【高考理数】导数的简单应用与定积分（解析版）

2020年高考数学(理)总复习：导数的简单应用与定积分

题型一导数的几何意义及导数的运算

【题型要点解析】

(1)曲线y=/W在点x=网处导数外府)的几何意义是曲线y=/W在点F\x0,小动处的

切线的斜率,即k=，(对,由此当,(府)存在时，曲线片虫)在点F\XQ,/(置))处的切线方程

为y-=fW}[x-为.

(2)过。点的切线方程的切点坐标的求解步骤：①设出切点坐标；②表示出切线方程；

③已知点。在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标.

⑶①分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式

函数；②对数函数的求导，可先化为和、差的形式；③三角函数的求导，先利用三角函数的

公式转化为和或差的形式；④复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.所

谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.

1

例1.函数4M=[Inx+g-6x+a(b>0,awR)的图象在点(6,46))处的切线的倾斜

角为a,则倾斜角a的取值范围是()

陪母

唁")

1111

【解析】】依题意得/w=-一+2x-6"(6)=&+生2当且

11

仅当北S。，即结时取等号,因此有tana>l,gp-<a<-,即倾斜角a的取值范围

1

是］,却，选B.

［42；

【答案】B

例2.若实数a,b,c,d满足(b+*-3lna)2+(c--+2)2=0,则(a-c)2+(b-乔

的最小值为()

A.#B.2

C.2#D.8

【解析】因为实数a,b,c,d满足(b+#-31na)2+(c-d+2)2=0,所以6+存

-3lna=0,设/?=_/,a=x,贝!］有y-3lnx-x2,由c-d+2=0,设d=y,c=x,则有

y=x+2,所以(a-#+(6_赤就是曲线y=3|n解与直线y=x+2之间的最小距离的

33

平方值，对曲线片3lnx-%求导，=--2x与平行y=x+2平行的切线斜率攵=1=--

XX

3

2x,解得x=1或x=-5(舍去)，把x=1代入片3lnx-解，解得y=-1,即切点(1,-

|1+1+2|

1)，则切点到直线y=x+2的距离为/=#=2#,所以2=8,即(a-第+(6-

@2的最小值为8,故选D.

【答案】D

题组训练一导数的几何意义及导数的运算

1.若直线y=kx+。是曲线片Inx+2的切线，也是曲线片In(x+1)的切线，则b

=()

2

1

A.1

C.1-In2D.1-2ln2

11

【解析】对于函数片Inx+2,切点为（「，5）/=；,攵=7对于函数片1|1（*+1）,

切点为（夕,⑦，y=777,

X十-L

11q-s(Inr+2)-In(p+1)

斜率k---

rP+1p-rr-p

7=2

111

解彳导：jr=2，P=-Q,s=lnr+2=In5+2=2-In2,

、s=q+2

1

代入P=2x+6,2-In2=2x（5）+/?,得：Z?=1-In2.

【答案】C

2.在直角坐标系xQ/中，设户是双曲线C:刈=1（心0）上任意一点，/是曲线C在点

。处的切线，目/交坐标轴于46两点，则以下结论正确的是（）

A.△046的面积为定值2

B.△的面积有最小值为3

C.4的面积有最大值为4

D.△0/6的面积的取值范围是[3,4]

3

【解析】设"是双曲线"=1上任意一点，其坐标为外加,为)，经过。点的切线方

11

程为片kx+6.双曲线化为片一形式，p对x的导数为/=,

X

111xo-yb+1

在。点处导数为-三，切线方程为3-%)=-三―加)，令x=0)=%+—=----------

於AoXQXQ

2

=~=2y,(其中府•次=1),则切线在"轴截距为2次，令片0,x=2比，则切线在x轴

At)0

1

截距为2府，设切线与两坐标轴相交于48两点构成的三角形为OABS，OAB=^OA\\OB\

1

=习刈」故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为

22%|=2\x0-y0\=2,2.

【答案】A

题型二利用导数研究函数的单调性

【题型要点解析】

求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归

结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：

(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论.

(2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.

【提醒】讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限

制.

例1.已知函数/(用=必+alnx

(1)当a=-2时,求函数芥M的单调区间；

4

2

（2）若［M=KM+一，在［1,+8）上是单调函数，求实数a的取值范围.

X

2

【解】（l），（M=2x--,令，（切>0,得%>1;

X

令/«<0，得0<x<l,所以/W的单调递增区间是Q,+8）,

单调递减区间是（0,1）.

2a2

⑵由题意aM=^+alnx+—,0（M=2x+--松，

若函数为［1,+8）上的单调增函数，则在［1,+8）上恒成立，

22

即<3>--2/在［1,+8）上恒成立，设仪M=--2后

XX

,.9（切在［1,+8）上单调递减，二夕（Mmax=仪1）=0,

..a>Q;

若函数aM为［1,+8）上的单调减函数，则a（M40在口，+8）上恒成立,不可能.

二实数a的取值范围为［0,+oo）.

题组训练二利用导数研究函数的单调性

3g+ax

设函数制）=——（aGR）.

e%

⑴若/W在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线片/W在点（1,"））处的切

线方程；

⑵若/W在［3,+8）上为减函数，求a的取值范围.

5

(6x+a)ex-(3A2+ax)ex

【解析】⑴对心)求导得f⑻=-----------------

-3层+(6-a)x+a

因为伪在x=0处取得极值，所以/(0)=0,即a=0.

-3A2+6x

当a=0时，/W=----；—，故")=-J(l)=一，从而/W在点(1,XD)

exexee

33

处的切线方程为外&=Jx-1),化简得3x-ey=0.

-3A2+(6-a)x+a

(2)由(1)知f⑻

令g(M=-3*+(6-a)x+a,

6-a-J用+36

由IM=0,解得Ai=-------------,

6-a+d/+36

X2=6

当时，g(M<0,即，(M<0,故KM为减函数;

当的<,<及时，g(M>0,即，(M>0,

故4M为增函数；

当%>加时，史)<0,即/«<0,故为减函数.

6-a+、*+369

由/W在[3,+⑼上为减函数,知3——43,解得*-5，故，的取值

范围为一:，+°0]

题型三利用导数研究函数的极值(最值)问题

6

【题型要点解析】

(1)利用导数研究函数的极值的一般思想：①求定义域；②求导数f⑻;③解方程f⑻

=0,研究极值情况；④确定/(Ab)=0时附左右的符号，定极值.

(2)求函数y=XM在［a，句上最大值与最小值的步骤：

①求函数y=在(a,内的极值；②将函数y=AM的极值与端点处的函数值g,

［◎比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

(3)当极值点和给定的自变量范围关系不明确时，需要分类求解，在求最值时，若极值

点的函数值与区间端点的函数值大小不确定时需分类求解.

例1.设函数G(M=-nx+(1-A)ln(1-A).

⑴求G(M的最小值；

a+1

⑵记G(M的最小值为c,已知函数4M=2aex+c+-----2(a+l)(a>0),若对于任意

X

的xe(O,+8),恒有^>0成立，求实数a的取值范围.

x1

【解】⑴由已知得0<x<l召(M=Inx-In(1-M=In--.令G(M<0得0<xq;

.L—X/

令G(M>0，得鼻<1,所以G(M的单调减区间为,单调增区间为［川.

从而G(Mmin=G、］=ln-=-In2.

a+la^-ex-(a+1)

(2)由⑴中-In2,得KM=ae+-----2(a+1).所以f(K=-------------.

令g｛瓷=a层e-(a+1),贝！］g(R=a*2+Me*〉。,所以g(M在(0,+8)上单调递增，

7

因为［0)=-(a+1),且当尸+8时，］M>0,

所以存在At)e(O,+⑹，使［向=o,且/(M在(0,3)上单调递减，在(府，+网上单

调递增.

—一a+1_—

因为［炖)=a^)-exo-(a+1)=0,所以加=a+1,即衣加=——,因为对于任

Au

3+1

意的XE(0,+8),恒有心成立，所以心)min=［府)=裾次+-----2(a+1)>0,所

a+1a+111

以KF-23型。，毁+£2“,即2弟-X0-14。,

1a+1__

所以加41.因为a弟-e加=a+l,所以»-eAb=--->1.又利>0,所以0<加41,

2a

_一a+11

从而^)-exo<e,所以1<---<e,故a>—

ae-1

题组训练三利用导数研究函数的极值(最值)问题

a/+bx+c

已知函数=---------(a>0)的导函数片尸⑴的两个零点为-3和0.

(1)求/W的单调区间；

(2)若/W的极小值为-e3,求/w在区间［-5,+8)上的最大值.

C2ax+b)ex-(a^+bx+c)e%-a^-+(2a-b)x+b-c

【解】(1)/W=---------------------=---------;---------

(e)ex

令=-抑2+(2a-b)x+b-c,

因为ex>0,所以y=F(M的零点就是g(x)=-ax^+(2a-b)x+b-c的零点且F(M与

符号相同.

又因为a>0，所以当-3<x<0时，p(M>0，即，(M>0，当x<-3或%>0时，pW<0,

8

即/«<o,

所以的单调递增区间是（-3,0）,

单调递减区间是（-8,-3）,（0,+CO）.

⑵由⑴知，x=-3是/W的极小值点，

"9a-3b+c

e-3"

所以有:

g0)=5-c=0,

-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,

M+5x+5

解得a-1,b-5,c-5,所以/（M=；.

ex

因为AM的单调递增区间是（-3,0）,

单调递减区间是（-3）,（0,+OO）,

所以40）=5为函数/W的极大值，

5

故/W在区间［-5,+河上的最大值取代5）和40）中的最大者而小5）=—=5e5>5

e-5

=AO）,所以函数立）在区间［-5,+⑼上的最大值是5e5.

题型四定积分

【题型要点解析】

Q）求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步

骤：①把被积函数变为幕函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；②利用定

积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差，•③分别用求导公式找到尺M，使得F

9

(M=AM;④利用牛顿一一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值.有

些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分.

(2)求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算

与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，

其一般步骤：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下

限；③确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；④计算卜枳分，求出平面图形的面

积.

[口仅，问-1,1).2

例1.设/w=V，则/Wdx的值为（）

^-l,xe[l,2]L

n4Tl

Ai+i1B-+3

TT4n

1D-+3

4

l）dx='|lixl2+।=

【解析】J：[1-必dx+J：(4-

TT4

~+~,故选A.

【答案】A

例2.£[jl—叱+|Jdx=______.

【解析】J。J41^+dx=£d1-层dx+pl11*111pl/

-xdx,-xdx=-,\A/l-A2

Jo2Jo24Jov

10

n+1

dx表示四分之一单位圆的面积，为I,所以结果是一

TT+1

【答案】丁

例3.由曲线%*+1,直线片-x+3,x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积

为（）

10

A.3BT

78

C3吗

【解析】由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,

r

/=^+1x=-2x=1,3

由,,解得,(舍去)或,即4L2),结

[y=-x+3匕=5"=2

合图形可知，所求的面积为（（A2+l）dX+|x22=Q10

—d+%|3+2=百，选

B.

【答案】B

题组训练四定积分

1.已知总+总=2#，若/

(必-2Mdx=()

1i

B.

3

11

22

D--i

【解析】依题意，缶］+»^=2#nsin夕+cos9=2#sin”osu/sin(0+

TT/~TCTTptan。ptan。

N=q2sin2夕，因为夕W(0,5),所以0=1,故L(M-2Mdx=L-1(M-2Mdx

M2

=g-g)1=1选c

【答案】C

2.函数y=f(sinx+cosAsinMdx的最大值是

*0

【解析】y-f(sinx+cosAsinMdx

JO

fsinx+—sin2xdx

J。I2

1c15

-cosx——cos2x=-cost-二cos2^+7

4o44

151

=-cost--(2cos2t-1)+-=--(cost+1)2+2,

当cos1=-1时，K1ax=2.【答案】2

【专题训练】

一、选择题

11

1.已知变量a,6满足8=-”2+3lna(a>0),若点Q(m,〃)在直线y=2x+~±,

则(a-m)2+(b-〃)2的最小值为()

12

A.9

9

C-5D.3

11

【解析】令y=3lnx-5层及片2x+-,则(a-ni)2+(b-ri)2的最小值就是曲线片

1113

3lnx-m2上一点与直线y=2x+5的距离的最小值,对函数片3lnx-求导得：/

13

x,与直线y=2x+5平行的直线斜率为2,令2=--x得x=1或x=-3(舍)，贝x=1,得

/X

113、"9

到点Q,-5)到直线y=2x+Q的距离为弓一,贝U(a-M产+(6-”的最小值为(手)=-

【答案】C

2.设aGR,若函数y=e"+3x,xGR有大于零的极值点，则()

A.a>-3B.a<-3

11

C.a>--D.a<--

【解析】/=aeax+3=0在(0,+8)上有解，即aeax=-3,「口>0，二a<0.又当

a<0时，0<eax<l,要使aeax--3,则a<-3,故选B.

【答案】B

3.已知函数例=2--+3x,若对于任意的aw[l,2]力直2,3],函数右)在区间[a,

切上单调递减，则实数r的取值范围是()

A.(-OO,3]B.(-oo,5]

C.[3,+oo)D.[5,+oo)

13

【解析】YM=M-N+3x,"(M=3必-2块+3,由于函数在⑶句上单调

递减，则有/W<0在［a，句上恒成立,即不等式3/-2次+340在［a,句上恒成立,即有

企翡+小在［a,句上恒成立，而函数y寸x+£|在［1,3］上单调递增，由于ae［l,2］,

6w(2,3］,当6=3时，函数_/='1%+-］取得最大值，即^^='。+!］=5,所以也5,

故选D.

【答案】D

4.已知函数/W=铲-ln(x+a)(aGR)有唯一的零点府，(e=2.718…)则()

111

A.-1<加<--B..5<加

11

C.-~<XQ<0D.0<XQ<~

1

【解析】函数止"ln(x+a)(awR),则g-a,可得3/M=

111

铲+小^亘大于°"(源增函数,令"=°，则，有唯一解时,8=嬴-

Xo，代入可得：

1

4加)=exo-ln(At)+a)=exo-ln()=e府+迎，

e/

11

由于仆b)是增函数，仆1)*-0.634--)«0.11,所以m)=0时，-l<x0<-5.故

选A.

【答案】A

5.定义在(0,+8)上的函数也满足/W>2(x+,XM,其中为例的导函数,

14

则下列不等式中，一定成立的是（）

Q)Q)

A./(1)>—>—

B争孚等

234

,42)十3)

C./(1)<—<—

<1)44)49)

D.----<-----<-----

234

【解析】•YM>2（x+,，（M,

1），（M，

1，

・MM-r>(5+1)(M.

2-x

r1

/(取山+1)-/W丁r<o,■■(~r~y<°'

Xx+1

4M

设P(M=—j=一,则函数在（0,+8）上递减,

、/x+1

O格)49)

故次l)>g(4)>g(9),B.

【答案】B

f（3-KB

6.已知函数AM在R上可导，其导函数为，（M,若,（M满足------>0,p=

X~X

K/-M

于直线x=l对称，则不等式工加。）的解集是（）

15

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(-1,0)U(1,2)D.(-OO,0)U(1,+8)

KB，(M-IM

【解析】令g(M二，则。(M=

■------->o，当心i时，r(M-/w>o,

x-1

则O(M>0，，/M在(1,+8)上单调递增;

当x<l时，-/W<0,则0(M<O,

在(-8,1)上单调递减.

及*-M

,.g(0)=醺)，，不等式40)

e/-x

即为不等式灰炉-切<40).

17=个关于直线x=1对称，二/-小2,

，0<*-x<2,解得-l<x<0或1<%<2,故选C.

【答案】C

7.已知偶函数q)(片0)的导函数为f⑻,且满足心)=0,当%>0时，,

则使得/W>0成立的x的取值范围是()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(-l,0)U(l,+oo)D.(-1,0)U(0,1)

KB2•而

【解析】根据题意，设函数g(M=1(右0),当此0时，=-----------<0,

16

说明函数g(M在(0,+8)上单调递减，又为偶函数，所以g(M为偶函数，又＜1)=0,

所以g(l)=0,故g(M在(-1,0)u(0,1)上的函数值大于零，即虫)在(-1,0)u(0,1)上的函数

值大于零.

【答案】D

8.定义在上的函数e,是它的导函数，且恒有/W＜，(M-tanx成立，则

()

A何升何?JB.Xl)<2彳"sin1

♦伯陪)

【解析】构造函数.捐

，(Msinx-{Mcosx(

则「即sin2%＞0，/卜

从而有出=黑在［。,3上为增函数，所以有2今

v7v7sin—sin—

63

3小)故选口

【答案】D

二、填空题

9.已知曲线/(M=acosx与曲线g(M=;0+6x+1在交点(0,m)处有公切线，则实数

a+6的值为___________.

17

【解析】因为两个函数的交点为(0,m),:.m=acosO,m=02+6x0+1,：.m=1,

a=1,"6,g(M在(0,m)处有公切线,"(0)=^(0),-sin0=2x0+d,：.b=0,：.a

+b=1.

【答案】1

10.已知函数/W是定义在R上的奇函数，且当xe(0,+⑼时，都有不等式/(M+xf

(M>0成立，若3=4。2[4。2),6=(10943)/(10943),c=，则a,6,

c的大小关系是.

1

【解析】根据题意，令g(M=MM，则a=-4。2),Z7=p(log43),c=-log4五)有

式===，则g(M为偶函数，又由0(M=(M'/W+M(M=

+,又由当板(0,+8)时，都有不等式大M+M(M>0成立，则当%e(0,+8)

1

时，有0(M>O,即g(M在(0,+8)上为增函数，分析可得|1。94五|>|4。2|>||0943|,则有

c>a>b;故答案为：oa>b.

【答案】oa>b

11.已知函数XM=*lnx-叫有两个极值点，则实数a的取值范围是_______.

【解析】令f(必=lnx-ax+x[,一a]=lnx-2ax+1=0,得Inx=lax-1.因为

函数/W=Mlnx-函有两个极值点，所以f(K=Inx-2ax+1有两个零点，等价于函数y

=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0,-

11

1)作y=Inx的切线，设切点为(府，次)，则切线的斜率k:一,切线方程为片一x-1.切点

加XQ

1Xo

在切线片一x-1上，则乂)=1-1=0,又切点在曲线y=Inx上，则In4=0,.,.加=1,

18

即切点为(LO),切线方程为y=x-1.再由直线y=2ax-1与曲线片Inx有两个交点,知

直线y=2ax-1位于两直线y=0和y=x-1之间,其斜率2a满足0<2a<l,解得实数a

的取值范围是.

【答案】[0,£|

12.曲线y=2sin*04X4TT)与直线片1围成的封闭图形的面积为.

1115Tl

【解析】令2sinx=1,得sinx=;,当x£[0,川时，得x二展或x一,所以所求

266

5TI

5nn6

面积S-f-(2sinx-l)dx=(-2cosx-A)T

66TI

6

【答案】2^/3-y

三、解答题

13.已知函数4M=ae2x+(a-2)e*-x.

Q)讨论的单调性；

(2)若/W有两个零点，求a的取值范围.

【解析】(1)/W的定义域为(-8,+8)/(M=2羽2*+.-2)e*-1=(非、-1)(21

+1),

(i)若a<0，则/W<0,所以心)在(-oo,+⑼单调递减.

19

(ii)若a>0,则由=0得x=-Ina.

当xe(-8,-Ina)时，，(M<0;当xe(-lna,+切时，-(切>0,所以伪在(-

8,-Ina)单调递减，在(-Ina,+8)单调递增.

⑵(i)若a<0,由⑴知，至多有一个零点.

1

(ii)若a>0,由(1)知，当x=-Ina时，AM取得最小值，最小值为X-Ina)=1--+In

a