16.1 二次根式（原卷版）

八年级下册数学《第十六章二次根式》16.1二次根式知识点一知识点一二次根式的定义◆二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.1、二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；2、被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“”，不能从化简结果上判断，如4，9是二次根式；“”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有知识点二知识点二二次根式有意义的条件◆二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：a有意义=>a≥0,a无意义，a＜0.◆【规律方法】二次根式有无意义的条件：1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．3．如果一个式子中含有二次根式且被开方数中含有零指数幂或负整数指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.知识点三知识点三二次根式的性质◆1、a的性质：a≥0；a≥0◆2、（a）2（a≥0）的性质：（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．◆3、a2的性质：a2=|a|◆4、（a）2（a≥0）与a2的区别与联系.（a）2（a≥0）a区别取值范围a≥0a为任意实数表示的意义表示非负数a的算术平方根的平方表示a2的算术平方根运算顺序先开平方后平方先平方后开平方运算结果（a）2＝a（a≥0）读法读作：“根号a的平方”或“a的算术平方根的平方”读作：“根号”或“a的平方的算术平方根”联系（1）结果都是非负数；（2）当a≥0时，a2＝（a）知识点四知识点四代数式◆1、定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.【注意】代数式式数或字母之间的运算关系，代数式中只能含运算符号，不能含≥，＞，≤，＜，≠，＝等关系符号.◆2、列代数式的常用方法：①直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式；②公式法：根据公式列出代数式；③探究规律法：将一组数或一组图形的排列规律用代数式表示出来.题型一二次根式的识别题型一二次根式的识别【例题1】（2021秋•古县期末）下列各式中，是二次根式的是（）n2 B．-4 C．38 D解题技巧提炼判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件：（1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.【变式1-1】（2021秋•九台区期末）下列各式中，不是二次根式的是（）A．8 B．-2 C．b2+1 D【变式1-2】（2022春•合川区校级期中）下列式子一定是二次根式的是（）A．-5 B．π C．a3 D．【变式1-3】（2021春•海淀区校级期末）下列各式：3-27，-4，2a-1（a＜12【变式1-4】下列各式中，二次根式有（）-3，0.5，0，23，a2+1，x+1（xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-5】（2022秋•诏安县期中）给出下列各式：①32；②6；③-12；④-m（m≤0）；⑤a2+1；⑥A．2 B．3 C．4 D．5题型二二次根式有意义的条件题型二二次根式有意义的条件【例题2】（2022春•钦北区校级月考）若代数式xx-1在实数范围内有意义，则xA．x＞0且x≠1 B．x≥0 C．x≠1 D．x≥0且x≠1解题技巧提炼求式子有意义时字母的取值范围方法：第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零.第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组；第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围.【变式2-1】（2022•徐州）若x-2有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【变式2-2】（2021春•白云区期末）当x满足一定条件时，式子x-3x-3是（）A．x＞﹣3 B．x＞3 C．x≥﹣3 D．x≥3【变式2-3】（2021春•黔西南州期末）式子2xx-1A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0【变式2-4】（2020秋•朝阳区校级期中）无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（）A．a B．a2-1 C．a+1 D【变式2-5】若代数式(x-2)02-x-1有意义，则x的取值范围是【变式2-6】求下列式子有意义的x的取值范围.（1）14-3x（2）3-xx-2（3）x-3x-2（4）-x2（5）题型三利用二次根式的性质计算题型三利用二次根式的性质计算【例题3】（2021秋•高台县期末）下列式子正确的是（）A．(-9)2=-9 B．25=±5 C．3(-1)3解题技巧提炼运用（a）2（a≥0），a2=|a（1）计算（a）2，直接运用（a）2＝a；（2）计算a2①去掉根号及被开方数的指数，写成绝对值的形式，即a2=|②去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化简.【变式3-1】下列结论正确的是（）A．-(-6)2=-6 BC．(-16)2=±6 D．﹣（-【变式3-2】化简：（1）=；（2）；（3）；（4）；【变式3-3】计算：(7A．3 B．11 C．﹣3 D．﹣11【变式3-4】（2022•谷城县二模）计算：(1-2)2=【变式3-5】（2021秋•安岳县期末）当x＝2时，二次根式2+7x的值是．【变式3-6】（2022秋•莲湖区校级月考）计算下列各式：（1）279；（2）0.81-0.04；（3）412-4【变式3-7】（2022春•乾安县期末）计算：32=，0．72=，02=（1）根据计算结果，回答：a2一定等于a（2）利用你总结的规律，计算(3.14-π)题型四二次根式的非负性应用题型四二次根式的非负性应用【例题4】已知a、b、c满足2|a﹣1|+2a-b+（c+b）2＝0，求2a+b﹣解题技巧提炼二次根式a（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0.【变式4-1】（2021春•安顺期中）已知y=x-1+1-x+A．1 B．78 C．-54 【变式4-2】（2021春•宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简(a-b+c)2-2|c﹣a﹣bA．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a【变式4-3】（2021秋•安居区期末）若x＜1，则化简(x-2)2+|4﹣A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x【变式4-4】（2012秋•泸县期中）若x，y都是实数，且满足y＜x-1+1-x【变式4-5】（2022秋•荣县校级月考）已知一个三角形的三边长分别为5，2a﹣1，10，化简：(a-8)2【变式4-6】（2021•零陵区校级自主招生）若化简|1﹣x|-x2-8x+16的结果为2x﹣5，则x的取值范围是【变式4-7】已知实数a满足|2010-a|+a-2011=a，求a﹣2010题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简题型五利用数轴和二次根式的性质进行化简【例题5】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a-bA．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b解题技巧提炼本题运用了数学结合思想，利用数轴由“形”的位置来确定“数（式）”的符号，充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机整体，解答含有二次根式的化简类题目的关键是确保去掉根号后的结果是非负数.【变式5-1】（2022秋•天府新区月考）已知实数a，b在数轴上的对应点如图，则(a+b)2-(a-b)【变式5-2】（2021春•东城区校级期末）如果数轴上表示a、b两个数的点都在原点的左侧，且a在b的左侧，则|a﹣b|+(a+b)2的值为【变式5-3】（2021秋•碑林区校级期中）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简a2【变式5-4】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|-c2-|b﹣【变式5-5】（2021春•秦安县校级期末）已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简a2题型六代数式题型六代数式【例题6】下列各式中，代数式有（）①m；②4a；③mx+y；④π；⑤ab=ba；⑥S=12（a+b）h；⑦3.6×103πa2；⑧22＜32A．8个B．7个C．6个D．5个解题技巧提炼用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.列代数式的方法有：（1）直接法；（2）公式法；（3）探究规律法.代数式书写时要注意规范写法.【变式6-1】（2021秋•唐山期末）下列代数式书写正确的是（）A．a4 B．m÷n C．112x D．x（b【变式6-2】（2021秋•富川县期末）用代数式表示“a的2倍与b的差的平方”，正确的是（）A．2（a﹣b）2 B．2a﹣b2 C．（2a﹣b）2 D．（a﹣2b）2【变式6-3】（2021秋•蒸湘区校级期中）在下列各式中，是代数式的有（）①﹣2x2；②x+y=0

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③4x2﹣1；