人教A版高中数学必修2第1章《空间几何体》全部教案 同步单元测试卷(全册)

人教A版高中数学必修2

第一章空间几何体

本章教材分析

柱体、锥体、台体和球体是简单的几何体，复杂的几何体大都是由这些简单的几何体组合而成的.有关

柱体、锥体、台体和球体的研究是研究比较复杂的儿何体的基础.本章研究空间儿何体的结构特征、三视图

和直观图、表面积和体积等.运用直观感知、操作确认、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性

质.

本章中的有关概念，主要采用分析具体实例的共同特点，再抽象其本质属性空间图形而得到.教学中应

充分使用直观模型，必要时要求学生自己制作模型，引导学生直观感知模型，然后再抽象出有关空间几何

体的本质属性，从而形成概念.

本章内容是在义务教育阶段学习的基础上展开的.例如，对于棱柱，在义务教育阶段直观认识正方体、

长方体等的基础匕进一步研究了棱柱的结构特征及其体积、表面积.因此，在教材内容安排中，特别注意

了与义务教育阶段“空间与图形”相关内容的衔接.

值得注意的是在教学中，要坚持循序渐进，逐步渗透空间想象能力面的训练.由于受有关线面位置关系

知识的限制，在讲解空间几何体的结构时，少问为什么，多强调感性认识.要准确把握这方面的要求，防止

拔高教学.重视函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单几何体的模型,使学生初步感受到信息技术

在学习中的重要作用.为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性，教师应根据学生的实际,合理地

进行取舍.

本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）:

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征约1课时

1.1.2简单组合体的结构特征约1课时

1.2.1中心投影与平行投影

约1课时

1.2.2空间几何体的三视图

1.2.3空间儿何体的直观图约1课时

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积约1课时

1.3.2球的体积和表面积约1课时

本章复习约1课时

1.1空间几何体的结构

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

整体设计

教学分析

本节教材先展示大量几何体的实物、模型、图片等，让学生感受空间儿何体的结构特征，从整体上认

识空间几何体，再深入细节认识，更符合学生的认知规律.

值得注意的是：由于没有点、直线、平面的有关知识，所以本节的学习不能建立在严格的逻辑推理的

基础上，这与以往的教材有较大的区别，教师在教学中要充分注意到这一点.本节教学尽量使用信息技术等

手段，向学生展示更多具有典型几何结构特征的空间物体，增强学生的感受.

三维目标

1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.

2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想.

重点难点

教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.

教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.从古至今，各个国家的建筑物都有各自的特色，古有埃及的金字塔，今有各城市大厦的旋转酒吧、

旋转餐厅，还有上海东方明珠塔上的两个球形建筑等.它们都是独具匠心、整体协调的建筑物，是建筑师们

集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢？引出课题：柱、锥、台、球的结构特征.

思路2.在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特

征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.教师对学生的活动及时给予评价.引出课题：柱、锥、台、球的

结构特征.

推进新课

新知探究

提出问题

1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？

2.你能给出多面体和旋转体的定义吗？

活动：让学生分组讨论，根据初中已有的知识，学生很快就能分成两类，对没有思路的学生，教师予以提

小.

1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.

2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转体.

讨论结果：

1.通过观察，可以发现，（2）、（5）、（7）、（9）、（13）、（14）、（15）、（16）具有同样的特点：组成几何体的

每个面都是平面图形，并且都是平面多边形，像这样的儿何体称为多面体：（1）、（3）、（4）、（6）、（8）、（10）、

（11）、（12）具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体称为旋转体.

2.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的

面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.按围成多面体的面数分为：

四面体、五面体、六面体、……，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥.棱柱、棱锥、棱台均是多面

体.

旋转体：由个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭儿何体叫做旋转体，这条定直线

叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体.

提出问题

1.与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？

2.请给出棱柱的定义？

3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特征？

4.请给出棱锥的定义.

5.利用同样的方法给出棱台的定义.

活动：学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示.

对于1、3,可根据围成多面体的各个面的关系来分析.

对于2,利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱.

对于4,利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥.

对于5,利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台.

讨论结果：

1.特点是：有两个面平行，其余的面都是平行四边形.像这样的几何体称为棱柱.

2.定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些

面围成的多面体称为棱柱.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧

面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱.

分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3,其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的儿何体称为棱锥.

4.定义：有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的多面体叫做棱锥.这个多

边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的

顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示.

分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

5.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面叫

做棱台的下底面和上底面：其他各面叫做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱：底面多边形与

侧面的公共顶点叫做棱台的顶点.

表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台.

分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

提出问题

1.与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征？

2.请给出圆柱的定义.

3.其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征？

4.请给出圆锥的定义.

5.类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义.

6.用同样的方法给出球的定义.

讨论结果：

1.静态的观点：有两个平行的平面，其他的面是曲面；动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋

转体.像这样的旋转体称为圆柱.

2.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴

叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆

柱的侧面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

表示：圆柱用表示轴的字母表示.

规定：圆柱和棱柱统称为柱体.

3.静态的观点：有一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕其一直角边旋转形成的面围成的

旋转体.像这样的旋转体称为圆锥.

4.定义：以直角三角形的•条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做

圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转

而成的曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母

线.

表示：圆锥用表示轴的字母表示.

规定：圆锥和棱锥统称为锥体.

5.定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的儿何体叫

做圆台.还可以看成是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分.旋转轴叫做圆台的轴；

垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧

面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面的母线.

表示：圆台用表示轴的字母表示.

规定：圆台和棱台统称为台体.

6.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转

体称为球体，简称球.半圆的圆心称为球心，连接球面上任意•点与球心的线段称为球的半径，连接球面上

两点并且过球心的线段称为球的宜径.

表示：用表示球心的字母表示.

知识总结：

1.棱柱、棱锥、院台的结构特征比较，如下表所示：

结构特征棱柱棱锥棱台

两个平面互相平行，其余各有一面为多边形，其用一个平行于棱锥底

面都是四边形，并且每相邻余各面是有一个公共面的平面去截棱锥，

定义两个四边形的公共边都互相顶点的三角形，这些底面与截面之间的部

平行，这些面围成的几何体面围成的几何体叫做分，这样的多面体叫

称为棱柱棱锥做棱台

两底面是相似的多边

底面两底面是全等的多边形多边形

形

侧面平行四边形三角形梯形

侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点

平行于底面的与底面是相似的多边与两底面是相似的多

与两底面是全等的多边形

截面形边形

过不相邻两侧

平行四边形三角形梯形

棱的截面

2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示:

结构特征圆柱圆锥圆台球

以直角三角形以半圆的直径所

以直角梯形垂直于

以矩形的一边所在的•条直角边在的直线为旋转

底边的腰所在的直

的直线为旋转轴，为旋转轴，其余轴，将半圆旋转一

线为旋转轴，其余

定义其余各边旋转而形各边旋转而形周所形成的曲面

各边旋转而形成的

成的曲面所围成的成的曲面所围称为球面，球面所

曲面所围成的几何

几何体叫做圆柱成的几何体叫围成的几何体称

体叫做圆台

做圆锥为球体，简称球

两底面是平行且半两底面是平行但半

底面圆无

径相等的圆径不相等的圆

侧面展开

矩形扇形扇环不可展开

图

母线平行且相等相交于顶点延长线交于一点无

平行于底面且

平行于底与两底面是平行且与两底面是平行且球的任何截面都

半径不相等的

面的截面半径相等的圆半径不相等的圆是圆

圆

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

3.简单几何体的分类:

.棱柱

多面体＜棱锥

棱台

简单几何体圆柱

圆锥

旋转体V

圆台

球

应用示例

思路1

例1下列几何体是棱柱的有（

①

④⑤

图2

A.5个B.4个C.3个D.2个

活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼,

切不可马虎大意.

棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两

个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，

几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.

答案：D

点评：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原因是忽视了棱柱必须有两个

面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且

和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述.

变式训练

1.下列儿个命题中，

①两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.

其中正确的有.一个.（）

A.1B.2C.3D.4

分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①是错误的：②

中两个底面互相平行，其余四个面都是等腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确：③中底

面不一定是正方形，所以③不正确：很明显④是正确的.

答案：A

2.下列命题中正确的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.棱台各侧棱的延长线交于一点

答案：D

3.下列命题中正确的是（）

A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

分析：以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆自，所以B不正确：圆锥仅有一个底面，

所以C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以D不正确.很

明显A正确.

答案：A

思路2

例1（2007宁夏模拟，理6）氏方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1,从A到C|沿长方体的表面的最

短距离为（）

A.1+V3B.2+V10C,3V2D.273

活动：解决空间几何体表面上两点间最短线路问题，一般都是将空间几何体表面展开，转化为求平面内两

点间线段长，这体现了数学中的转化思想.

解：如图3,在长方体ABCD—A|B|CQ|中，AB=3,BC=2,BBi=l.

如图4所示，将侧面ABB,A,和侧面BCGBi展开，

AtB,

ABC

图4

则有AC|=A/52+12=V26，即经过侧面ABB|A|和侧面BCGBi时的最短距离是426；

如图5所示，将侧面ABB.Ai和底面AiBiCiDi展开，

则有AC|=g2+32=372,即经过侧面ABBIAI和底面AiBCQi时的最短距离是3近；

图5

如图6所示，将侧面ADDiAi和底面A|B|C|D|展开，

B,Ci

A,/)

AD

图6

则有AC(=742+22=2V5,即经过侧面ADDIAI和底面ABC时的最短距离是2遍.

由于3近＜2石，3近＜底,

所以由A到Ci在正方体表面上的最短距离为3J5.

答案：C

点评：本题主要考查空间儿何体的简单运算及转化思想.求表面上最短距离可把图形展成平面图形.

变式训练

1.图7是边长为1m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，

将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.

L

图7图8

分析：制作实物模型(略).通过正方体的展开图8可以发现,AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长

A/22+12=后.由展开图可以发现,C点为其中一条棱的中点.具体爬行路线如图9中的粗线所示，我们要注

意的是爬行路线并不唯一.

解：爬行路线如图9(1)—(6)所示:

图9

2.(2006江西高考、理15)如图10所示，已知正三棱柱ABC—ABCi的底面边长为1,高为8,一质点

自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行咧用到达A1点的最短路线的长为.

图10

分析：将正三棱柱ABC—ABC|沿侧棱AAI展开，其侧面展开图如图11所示，则沿着三棱柱的侧面绕行

西用到达A1点的最短路线的长就是图II中AD+DA|.延长AF至M,僧A1F=FM,图DM,则AQ=DM,

如图12所示.

ABC£0)

Ai81G

图11图12

则沿着三棱柱的侧面绕行停用到达A,点的最短路线的长就是图12中线段AM的长.在图12中,AAAiM是

直角三角形，则AM=JAA；+A”=宜？+（1+1+1+1+1+1『=10.

答案：10

知能训练

1.（2007广东中山二模，文2）如图13,观察四个儿何体，其中判断正确的是（）

(1)(2)(3)(4)

图13

A.（1）是棱台B.（2）是圆台

C.（3）是棱锥D.（4）不是棱柱

分析：图（1）不是由棱锥截来的，所以（1）不是棱台；图（2）上下两个面不平行，所以（2）不是圆台；

图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；

很明显（3）是棱锥.

答案：C

2.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）

A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台

分析：圆柱的釉截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面,

所以A、B、D均不正确.

答案：C

3.（2007山东荷泽二模，文13）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图14所示，A、B、C是展开

图上的三点，则在正方体盒子中NABC=.

图14

分析：如图15所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点,

则NABC=90°.

图15

答案：90°

4.（2007山东东营三模，文13）有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图16所示.从3种不同

角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________.

分析：正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标

有S的面相邻的面共有四个，由这三个图，知这四个面分别标有字母H、E、0、p、d,因此只能是标有“p”

与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d,则O为正下面,

所以H的反面是O.

答案：O

5.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cn?,母线与轴的夹角是45。，

求这个圆台的高、母线长和底面半径.

分析：这类题目应该选取轴截面研究几何关系.

解：圆分的轴截面如图17,

图17

设圆台上、下底面半径分别为xcm和3xcm,延长AA1交001的延长线于S.

在RtZiSOA中，ZASO=45°,贝ljNSAO=45°.

所以SO=AO=3x.所以001=2x.

又,（6x+2x）2x=392,解得x=7,

2

所以圆台的高00i=14cm,母线长1=收001=14后（：01,而底面半径分别为7cm和21cm.

即圆台的高14cm,母线长14五cm,底面半径分别为7cm和21cm.

6.（2005全国高中数学竞赛浙江预赛，4）正方体的截平面不可能是

①钝角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五边形;⑤正六边形.

下述选项正确的是：（）

A.①②⑤B.①②④C.②③④D.③④⑤

分析：正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角

形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形

（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）.

答案：B

拓展提升

1.有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的儿何体是棱柱吗？

分析：如图18所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱,

因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱.

由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：①有两个面互相平行；②其

余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.这3个特征缺一不可，图18所示的几何体

不具备特征③.

2.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的儿何体是棱锥吗？

剖析：如图19所示，将正方体ABCD—ABCQi截去两个三棱锥A—AID和C—BQD”得如图20

所示的儿何体.

图20所示的几何体有一个面ABCD是四边形,其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不

是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥.

由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：①有一个面是多边形；②其

余各面都是三角形；③这些三角形面有•个公共顶点.这3个特征缺一不可，图18所示的儿何体不具备特

征③.

课堂小结

本节课学习了柱体、锥体、台体、球体的结构特征.

作业

1.如图21,甲所示为一几何体的展开图.

甲乙

图21

（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种儿何体？试用文字描述并画出示意图.

⑵需要多少个这样的儿何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？请在图乙棱长为6cm的正方体

ABCD—AIBIGDI中指出这几个几何体的名称.

答案：（1）有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图22甲所示.

图22

（2）需要3个这样的几何体，如图22乙所示.分别为四棱锥：A1—CDDiG，Ai—ABCD,A,—BCC^,.

2.如图23,在正三棱柱ABC—ABG中，AB=3,AA|=4.M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱

柱侧面经过棱CG到M的最短路线长为场，设这条最短路线与CG的交点为N,求P点的位置.

图23

分析：把三棱锥展开后放在平面上，通过列方程解应用题来求出P到C点的距离，即确定了P点的位置.

解：如图24所示，把正三棱锥展开后，设CP=x,

图24

根据已知可得方程22+（3+x尸=29.解得x=2.

所以P点的位置在离C点距离为2的地方.

设计感想

本节教学设计，充分体现了新课标的精神,按课程标准的要求：降低逻辑推理，通过直观感受和操作

确认来设计.在使用时、建议使用信息技术来处理图片和例题，否则会造成课时不足的矛盾.

备课资料

备用习题

1.下列说法错误的是（）

A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形

分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶

点当然必须围成四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数

相等，所以B正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，

所以D错误.

答案：D

2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为cm.

分析：n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五

条侧棱长的和为60cm,可知每条侧棱长为12cm.

答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中，如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能

是.

分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑

周全.

答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

4.如图25所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1、9、9、8、4、5,用这12个小

正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个?并求这些面上的数字和.

/4/5/

1998

/

4598

/

8

989

8

458

X

图25

分析：先求看得见的个数，再求看不见的面的个数，同样，先求这12个小正方体各个面上的数字的和，

再减去看得见的数字的和.

解：这12个小正方体，共有面数6x12=72个，图中看得见的面共有3+4x4=19个，

故图中看不见的面有72-19=53个，

12个小正方体各个面的数字的和为(1+9+9+8+4+5)x12=432,

而图中看得见的数字的和为130,

所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432-130=302,

即看不见的那些小正方体的面有53个，这些面上的数字和是302.

知识拓展

1.特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边

形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直

平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体.其中长方体对角线

的平方等于同一顶点上三条棱的平方和.

2.特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥,

正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体.

3.特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台各侧面等腰梯

形的高称为正棱台的斜高.

4.球心与球的截面圆心的连线垂直于截面.

5.规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称

为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.

(设计者：张新军)

1.1.2简单组合体的结构特征

整体设计

教学分析

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的学科，只有把我们周围的物体形状正确迅

速分解开，才能清醒地认识几何学，为后续学习打下坚实的基础.简单几何体（柱体、锥体、台体和球）是

构成简单组合体的基本元素.本节教材主要是为了让学生在学习了柱、锥、台、球的基础上，运用它们的结

构特征来描述简单组合体的结构特征.

三维目标

1.掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力.

2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究空间图形，培养学生的数学建模思

想.

重点难点

描述简单组合体的结构特征.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.在我们的生活中，酒瓶的形状是圆柱吗？我们的教学楼的形状是柱体吗？钢笔、圆珠笔呢？这些物

体都不是简单几何体，那么如何描述它们的结构特征呢？教师指出课题：简单儿何体的结构特征.

思路2.现实世界中的物体表示的儿何体，除柱体、锥体、台体和球体等简单几何体外，还有大量的儿何体

是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.

推进新课

新知探究

提出问题

①请指出下列几何体是由哪些简单儿何体组合而成的.

图1

②观察图1,结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？

③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎样的关系？

活动：让学生仔细观察图1,教师适当时候再提示.

①略.

②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.

③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.

讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、

锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成.图1（1）是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体

与多面体的组合体；图1（2）是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转体与旋转体的组合体；图1（3）

是一个球和一个长方体拼接成的，这是旋转体与多面体的组合体.

②常见的组合体有一:种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.

其基本形式实质上有两种：一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体，如图1（1）和（3）所示的组合

体；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1（2）所示的组合体.

③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的八个顶点在同•个球面上，此时

长方体称为球的内接长方体，球是长方体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2。一球与正方体

的所有棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°一球与正方体的所有面相切，则正方体

的棱长等于球的直径.

应用示例

思路1

例1请描述如图2所示的组合体的结构特征.

(2)

图2

活动：回顾简单儿何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.依据柱、锥、台、球的结构特征依

次作出判断.

解：图2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

图2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；

图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.

点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力.

变式训练

如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线1旋转180°,想象并说出它形成的儿何体的

结构特征.

答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.

例2连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点)，所得的一个几

何体是几面体？并画图表示该几何体.

活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连接相应点后,得出图形如图4(1),

再作出判断.

[=>

解：如图4(1),正方体ABCD—AIBICQI，0卜0?、。3、04>05>。6分别是各表面的中心.由点01、。2、

。3、。4、。5、。6组成了一个八面体，而且该八面体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图4(2)所

点评：本题中的八面体，事实上是正八面体——八个面都是全等的正三角形，并且以每个顶点为其一端，

都有相同数目的棱.由图还可见，该八面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间

一个四边形O2O3O4O5还是正方形，当然其他的如0102。6。4等也是正方形.为了增强立体效果，正方体应

画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的01。5、

€)6。5、。5。2、。5。4应画成虚线.

变式训练

连接上述所得的几何体的相邻各面的中心，试问所得的几何体又是几面体？

答案：六面体(正方体).

思路2

例1已知如图5所示，梯形ABCD中，AD〃BC,且ADVBC,当梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周

时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

图5图6

活动：让学生思考AB、AD、DC与旋转轴BC是否垂直，以此确定所得几何体的结构特征.

解：如图6所示，旋转所得的几何体是两个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体.

点评：本题主要考查空间想象能力以及旋转体、简单组合体.

变式训练

如图7所示，已知梯形ABCD中，AD〃BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时,

其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

图7图8

答案：如图8所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体.

例2如图9(1)、(2)所示的两个组合体有什么区别？

(1)⑵

图9

活动：让学生分组讨论和思考，教师及时点拨和评价学生.

解：图9(1)所示的组合体是一个长方体上面又放置了一个圆柱，也就是一个长方体和一个圆柱拼接成的

组合体；而图9(2)所示的组合体是一个长方体中挖去了一个圆柱剩余部分构成的组合体.

点评：考查空间想象能力和组合体的概念.

变式训练

如图10,说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成？

*

⑴⑵

图10

答案：图10（1）中的几何体可以看作是由一个圆柱和•个圆锥拼接而成；图10（2）中的螺帽可以近似

看作是一个正六棱柱中挖掉一个圆柱构成的组合体

知能训练

1.（2005湖南数学竞赛，9）若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正

方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（）

A.64B.66C.68D.70

分析：由2、3、5的最小公倍数为30,由2、3、5组成的棱长为30的正方体的一条对角线穿过的长方体

为整数个，所以由2、3、5组成棱长为90的正方体的一条对角线穿过的小长方体的个数应为3的倍数.

答案：B

2.图11是,个奖杯，可以近似地看作由哪几种几何体组成？

答案：奖杯的底座是一个正棱台，底座的上面是一个正四棱柱，奖杯的最上部，在正棱柱上底面的中心放

着一个球.

拓展提升

1.请想一想正方体的截面可能是什么形状的图形？

活动：静止是相对的，运动是绝对的，点动成线，线动成面.用运动的观点看几何问题的形成，容易建立空

间想象力，这样对于分割和组合图形是有好处的.

明确棱柱、棱锥、棱台等多面体的定义及圆柱、圆锥、圆台的生成过程，以及柱、锥、台的相互关系，对

于我们正确的割补图形也是有好处的.

对于正方体的分割，可通过实物模型，实际切割实验，还可借助于多媒体手段进行切割实验.对于切割所得

的平面图形可根据它的定义进行证明，从而判断出各个截面的形状.

探究：本题考查立体几何的空间想象能力，通过尝试、归纳，可以有如下各种肯定或否定性的答案：

（1）截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形.

（2）截面三角形是锐角三角形，截面三角形不能是直角三角形、钝角三角形.

（3）截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形：截面为四边形时，这个

四边形至少有一组对边平行.

（4）截面不能是直角梯形.

（5）截面可以是五边形：截面五边形必须有两组分别平行的边，同时有两个角相等；截面五边形不可能

是正五边形.

（6）截面可以是六边形：截面六边形必须有分别平行的边，同时有两个角相等.

（7）截面六边形可以是等角（均为120。）的六边形，即正六边形.

截面图形如图12中各图所示:

(I)(2)(3)(4)(5)

图12

课堂小结

本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.

作业

习题1.1A组第3题：B组第2题.

设计感想

本节教学设计依据课程标准的要求：利用实物模型、计算机软件观察大量立体图形，认识简单组合体

的结构特征，并能运用这些特征描绘现实生活中简单物体的结构.在教学时，尽量多给学生一些图片，以便

学生形成直观感知，初步获得感性认识.

备课资料

备用习题

1.试描述图13轴承所示的承架的结构特征.

图13

答案：底板：其外部结构是一个长方体；半圆头竖板：其下部是一个长方体，上部是半个圆柱，中间挖了

一圆柱孔.

2.如图14,四边形ABCD绕边AD所在直线EF旋转，其中AD〃BC,AD1CD,当点A选在射线DE上

的不同位置时，形成的儿何体大小、形状不同，比较其异同点.

图14

答案：当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体为底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成;

当AD=BC时-，四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体为圆柱；

当0<AD<BC时;四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体为圆柱中挖去•个同底的圆锥；

当AD=O时、四边形ABCD绕EF旋转一周所得几何体为圆柱中挖去一个同底等高的圆锥.

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.2.1中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图

整体设计

教学分析

在上一节认识空间几何体结构特征的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空

间几何体结构特征的认识.主要内容是：画出空间几何体的三视图.

比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的一个前提.因此，本节内容是立体儿何的基础之一，教学

中应当给以充分的重视.

画三视图是立体几何中的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力.“视图”

是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“正视

图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图用这三种视图

即可刻画空间物体的几何结构，这种图称之为“三视图”.

教科书从复习初中学过的正方体、长方体……的三视图出发，要求学生自己画出球、长方体的三视图；

接着，通过“思考”提出了“由三视图想象几何体”的学习任务.进行几何体与其三视图之间的相互转化是高中

阶段的新任务，这是提高学生空间想象力的需要，应当作为教学的一个重点.

三视图的教学，主要应当通过学生自一的亲身实践，动手作图来完成.因此，教科书主要通过提出问题，

引导学生自一动手作图来展示教学内容.教学中，教师可以通过提出问题，让学生在动手实践的过程中学会

三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单几何体的组合体，在作三视图之前应当提醒学生细心观察，认

识了它的基本结构特征后，再动手作图.教材中的“探究”可以作为作业，让学生在课外完成后，再把自己的

作品带到课堂上来展示交流.

值得注意的问题是三视图的教学，主要应当通过学生自己的亲身实践、动手作图来完成.另外，教学中

还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图

形.

三维目标

1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养

学生转化与化归的数学思想方法.

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并能识别上述三视图

表示的立体模型，会用材料（如纸板）制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识.

重点难点

教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象出原实际图的结构特征.

教学难点：识别三视图所表示的几何体.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.能否