CH1-绪论1.1模型-1.2概念

常微分方程

Ordinarydifferentialequation王高雄周之铭朱思铭王寿松编学习《常微分方程》重要性

300多年前，人类科学史上划时代的重大发现，就是由Newton(1642-1727)和Leibniz(1646-1716)所创立的微积分学。而微积分的产生和开展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为:物质世界是运动的，运动不但有快慢(导数),还遵循守恒定律(等式).因而描述物质运动变化常常用含有导数的方程来表示，这就是微分方程，具体地微分方程联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.常微分方程自变量只有一个的微分方程.

常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用.常微分方程内容:〔1〕常微分方程的模型建立.〔2〕常微分方程的解方法:用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的假设干最重要也是最根本的微分方程问题.课程目的/MajorSubjectionofCourse/学习可求解的常微分方程(组)的类型及其求解方法。熟悉常微分方程解的根本性质(如解的存在性，唯一性等)，了解研究常微分方程的根本方法(如稳定性分析、定性分析等)。课时/Periods/4节/周，共48学时。考试/Examination/闭卷：期末考试(70%)。参考书目/ReferenceBooks/窦霁虹，常微分方程考研教案，西北工业大学出版社。朱思铭,常微分方程辅导与习题解答，高等教育出版社。常微分方程Ordinarydifferentialequation第一章绪论第二章一阶微分方程的初等积分法第三章一阶微分方程的解的存在定理第四章高阶微分方程第五章线性微分方程组第六章非线性微分方程1

2第七章一阶线性偏微分方程第一章绪论

Introduction微分方程模型/ModelingofODE/根本概念/BasicConception/练习题/Exercise/本章要求/Requirements/

能快速判断微分方程的类型；

掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；

理解微分方程解的意义。CH1§1.1

微分方程模型/ModelingofODE/例1R-L-C电路例2

数学摆

例3人口模型例5

两种群生态模型例6

Lorenz

方程

例4

传染病模型例1R-L-C电路包含电阻R

电感L

电容C

及电源的电路基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。(1)回路中设R、L及电源电压E为常数.

当开关S合上后,得关系式:那么是常微分方程初始条件如果电源突然短路E=0,方程为:(2)回路中设R、L、C及为常数，电源电压e(t)

。当开关S合上后，由Kirchhoff第二定律,得

两边同时对t求导,得初始条件当电源电压是常数e(t)=E时，方程变为:例2(数学摆)数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如下图.试确定摆的运动方程.小球所受的合力为mgsin

,由牛顿第二定律得:

∴二阶非线性方程,不易求解.当

很小时,sin

≈

,近似线性方程：

逆时针正向【注】(1)假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,存在沿运动方向阻力,与v成正比,系数为,那么:摆的运动方程(2)假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,那么摆的运动方程为:∴假设:时间

t时人囗

N(t)

净相对增长率r是常数微分方程初值条件

N(t0)=N0时解为例3马尔萨斯〔Malthus〕人口模型:即有解不合理!假设:环境最大容纳量Nm

净相对增长率为微分方程Logistic人口模型:

微分方程Logistic人口模型:

估计:世界人口自然增长率r=0.29。1960年人口29.8亿，增长率1.85%.由0.0185=r(1-N/Nm)式可得Nm=82.3亿。而20世纪70年代为40亿左右。与统计结果相符。年1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060例4

(传染病模型)

长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专家和官员关注的课题．人们不能去做传染病传播的试验以获取数据，所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型.化简，得这个模型称为SI模型．

SI模型:化简，得这个模型称为SIS

模型．这个模型称为SIR

模型．例4两种群生态模型被食-捕食模型(2)不存在被食鱼时，捕食鱼减少率c。被食鱼供养捕食鱼能力为dxy。假设:(1)不存在捕食鱼时，被食鱼增长率

a。单位时间内被食鱼与捕食鱼相遇次数为bxy。微分方程被食鱼x(t),捕食鱼y(t)

被食-捕食模型得得两种群x(t),y(t)a、b、c、d正数竞争模型被食-捕食模型共生模型Volterra模型两种群x(t),y(t)a、b、c、d

常数美国气象学家Lorenz在1961年发现方程的解对初值敏感的现象。后来由李-约克提炼出“混沌”概念，触发了一场科学革命。其中参数a=10,b=8/3,c=28.Lorenz方程:例5Lorenz方程

模型:反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态(动力)系统.第一章构造方法：

·从物理、力学等已确定的自然规律出发

·应用类比方法，例如用电路来模拟机械系统

·通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理

·通过反复试验，寻找出适合要求的模型常微分方程模型总结常微分方程模型特点特点:完全无关的、本质上不同的模型有时可以由同类型的微分方程来描述。

R-L-C电路和人口模型当E

=

0

时两方程一样§1.2根本概念/BasicConception/1.常微分方程和偏微分方程

2.一阶与高阶微分方程

3.线性和非线性微分方程

4.解和隐式解

5.通解和特解

6.积分曲线和积分曲线族

7.微分方程的几何解释-----方向场常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。§1.2BasicConception一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的阶/Order/在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。例如§1.2BasicConception一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：类似的，n阶隐方程的一般形式可表示为：n阶显方程的一般形式为其中F及f分别是它所依赖的变元的函数。§1.2BasicConception线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，那么称它为线性微分方程，否那么，称它为非线性微分方程。例如：§1.2BasicConceptionn阶线性微分方程的一般形式为：其中均为的函数例：2阶线性方程的一般形式§1.2BasicConception解和隐式解/Solution/

对于方程假设将函数代入方程后使其有意义且两端成立即那么称函数为该方程的一个解.或一阶微分方程有解即关系式假设方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解，§1.2BasicConception通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/常微分方程的解的表达式中，可能包含一个或者几任意常数，假设其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，称这样的解为该微分方程的通解。常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。例：二阶方程其通解而是方程满足初始条件特解。§1.2BasicConception初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程初值条件可表示为n阶方程初值问题〔CauchyProblem〕的表示一阶和二阶方程初值问题〔CauchyProblem〕的表示§1.2BasicConception积分曲线和积分曲线族

/IntegralCurve(s)/称它为微分方程的积分曲线，称为微分方程的积分曲线族§1.2BasicConception方向场/DirectionalPattern/此时，点集D就成为带有方向的点集,称区域D为由方程确定的方向场。常微分方程求解的几何意义是：在方向场中寻求一条曲线，使这条曲线上每一点切线的方向等于方向场中该点的方向。§1.2BasicConception例1

画出方程的方向场。等倾线方程也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。xyo§1.2BasicConception例2画出方程的方向场。等倾线方程xyo拐点线方程§1.2BasicConceptionn阶微分方程其中取变换那么n阶微分方程变为1阶微分方程组可记为

或这里y为向量。(6)微分方程组驻定(自治)微分方程组含时间t的微分方程组叫非驻定方程组引进新时间

，非驻定方程组可化为(n+1维空间)驻定方程组:方程组右端不含t(7)驻定与非驻定过y的解

(t,y)可视t为参数，称为单参数变换群

t(y)

动力系统常微分驻定方程组可称为连续动力系统具恒同性和可加性(7)动力系统相空间轨线驻定解(平衡解、常数解)奇点相平面其相空间(x,y)称为相平面。不含自变量，仅由未知函数组成的空间积分曲线在相空间中的投影驻定微分方程组,右端函数为0的解驻定解在相空间中称为奇点〔平衡点〕平面一阶驻定方程组(8)相空间、奇点和轨线平面一阶驻定方程组其积分曲线有特殊性质：可在空间(x,y,t)将方程的积分曲线投影到(x,y)平面上。方程组変为时间轴的平移不影响方向场或(8)相平面轨线空间投影练习题1编号微分方程自变量未知函数常或偏阶数是否线性24补6§1.3Exercise作业/Homework/4.给定一阶微分方程〔1〕求出它的通解.〔2〕求出通过点〔1,4〕的特解.〔3〕求出与直线相切的解.〔4〕求出满足条件的解