2019年山东省济宁市中考数学试卷（解析版）

2019年山东省济宁市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求

1.（3分）（2019•济宁）下列四个实数中，最小的是（）

A.-近B.-5C.1D.4

【考点】22：算术平方根；2A：实数大小比较.

【专题】511：实数.

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值

大的反而小，据此判断即可.

【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得

-5<-A/2<1<4,

所以四个实数中，最小的数是-5.

故选：B.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:

正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

2.（3分）（2019•济宁）如图，直线°,6被直线c,1所截，若/1=/2,Z3=125°,则

【考点】JB：平行线的判定与性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线；64：几何直观.

【分析】首先证明〃〃b,推出N4=N5,求出N5即可.

【解答】解：・.・N1=N2,

.\a//b,

：.Z4=Z5,

VZ5=180°-Z3=55

：.Z4=55°,

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

3.（3分）（2019•济宁）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；

2、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

。、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.

故选：A.

【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边

图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合.

4.（3分）（2019•济宁）以下调查中，适宜全面调查的是（）

A.调查某批次汽车的抗撞击能力

B.调查某班学生的身高情况

C.调查春节联欢晚会的收视率

D.调查济宁市居民日平均用水量

【考点】V2：全面调查与抽样调查.

【专题】542：统计的应用；65：数据分析观念.

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调

查得到的调查结果比较近似解答.

【解答】解：4调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；

8、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故8选项正确；

C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；

。、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故。选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考

查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的

意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选

用普查.

5.（3分）（2019•济宁）下列计算正确的是（）

A.,（-3）2==B.返=相C.V36=+6D.-VO.36=-0.6

【考点】22：算术平方根；24：立方根.

【专题】514：二次根式；61：数感；66：运算能力.

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案.

【解答】解：A、斤=3,故此选项错误；

B、牛石=-我，故此选项错误；

C、倔=6,故此选项错误；

D、-Vo.36=-0.6,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题

关键.

6.（3分）（2019•济宁）世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设，“孔夫子家”自

此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输500

兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率

为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（）

A500_500=《5B500_500=45

C5000_500=45D500_5000=45

xx

【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】直接利用5G网络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案.

【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输无兆数据，依题意，可列方程是：

-5-0-0-.5.0.0-—4435.

X10x

故选：A.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等式是解题关键.

7.（3分）（2019•济宁）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个

面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）

【考点】16：几何体的展开图.

【专题】16：压轴题.

【分析】由平面图形的折叠及几何体的展开图解题，注意带图案的一个面不是底面.

【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；

选项B能折叠成原几何体的形式；

选项。折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同.

故选：B.

【点评】本题主要考查了几何体的展开图.解题时勿忘记正四棱柱的特征及正方体展开

图的各种情形.注意做题时可亲自动手操作一下，增强空间想象能力.

8.（3分）（2019•济宁）将抛物线y=/-6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单

位长度后，得到的抛物线解析式是（）

A.y=（尤-4）2-6B.y=（x-1）2-3C.y=（x-2）2-2D.y=（x-4）2-2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力；68：模型思想.

【分析】先把y=/-6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3,-4）,再把点（3,

-4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4,-2）,然

后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.

【解答】解：y=f-6x+5=（尤-3）2-4,即抛物线的顶点坐标为（3,-4）,

把点（3,-4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4,

-2）,

所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x-4）2-2.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故。不

变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点

平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出

解析式.

9.（3分）（2019•济宁）如图，点A的坐标是（-2,0）,点8的坐标是（0,6）,C为OB

的中点，将△ABC绕点8逆时针旋转90°后得到B'C.若反比例函数y=K的

x

图象恰好经过A'2的中点。，则上的值是（）

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】作A'H_Ly轴于证明△AOBg△BttV（44S）,推出。4=8"，OB=A'

H,求出点A'坐标，再利用中点坐标公式求出点。坐标即可解决问题.

【解答】解：作A'轴于X.

.0•••

.*ZAOB=ZA'HB=ZABAr=90°,

••NA50+NA，BH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

\ZBAO=ZA'BH,

：BA=BAr,

,・AAOB^ABHA'(A4s),

•・OA=BH,OB=A'H,

••点A的坐标是(-2,0),点3的坐标是(0,6),

\。4=2,05=6,

•・BH=OA=2,ArH=OB=6,

•・OH=4,

•・A，(6,4),

：BD=ArD,

\D(3,5),

.•反比例函数y=K的图象经过点D,

9.k=15.

故选：C.

【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压

轴题.

10.（3分）（2019•济宁）已知有理数aWl,我们把」一称为a的差倒数，如：2的差倒数

是-^=-1,-1的差倒数是————=4-如果。1=-2,（12是ai的差倒数，。3是。2

1-(-1)2

的差倒数，44是〃3的差倒数...依此类推，那么G1+Q2+…+4100的值是（）

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

【考点】17：倒数；37：规律型：数字的变化类.

【专题】2A：规律型.

【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以-2,1,上依次循环，且-2+1+上

3232

=-1，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案.

6

【解答】解：：m=-2,

••6E2=—--=--，43=\~=--，6f4=c~~-2,.........

1-（-2）32-

32

这个数列以-2,1,上依次循环，且-2+工+乡=-1,

32326

V1004-3=33—l,

11K

；.。1+。2+…+aioo=33X（--）-2=--7.5,

62

故选：A.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的

因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11.（3分）（2019•济宁）己知x=l是方程尤2+法-2=0的一个根，则方程的另一个根是

2.

【考点】A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程-因式分解法.

【专题】11：计算题.

【分析】根据根与系数的关系得出XIX2=£=-2,即可得出另一根的值.

a

【解答】解：〈xn是方程-2=0的一个根，

.*.X\X2=—=-2,

a

：.1XX2=-2,

则方程的另一个根是：-2,

故答案为-2.

【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解

决问题的关键.

12.（3分）（2019•济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是」0：

【考点】L3：多边形内角与外角.

【专题】555：多边形与平行四边形.

【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（”-2）求出该多边形的内角和，再求出每一

个内角的度数.

【解答】解：该正九边形内角和=180°X（9-2）=1260°,

则每个内角的度数=丝g—=140°.

9

故答案为：140°*

【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（"-2）,比较简单，解答本题的

关键是直接根据内角和公式计算可得内角和.

13.（3分）（2019•济宁）已知点P（无，y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y为整数），写

出一个符合上述条件的点P的坐标（1,-2）（答案不唯一）.

【考点】D1：点的坐标.

【专题】531：平面直角坐标系.

【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出无，y的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：:.点P（x,y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y为整数），

.'.x>0,y<0,

工当％=1时,lWy+4,

解得：0>y2-3,

.♦.y可以为：-2,

故写一个符合上述条件的点尸的坐标可以为：（1，-2）（答案不唯一）.

故答案为：（1,-2）（答案不唯一）.

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键.

14.（3分）（2019•济宁）如图，。为直角边AC上一点，以OC为半径的。0与

斜边相切于点£»,交04于点E,已知BC=«,AC=3.则图中阴影部分的面积是

2L

【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC,进而由AD=AB-BD可求

出A。的长度；利用特殊角的锐角三角函数可求出/A的度数，则圆心角NOO4的度数

可求出，在直角三角形0D4中求出。。的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部

分的面积.

【解答】解：在RtZxABC中，AC=3.

•••AB=hc2+BC2=2a'

-：BC±OC,

是圆的切线，

,/Q0与斜边AB相切于点D,

：.BD=BC,

：.AD=AB-BD=2M-眄=如；

在RtaABC中，：sinA=T=』L=』

AB2V32

AZA=30°,

,/O。与斜边AB相切于点D,

：.OD±AB,

：.ZAOD=90°-NA=60°,

-^5-=tanA=tan300,

AD

OP_V3

7F亍

：.OD=\,

60兀Xl2兀

阴影

360T

故答案是：2L.

6

【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，熟记和圆有关

的各种性质定理是解题的关键.

15.（3分）（2019•济宁）如图，抛物线与直线>=如+〃交于A（-1,p）,B（3,

q）两点，则不等式af+mx+c”的解集是-3或%>1.

【考点】HC：二次函数与不等式（组）.

【专题】535：二次函数图象及其性质.

【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论.

【解答】解：J•抛物线>=以2+。与直线丁=如汁〃交于A（-1,夕），B（3,q）两点，

-m+n=p,3m+n=q,

「・抛物线与直线>=-如十"交于尸（1,〃），。（一3,q）两点，

观察函数图象可知：当工〈-3或%>1时，直线y=-加什几在抛物线>=以2+法+。的下

方，

不等式aj?+mx+c>n的解集为x<-3或x>1.

故答案为：xV-3或x>l.

【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的

解集是解题的关键.

三、解答题：本大题共7小题，共55分，

16.（6分）（2019•济宁）计算：6sin60°-V12+（―）°+“5-2018|

2

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数累；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】11：计算题；511：实数.

【分析】本题涉及零指数塞、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简4个考点.在

计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

【指军答】解：原式=6义苧_2«+l+2018~V5，

=2019.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.（7分）（2019•济宁）某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间随机调查了

部分学生，调查结果按性别整理如下：

女生阅读时间人数统计表

阅读时间f（小时）人数占女生人数百分比

0^/<0.5420%

0.5W/V1m15%

525%

1.5W/V26n

2W/V2.5210%

根据图表解答下列问题：

（1）在女生阅读时间人数统计表中，m=3,n=30%；

（2）此次抽样调查中，共抽取了50名学生，学生阅读时间的中位数在1W/V1.5

时间段；

（3）从阅读时间在2〜2.5小时的5名学生中随机抽取2名学生参加市级阅读活动，恰好

抽到男女生各一名的概率是多少？

男生阅读时间频数分布直方图

人数（人）

A

12■12

【考点】V2：全面调查与抽样调查；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；W4：

中位数；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】（1）由0Wf<0.5时间段的人数及其所占百分比可得女生人数，再根据百分比的

意义求解可得；

（2）将男女生人数相加可得总人数，再根据中位数的概念求解可得；

（3）利用列举法求得所有结果的个数，然后利用概率公式即可求解.

【解答】解：（1）女生总人数为4・20%=20（人），

.,./77=2OX15%=3,X100%=30%,

20

故答案为：3,30%；

（2）学生总人数为20+6+5+12+4+3=50（人），

这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在范

围内，

学生阅读时间的中位数在时间段，

故答案为:50,iwyi.5；

（3）学习时间在2〜2.5小时的有女生2人，男生3人.

女女男勇男

/'/W/N/Z/Z

女男男男女男男男女女男男女女男男女女男男

共有20种可能情况，则恰好抽到男女各一名的概率是丝=3.

205

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图

获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

18.（7分）（2019•济宁）如图，点M和点N在乙4。8内部.

（1）请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等，且到ZAOB两边的距离也相等

（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）请说明作图理由.

【考点】KF：角平分线的性质；KG：线段垂直平分线的性质；N3：作图一复杂作图.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图；

（2）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质解答.

【解答】解：（1）如图，点、P到点M和点N的距离相等，且到NA03两边的距离也相

李；

（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的

【点评】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本

作图的一般步骤、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键.

19.（8分）（2019•济宁）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小

于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进.图中的折线表示两人之间的距

离y与小王的行驶时间无（力）之间的函数关系.

请你根据图象进行探究：

（1）小王和小李的速度分别是多少？

（2）求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得王和小李的速度；

（2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标，从而可以解答本题.

【解答】解：（1）由图可得，

小王的速度为：304-3=10W/z,

小李的速度为：（30-10X1）+l=20km/h,

答：小王和小李的速度分别是10km/h,2Qkm/h；

（2）小李从乙地到甲地用的时间为：304-20=1.5//,

当小李到达甲地时，两人之间的距离为：10X1.5=15）tm,

.,.点C的坐标为（1.5,15）,

设线段BC所表示的y与x之间的函数解析式为y=kx+b,

产0,得产。,

ll.5k+b=15lb=-30

即线段所表示的y与x之间的函数解析式是y=30x-30（lWxWL5）.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

和数形结合的思想解答.

20.（8分）（2019•济宁）如图，A2是O。的直径，C是。。上一点，。是AC的中点，E为

。。延长线上一点，且NCAE=2NC,AC与BD交于点H,与OE交于点F.

(1)求证：AE是O。的切线;

(2)若。H=9,tanC=工，求直径A3的长.

4

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角

形.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】(1)根据垂径定理得到OE_LAC,求得/AFE=90°,求得/胡。=90°,于是

得到结论；

(2)连接AD,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1),••。是血的中点,

OELAC,

：.ZAFE^90°,

：.ZE+ZEAF=90°,

VZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZCAE=ZAOE,

：.ZE+ZAOE^90°,

：.ZEAO=90°,

是O。的切线；

(2)连接AO,在RfAOH中，

'：ZDAC^ZC,

tanZDAC=tanC=—,

4

,:DH=9,

:.AD=n,

在RtBDA中，*.*tanB=tanC=上,

sinB=—,

5

：.AB=20.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和

性质，正确的识别图形是解题的关键.

21.（8分）（2019•济宁）阅读下面的材料：

如果函数y=/（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意xi,及，

（1）若Xl<%2,都有了（XI）</（X2）,则称/（X）是增函数；

（2）若羽<%2,都有/（幻）>/（X2）,则称/（%）是减函数.

例题：证明函数/（x）=—（x>0）是减函数.

证明：设0Vxi〈x2,

Sc6x-6x16（x-xi）

/（XI）-于（X2）=--2=—2------1=——2-?J—.

盯x2盯乂？X|x2

VO<X1<X2,

.*.X2-XI>0,XlX2>0.

6（x9-xi）

・•--------------—>0.即/（xi）-f（X2）>0.

xlx2

（XI）>f（X2）.

...函数/（x）—g（x>0）是减函数.

X

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数/（%）=」亍+%（xV。），

7

4

(1)计算：/(-3)①一，/（-4）63

16-

（2）猜想：函数/（尤）=A-+x（x<0）是增函数（填“增”或“减”）；

（3）请仿照例题证明你的猜想.

【考点】E4：函数自变量的取值范围；G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；

（2）由（1）结论可得；

（3）根据题目中例子的证明方法可以证明（1）中的猜想成立.

【解答】解：（1）,//（%）=得~+无（尤<°），

-3)=-3=-2/(-4)=—-4=-生

(-3)

故答案为：-空,63

16

(2)V-4<-3,/(-4)</(-3)

，函数/(无)=」亍+"(x<0)是增函数

X

故答案为：增

(3)设xiV%2V0,

11Xi+x2

V/(XI)-f(X2)=-----+xi-------X2=(XI-X2)(1------——

Y49..22..2

Vxi<x2<0,

.".XI-X2<0,Xl+X2<0,

.*./（XI）-f（X2）<0

（XI）<f（X2）

，函数/（x）（x<0）是增函数

X

【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答.

22.（H分）（2019•济宁）如图1,在矩形A3CD中，AB=8,AD=10,E是CD边上一点，

连接AE,将矩形A8C0沿A石折叠，顶点。恰好落在8。边上点尸处，延长AE交8C

的延长线于点G.

（1）求线段CE的长；

（2）如图2,M,N分别是线段AG,OG上的动点（与端点不重合），且

设AM—x,DN—y.

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使是等腰三角形？若存在，请求出尤的值；若不存在,

请说明理由.

【考点】L0：四边形综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,贝l|DE=EF=8-x.在

中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

（2）①证明可得旭1=幽，由此即可解决问题.

MGGN

②存在.有两种情形：如图3-1中，当MN=MD时.如图3-2中，当时，

作MHLDG于H.分别求解即可解决问题.

【解答】解：（1）如图1中,

图1

:四边形A8C£＞是矩形，

：.AD=BC^1Q,AB=CD=8,

：.ZB=ZBCD=90°,

由翻折可知：10.DE=EF,设EC=x,则。E=EP=8-x.

在中，8尸=4研2rB2=6,

：.CF=BC-BF=lQ-6=4,

在RtZXEFC中，则有：（8-x）2=?+42,

...x=3,

：.EC=3.

(2)①如图2中,

'：AD//CG,

•AD=DE

,*CGCE"

.10_5

••一——?

CG3

；.CG=6,

：.BG=BC+CG=16,

在RtZkABG中，AG=Jg2+162=875,

在RtZXOCG中，DG=J62+g2=10,

:AO=OG=10,

：.ZDAG=ZAGD,

,：/DMG=ZDMN+ZNMG^ZDAM+ZADM,/DMN=ADAM,

：.ZADM=ZNMG,

：.AADMsAGMN,

.AD=AM

"MGGN'

-10_X

-x10-y

2

.•.y=A_x-i^x+lO.

,105

当x=4旄时，y有最小值，最小值=2.

②存在.有两种情形：如图3-1中，当MN=M。时,

图3-1

VZMDN=ZGMDfZDMN=ZDGM,

:・ADMNs丛DGM,

.DM=MN

**DGGM，

■:MN=DM,

：.DG=GM=10,

：.x=AM=Sy/s-10.

如图3-2中，当MN=OV时，作M"_LQG于H.

图3・2

°：MN=DN,

：.ZMDN=ZDMNf

,：ZDMN=ZDGM,

：.NMDG=/MGD,

：.MD=MG,

9：MH±DG,

:・DH=GH=5,

由△G〃MS2^GR4,可得@1=蚂

GBAG

.5—MG

"T?砺，

2_

；.x=AM=8泥-殳应=I1'西.

22_

综上所述，满足条件的x的值为8泥-10或卫位.

2

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似

三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构

建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

考点卡片

1.倒数

(1)倒数：乘积是1的两数互为倒数.

一般地，«•—=1QWO),就说a(aWO)的倒数是L.

aa

(2)方法指引:

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”.正像减法转化为加法及相反数一

样，非常重要.倒数是伴随着除法运算而产生的.

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同.

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“-”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数.

2.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于m即/=〃，那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为a.

(2)非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

3.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果尤3=°,那么x叫做a的立方根.记作：圾.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号。3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

4.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负

实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比

左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

5.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.规律型：数字的变化类

探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要

求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律.

（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

（2）利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为无，再利用它们

之间的关系，设出其他未知数，然后列方程.

7.零指数嘉

零指数累：J=1QWO)

由a，“+a，”=l,可推出/=1(a#O)

注意：O°#l.

8.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解•又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这XI,X2是一元二次方程af+bx+c

=0QW0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax^+bxx+c—O(aWO),ax,^+bxi+c—O(aWO).

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

10.由实际问题抽象出分式方程

由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系.

(1)在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中

的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等.

(2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路.

11.点的坐标

(1)我们把有顺序的两个数。和b组成的数对，叫做有序数对，记作(a,b).

（2）平面直角坐标系的相关概念

①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴.

②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），尤轴一般取向右为正方

向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点.它既属于x轴，又属于y轴.

（3）坐标平面的划分

建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐标轴上的点不属于任何一个象限.

（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系.

12.函数自变量的取值范围

自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.

①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数.例如y=2x+13中的》.

②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2尤-1.

③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际

问题有意义.

13.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

14.反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y=左/无（左为常数，左力0）的图象是双曲线，

①图象上的点（尤，y）的横纵坐标的积是定值上即孙=心

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=klx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形

的面积是定值I川.

15.二次函数图象与几何变换

由于抛物线平移后的形状不变，故。不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方

法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑

平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

16.二次函数与不等式（组）

二次函数＞="/+笈+。（a、b、c是常数，。=0）与不等式的关系

①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得

自变量尤的取值范围.

②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交

点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解.

17.几何体的展开图

（1）多数立体图形是由平面图形围成的.沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就

是相应立体图形的展开图.同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样

的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形.

（2）常见几何体的侧面展开图：

①圆柱的侧面展开图是长方形.②圆锥的侧面展开图是扇形.③正方体的侧面展开图是长

方形.④三棱柱的侧面展开图是长方形.

（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系.立体图形问题可以转化

为平面图形问题解决.

从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化,

建立空间观念，是解决此类问题的关键.

18.平行线的判定与性质

（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系

来寻找角的数量关系.

（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

（3）平行线的判定与性质的联系与区别

区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行.

联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关.

（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角.

19.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段

相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角

平分线的性质语言：如图，：C在的平分线上，CD±OA,CELOB：.CD=CE

20.线段垂直平分线的性质

（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”.

（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到

线段两端点的距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心,

并且这一点到三个顶点的距离相等.

21.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么。2+庐=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+信=°2的变形有：a=Qc2f2,7c2-a2及c=“+b2・

（4）由于。2+必=。2>“2,所以c>°,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

22.多边形内角与外角

（1）多边形内角和定理：（〃-2）780（"23）且w为整数）

此公式推导的基本方法是从〃边形的一个顶点出发引出（w-3）条对角线，将"边形分割为

（”-2）个三角形，这（”-2）个三角形的所有内角之和正好是“边形的内角和.除此方法

之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形，这也

是研究多边形问题常用的方法.

（2）多边形的外角和等于360度.

①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则〃边形取一个外角，无论边数是几，其外

角和永远为360°.

②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°n-Cn-2）«180°=360。.

23.四边形综合题

四边形综合题.

24.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

25.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

26.切线的性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

（3）切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：

见切点，连半径，见垂直.

27.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

28.扇形面积的计算

（1）圆面积公式：S=iTr

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是"，圆的半径为R的扇形面积为S,则

S扇形=———RR?或S扇形=工/7?（其中/为扇形的弧长）

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（4）求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法.

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.

29.作图一复杂作图

复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方

法.

解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解

成基本作图，逐步操作.

30.轴对称图形

(1)轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线