数是52.5B.众数是8C.众数是52D.中位数是53

4.某单位有1260名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将1260人按1,2,1260

随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间［631,1200］的人数为（）

A.17B.18C.19D.20

5.根据如图所示的程序框图，输出的结果i=（）襁'

A.6-一।~

皿=76

B.7----------

C.8*-----3

6.设a,b是关于t的方程/cos。+6讥。=0的两个不等实根，则过做/小），^的,/）两点的直线

27

与双曲线二£一三=1的公共点的个数为（）

cos20sin20

A.0B.1C.2D.3

7.设m,也是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，以下四个结论:

①若m〃a,旦n”B，则a///?；

②若？n1a,n1夕且?n1n,则a1夕;

③若mla,n///?Km1n,则a〃夕；

④若?n〃a,n_L0且m〃几，则a_LS.

其中正确结论的序号是（）

A.①②B.③④C.②④D.①③

8.如图回、国、团、团为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为

二△

正视图侧视图

（3）（4）

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

9.在平面坐标系xOy中，抛物线y2=2px的焦点尸与椭圆1+t=1的左焦点重合，点4在抛物线

62

上，且|AF|=4,若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|P*的最小值为（）

A.6B.2+4V2C.2V13D.4+2V5

10.如图，在正方形4BC0-中，异面直线4C与所成的角是（

C.?

11.已知椭圆捺+'=l(a>b>0)的右焦点为尸，左顶点为4,点P在椭圆上，且PF14F,若

tan^PAF=J,则该椭圆的离心率e=()

12.已知点P为双曲线捻一《=1((1>0方>())右支上一点，点6,尸2分别为双曲线的左右焦点，点

/是APF/z的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有SA/PR-SA/PEW孝SA/&FZ成立，则双曲线的

离心率取值范围是()

A.(1,V2)B.[V2,+oo)C.(1,72]D.(A/2,+00)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.若点M(m,m-1)在圆C：/+y2一+4y+1=0内，则实数m的取值范围为.

14.如图，矩形的长为6,宽为3,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在影

阴部分的黄豆为125颗，则我们可以估计出影阴部分的面积约为.

15.在直三棱柱中，ABC-A'B'C,AB=AC=AA'=2,BC=且此三棱柱的各个顶点都在一

个球面上，则此球的体积为.

16.椭圆式+g=1的左焦点为&,过右焦点尸2的直线与椭圆相交于点力、B.则△力&B的周长是

43

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知直线h3%—2y+4=0.

(1)若直线m与，垂直且过点(0,1),求m的方程；

(2)若直线九与1平行且点(0,1)到九的距离为旧，求久的方程.

18.某中学有6名爱好篮球的高三男生，现在考察他们的投篮水平与打球年限的关系，每人罚篮10次,

b_£仁」2一%）（斗-'）=£之1肛穴一叱^

%i（&r）2^n^2_2

其打球年限与投中球数如下表：xnx

<a=y—bx

(I)求投中球数y关于打球年限X(%ENf0<x<16)的线性回归方程,

（n）若第6名同学的打球年限为ii年，试估计他的投中球数（精确到整数）.

学生编号12345

打球年限X/年35679

投中球数y/个23345

19.如图为正六棱柱ZBCDEF-AiBiGAEiFi，底面边长AB=a,高441=九.

（1）若a=h,求异面直线BDi和C&所成角的大小；

（2）计算四面体BCD1a的体积（用a,h来表示）；

（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高人满足：2/i+Ba=K（K为定值），则当底面边长a

和高力分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？

20.某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加

过短期培训（称为4类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现从该工厂的工人

中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数）,

得到4类工人生产能力的茎叶图（图1）,B类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.

ffil

(1)在样本中求A类工人生产能力的中位数，并估计B类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表)；

(2)若规定生产能力在［130,150］内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层

抽样共抽取n名工人进行调查，请估计这n名工人中的各类人数，完成下面的2x2列联表.

能力与培训时间联表

短期培训长期培训合计

能力优秀

能力不优秀

合计

若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则n的

最小值为多少？

参考数据:

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

参考公式：K2=n(ad-bc)

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

21.如图，在四棱锥S-ABCD中，SD，平面4BCC,底面ABCD是菱形，E,F分别为SB,AD的中点.

(I)证明：EF〃平面SCD；

(U)若nBAD=60。，SD=4,AB=2,求三棱锥C-DEF的体积.

s

22.(文科)已知椭圆C：冬+，=l(a>b>0)的左、右焦点为Fi，6，点P在椭圆C上，且△P&F?面

积的最大值为百，周长为6.

(I)求椭圆C的方程，并求椭圆C的离心率：

(II)已知直线1：丫=々刀+1(忆>0)与椭圆。交于不同的两点4,B,若在x轴上存在点使得

M与4B中点的连线与直线/垂直，求实数m的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由题意知，直线［的方程为y=x+l,

则直线的斜率k=1,所以直线的倾斜角是全

故选:B.

由直线方程求出直线的斜率，由k=tana求出直线的倾斜角.

本题考查直线的方程、直线的斜率和倾斜角之间的关系，属于基础题.

2.答案：B

解析：解：直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0中，

•••1x2+2X(-1)=0,

.••直线x+2y+2=0与直线2x-y+1=0的位置关系是垂直.

故选:B.

利用两直线中x的系数积与y的系数积之和为0,得到两直线垂直.

本题考查两直线的位置关系的判断，考查直线与直线平行与垂直的性质等基础知识，是基础题.

3.答案：C

解析：

解：因为本次调查的车辆总数为2+5+8+6+4+2=27辆，所以中位数为第14个数据，即中位

数为52,众数为52,故选：C.

此题考查条形图，掌握中位数、众数的意义和求法是解决问题的关键.先根据图形确定一定车速的车

的数量，再根据中位数和众数的定义求解.

4.答案:C

解析：解：使用系统抽样方法，从1260人中抽取42人，即从30人抽取1人.

所以从编号1〜630的人中，恰好抽取^=21人，接着从编号631〜1200中抽取罟言=19人.

故选：C.

根据系统抽样方法，从1260人中抽取42人，即从30人抽取1人.从而得出从编号631〜1200中抽取

的人数即可.

本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题.

5.答案：C

解析：解：模拟执行程序框图，可得

i=0,t=76

不满足条件t<0,t=66,i=1

不满足条件t<0,t=56,1=2

不满足条件t<0,t—46,i=3

不满足条件t<0,t=36,i=4

不满足条件tWO,t=26,i=5

不满足条件t<0,t=16,i=6

不满足条件t<0,t=6,i=7

不满足条件t<0,t=-4,i=8

满足条件tWO,退出循环，输出i的值为8.

故选：C.

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的t,i的值，当t=-4时，满足条件tWO,退出循环，

输出i的值为8.

本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的3i的值是解题的关键，属于基本

知识的考查.

6.答案：A

解析：解："a,b是关于t的方程^cosO+ts讥。=0的两个不等实根，

■•a+b=­ab=0,

COS0

过A(Q,Q2),B(4办2)两点的直线为y-=bja(%_),即y=(b+a)%-ab,

b-cia

onsinO

即y=一百”,

•••双曲线总一幕=i的一条渐近线方程为y=一翳的

・,•过A(Q,Q2),B(b,炉)两点的直线与双曲线磊一W=1的公共点的个数为0・

故选：A.

求出过4(a,a2),两点的直线为y=-翳x,结合双曲线的渐近线方程，可得结论.

本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.

7.答案：C

解析：解：对于①，若aC0=I,m,九为平面a,夕外的直线，且6〃n〃/,

显然符合条件，但结论不成立，故①错误；

对于②，：TH1a,mln,故a内存在一条直线n',使得n'//n,

•.•n_LS，J.n'16，又律'ua,a10,故②正确；

对于③，若an0=1,；mJLa,二m_L1,令《〃1,则显然有m_Ln,

显然符合条件，但结论不成立，故③错误；

对于④，mlla,a内存在直线m'使得7n〃m',

m//n,..m'//n,又n10,二m'1夕，又m'ua,a_LG•故④正确.

故选：C.

根据空间线面位置的判定理证明或结合图形举出反例即可.

本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题.

8.答案：C

解析：试题分析：由三视图与几何体之间的对应关系可知(1)(2)(3)(4)依次为三棱柱、正四棱锥、圆

锥、圆台.

考点：空间几何体的三视图.

点评：掌握常见几何体的三视图是解决这类小题的关键，平时要多画柱、锥、台体的三视图，提高

自己的空间想象能力.

9.答案：C

解析：

确定抛物线方程,利用抛物线的定义由|”|=4得到4到准线的距离为4,即可求出点4的坐标，根据：

“伊川+|P0|”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的

方法即可求出距离之和的最小值.

此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决最小值问题，灵活运用点到点的距离、对称性化简求

值，是一道中档题.

解：・椭圆江+些=1的左焦点为(—2,0),

62

•,・抛物线的方程为y2=-8x,其准线为x=2,

•••\AF\=4,由抛物线的定义得，

4到准线的距离为4,即4点的横坐标为—2,

又点4在抛物线上，・•・从而点力的坐标4(-2,4)；

坐标原点关于准线的对称点的坐标为8(4,0)

则伊川+|PO|的最小值为：|力8|=7(4+2)24-(0-4)2=2V13.

故选：c.

10.答案：c

解析：解：如图,连接。住,ADlt则

二是异面直线AC与所成的角,且A/lCDi是等边三角形,

.•屏面直线"与所成的角是半

故选：C.

可连接。1C,AD.,从而可得出44CD1为异面直线AC与所成的角，并可看出△4CD】是等边三角

形，从而可得出乙4CD］的值.

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题.

11.答案：C

解析：解由题意可得P的横坐标为x=c代入椭圆的方程可得|力|

b2

7

I，可得些=3即21

由tan/PAF=b

za+c2a(a+c)2’

而=a2—c2,

整理可得：2c2+ac—。2=。，［!P2e2+e—1=0>eG(0,1)>解得e=%

故选：C.

由椭圆的方程及题意可得P的横坐标，代入椭圆方程求出P的纵坐标，由正切值及a,b,c的关系可

得椭圆的离心率可得.

本题考查椭圆的性质，由PFL4尸可得P的横坐标，P在椭圆上可得它的纵坐标，属于中档题.

12.答案：B

解析：

【试题解析】

根据条件和面积公式得出a,c的关系，从而得出离心率的范围.

本题考查了双曲线的定义及性质，考查计算能力，是中档题.

解：设APFiF2的内切圆半径为八则S.PFI=?伊&1"，S^PF2=\-\PF2\-r,

SA/FTE=1I&F2I"，

S^lPF、—S4IPF2w,SA/F/Z成乂，

•••|尸01一仍尸2|三日俨/2|，

由双曲线的定义可知：IPF1I-\PF2\=2a,\FrF2\=2c,

.1.a<—c>即*2V2,

-2a

二双曲线的离心率的范围是：［迎,+8).

故选正

13.答案：(-1,1)

解析：解：；点在圆C：M+y?-2x+4y+1=0内，

:.m2+(m—I)2—2m+4(m—1)+1<0,

即Tn?<1,则一1<m<1.

•1•Hl的取值范围是(-1,1).

故答案为：(-1,1).

由题意，把M的坐标代入圆的方程的左边，可得m2+(m-I)2-2m+4(m-1)+1<0,求解得答

案.

本题考查点与圆的位置关系及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题.

14.答案：y

解析：

本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影

区域中的频率，构造关于$版的方程，是解答本题的关键.

由已知中矩形的长为6,宽为3,我们易计算出矩形的面积，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴

影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S版的方程，

解方程即可求出阴影部分面积.

解：•••矩形的长为6,宽为3,贝IJS矩形=18

.S阴_S阴_125

>'(----=-----=------

300

15

"ScS9=~

故答案为：*

15.答案：室兀

3

解析：解：•••△ABC中，AB=AC=2,BC=WAB=2相

•••cosZ.BAC=-5结合NB4Ce（0,乃）得NB4C=120°

再根据正弦定理，得A/WC的外接圆直径2R=空；=4,即R=2

设三棱柱外接球的球心为。，△ABC的外接圆心为01，则001=1AA'=1

可得CM=V5

4

-。屋=*

•••外接球的体积为S37T

故答案为：变!7r.

3

在△力BC中结合正余弦定理，算出它的外接圆半径R=2,设三棱柱外接球的球心为0,△ABC的外

接圆心为。「在Rtaaoo】中利用勾股定理算出。2的长，即为外接球的半径，最后根据球的体积公

式，可得三棱柱外接球的体积.

本题给出特殊三棱柱，求它的外接球体积，着重考查了直三棱柱的性质、球的体积公式和多面体的

外接球等知识，属于基础题.

16.答案：8

22个y

解析：解：••・椭圆方程为：二+匕=i,,

43A

椭圆的长半轴a=2,-7vxs\

由椭圆的定义可得，+4七=2a=4,（

且+g=2a=4,kPJ

△AB&的周长为：AB+AR+BF1

=Q4&+Ba）+（AF2+BF2）=4a=8,

故答案为：8.

首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到”1+AF2=BF1+BF2=2a=4,

最后将此式代入到三角形4B&的周长表达式中，即可得到答案.

本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题.

17.答案：解：⑴可得直线八3x-2y+4=0的斜率为|,

二由垂直关系可得直线小的斜率为-1，

二直线ni的方程为：y-l=-|(x-O)

化为一般式可得2久+3y—3=0；

(2)由平行关系设直线九的方程为3%-2y+c=0,

由点到的距离公式可得/七，=飙

解得c=15或c=-11,

•••直线71的方程为3x-2y+15=0,3x-2y-11=0,

解析：(1)由垂直关系可得直线m的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可；

(2)由平行关系设直线n的方程为3x-2y+c=0,由平行线间的距离公式可得c的方程，解得c可得

直线n方程.

本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题.

18.答案：解：(I)设所求的线性回归方程为;=bx+a，

则£=巳x(3+5+6+7+9)=6,

y=|x(2+3+3+44-5)=3.4,

计算回归系数=喋=

b=栗式牛修-，工晤)2之200.5,

a=y—bx=0.4；

所以投中球数y关于打球年限》的线性回归方程为

y=0.5x+0.4(其中％6N,且0SxW16)；(8分)

(II)当x=11时，y=0,5x+0.4=0.5x11+0.4=5.9«6，

可以估计第6名同学投中球数为6个.(12分)

解析：(I)设所求的线性回归方程为;=bx+a，计算■7-求出回归系数，写出线性回归方程；

(U)利用回归方程计算x=11时;的值即可.

本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题目.

19.答案：解：（1）以底面正六边形的中心0为坐标原点，以4。所在直线为%轴，以的垂直平分线

为y轴，

建立如图所示空间直角坐标系.

则B(当见一.0),。式0,@,九),C(^a,^a,0)»

Fi（—11见九），

BD1=（一ci,—ci,h^yCF]—（—-a,九），

设异面直线BA和Ca所成角的大小为仇

则cos。=|cos<BD；,CF；>I西函_产匚

|西卜|西—>/3a2+h2V4a2+h2

_M_f

―2/1-V5/1-10

・,・异面直线BDi和CF1所成角的大小为arccos奈

（2）在正六棱柱ABCDEF—4]BiGDiEiFi中，求得=百a,

22

CDr=Va+h,C&=、4砂+九2,则D/；+CD；=CF/,

得CZ)i_LD/i,S&CDIM=1,V3a•Va2+h2.

D]C=(亨Q,一£Q,一九)，D1F1=(一苧a,一|a,0).

设平面CD1&的一个法向量为五=（%,y,z）,

n•DC=ax—^ay—hz=

r09n

,取％=遮，得记=(V3,—lz—).

n•D\F；=—ax—|ay=0

CB=(0,—a,0)>

\n-CB\_aah

・•.8到平面CD10的距离d=

司=用=2yJa2+h2•

••・四面体BCD抵的体积为U许/­普=誓

(3)正六棱柱的表面积S=12•|a2,sm60°+6ah=3V3a2+6a/i.

正六棱柱的体积昨手M

又2/I+8Q=K,且Q>0,h>0,

S3^3a2+6a/i2V3a+4/i2K

—=----------------N2KT屋.

V乎2ahy/3ah\f3ah

当且仅当2h=V5a=；即a=^K，h=g时上式等号成立.

264

解析：(1)以底面正六边形的中心。为坐标原点，以/。所在直线为x轴，以4D的垂直平分线为y轴，

建立如图所示空间直角坐标系，分别求出西与西•的坐标，由两向量所成角求解异面直线BQ和GF1

所成角的大小；

(2)求出三角形CD】Fi的面积，再由向量法求出B到平面CD10的距离，代入三棱锥体积公式求解；

(3)分别求出正六棱柱的表面积与体积，再由基本不等式求最值.

本题考查空间中异面直线所成角、多面体体积及表面积的求法，训练了利用空间向量求解空间角及

点到面的距离，考查运算求解能力，属难题.

20.答案：解：(1)由茎叶图知4类工人生产能力的中位数为123,

由频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为

xD=115x0.04+125x0.36+135x0.4+145x0.2=4.6+45+54+29=132.6；

(2)由(1)及所给数据得能力与培训的2x2列联表如下：

短期培训长期培训合计

n9nlln

能力优秀

1020~20

3n3n9n

能力不优秀

201020

n3n

合计n

4~4

.n3n3n215n

由上表得k=Mgggg==^>16828,

4420204X4X20X20

解得n>357.324,又人数必须取整，

・•.n的最小值为360.

解析：(1)由茎叶图求A类工人生产能力的中位数，

由频率分布直方图计算B类工人生产能力的平均数；

(2)由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值结合题意得出n的最小值.

本题考查了茎叶图与频率分布直方图的应用问题，也考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基

础题.

21.答案：(I)证明：如图，取SC的中点G,连接DG,EG,

vE是SB的中点，

.••EG是△SBC的中位线，

B

EG//BC,EG=^BC.

5LDF//BC,DF=\BC,

：.EG//DF,EG=DF,

二四边形EGDF是平行四边形，

EF//DG.

又EFC平面SCD,DGu平面SCD,

EF〃平面sm

（U）解：如图，连接AC,B。交于点0,连接E0,

•••BO=OD,£

EO//SD,EO=|SD=2./：

又SDJ_平面4BCC,/：A

EO_L平面ABCD./V/