(线性代数)第一章-矩阵

线性代数数学系我想说课程的重要性课程要求综合考评课时分配如何学好做好预习复习多看多练多想工科根底考研根底期末成绩平时成绩授课学时4*8=32习题课1*4=4数学实验(5%)数学实验2*2=4答疑时间：周一晚1-2节教八4楼专用教室按时完成作业ABC教材与参考书目教材购书联系方式参考书目工程数学—线性代数，第4版，同济大学应用数学系，2003，高教出版社线性代数陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型唐风书店(山西路军人俱乐部长三角文化用品)科学出版社，2007.2线性代数附册—学习辅导与习题选解，第4版，同济大学应用数学系，2003，高教出版社定价：18.00线性代数一、核心工具解线性方程组

线性方程组方程间的关系向量间的关系矩阵的性质和运算

行列式的运算

返回考虑再学方程对应一个向量再学向量组构成矩阵再学方阵再学二、主要问题应用线性方程组

求方阵的特征值特征向量方阵的相似对角化问题实对称矩阵的正定性三、重点难点向量组的线性无关性逆矩阵线性方程组：

教学内容和根本要求第一章矩阵教学内容学时数§1.1-1.2矩阵的基本概念和运算

2§1.3分块矩阵§1.4初等变换与初等矩阵

2§1.5方阵的逆矩阵§1.6行列式的定义2§1.6行列式的性质及计算§1.7矩阵的秩2第一章矩阵§1.1矩阵的根本概念一.矩阵与向量二.几种特殊矩阵一.矩阵的线性运算三.矩阵的转置§1.2矩阵的根本运算二.矩阵的乘法例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念

单价(元/箱)重量(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州啤酒(瓶装)2016200180190啤酒(易拉罐)5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150§1.1矩阵的根本概念例2.四个城市间的单向航线如下图.假设aij表示从i市到j市航线的条数,那么右图可用矩阵表示为1423A=[aij]=0111100001001010①②③④①④③②第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念§1.1矩阵的根本概念一.矩阵与向量

1.m

n矩阵

(Matrix)

元素:

aij(i=1,…,m,j=1,…,n)注:元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵.今后除非特别说明,我们所考虑的矩阵都是实矩阵(Rm×n).复矩阵(Cm×n).

Am×n==(aij)m×na11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amnn阶方阵:

n

n矩阵

2.方阵主对角线元素:

aii(i=1,…,n)3.向量(Vector)

n维行向量:1

n矩阵ai=(ai1,ai2,…,ain)n维列向量:n

1矩阵Aj=

常用希腊字母,,表示.5.同型矩阵A=(aij)m

n与B=(bij)m

n6.相等矩阵A=B

aij

=bij

,

1

i

m,1

j

n

同型矩阵第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念a1ja2j…anj4.1

1矩阵

(a11)

=a11

7.零矩阵Om

naij=0，

1

i

m,1

j

n1.对角矩阵(diagonal)

=diag(

1,

2,…,

n)=

10…00

2…0

…

…

…

…00…

n2.数量矩阵3.单位矩阵引入Kronecker记号

ij=1,i=j

0,i

j=

(

ij)=

(

ij)=

(

i

ij)第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念二.几种特殊矩阵

4.三角矩阵

a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…anna110…0

a21a22…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-10…………

an1…0

00

…0a1n

0…

a2n-1

a2n…………

an1…a1n-1

ann上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念5.行阶梯矩阵称A中非零行的行数为A的阶梯数,记为

r(A).

(简称阶梯阵)(rowechelonform)假设A有零行(元素全为零的行),那么零行位于最下方;非零行的非零首元(自左至右第一个不为零的元,称为主元)的列标随行标的递增而递增.r(A)=3r(A)=4第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念11204013220002300000110040102200023000046.行最简形矩阵A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵)假设A有零行,那么零行位于最下方;主元的列标随行标的递增而递增.A为行最简形矩阵(reducedrowechelonform)(rref)各非零首元(主元)全为1,主元所在的列(称为主列)除1外其余元素全为0.

不是rref单位列向量第一章矩阵

§1.1矩阵的根本概念是rref1

0

2010130200010000001

010101000011000000000§1.1矩阵的根本概念一.矩阵与向量二.几种特殊矩阵一.矩阵的线性运算三.矩阵的转置§1.2矩阵的根本运算二.矩阵的乘法Am

n

=(aij)m

n1.n阶方阵

2.三角矩阵

3.对角矩阵

=diag(

1,

2,…,

n)

4.数量矩阵5.单位矩阵En

=

(

ij)

=

(

ij)=

(

i

ij)6.行阶梯矩阵7.行最简形矩阵主元全为1,主列为单位列向量.

0行最下方;主元列标随行标递增1.加法注1:A,B同型.C=A+B=(aij+bij)m

n注3:负矩阵

A=(

aij)m

n注4:减法：2.数乘kA=(kaij)m

n=

向量:k

+l

=(kai+lbi)(A,B是同型矩阵)kA

lB

=(kaij

lbij)m

n第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn§1.2矩阵的根本运算一.矩阵的线性运算A

B=A+(

B)3.性质定理2.1设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,那么(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(

A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.(9)kA=0

k=0或A=O.(10)A+X=B

X=B

A.第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150

单价(元/箱)重量(Kg/箱)数量(箱)南京苏州常州瓶装啤酒2016200180190易拉罐5020100120100干啤3016150160140生啤2516180150150总价(元)180001815016750总重(Kg)10480102409680C=AB1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,那么A与B的乘积是C=AB=(cij)mn=(Ai*B*j)=,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=

aikbkj.k=1s二.矩阵的乘法

注1:时才有意义，且.(1)(kA)B=k(AB),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(AB)C=A(BC).注2:性质第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算AB=(Ai*B*j)=二.矩阵的乘法注3:注4:不一定都有意义

同型但不相等

AB:A左乘以B;B右乘以A

有意义但不同型

第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算注5:方阵的正整数幂：A2=AA,Ak+1=AkA,AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,(AB)kAkBk,

(A+B)2

A2

+B2+2AB

,

只有AB=BA时等式成立.

注6:消去率未必成立.(AB)k=ABAB

AB.(A+B)2

=(A+B)

(A+B)

=A2

+B2+AB+BA

比方:第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算(A+B)(A

B)=A2

B2

AB+BA

A2

B2例3.

关于Ak

解:第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算注7：对角矩阵的性质

==

(

i

ij)(ti

ij)=

(

i

ti

ij)=

(ti

ij)(

i

ij)=

Em

Am×n=

Am×n=Am×n

En

(aEm)Am×n=

aAm×n=Am×n(aEn)t10…00t2…0

…

…

…

…00…tn

10…00

2…0

…

…

…

…00…

n

1t10…00

2t2…0

…

…

…

…00…

ntn=第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算注8：方阵的多项式

设A为一个方阵,f(x)为一个多项式称之为方阵A的一个多项式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

例5：

第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算第一章矩阵§1.2矩阵的根本运算一.矩阵的线性运算

二.矩阵的乘法三.矩阵的转置

kA

lB=(kaij

lbij)m

nAB=(Ai*B*j)=

矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行列数

交换率一般不成立

消去率一般不成立三.矩阵的转置

1.设矩阵A=(aij)m×n,那么矩阵A的转置为2.性质：

(1)(AT)T=A,n×m(4)证明：(2)(A+B)T=AT+BT,(4)(AB)T=BTAT.(3)(kA)T=kAT,第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算=3.对称矩阵

满足

AT=A.A=(aij)m

n为对称矩阵

m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).反对称矩阵A：满足AT=

A.

A=(aij)m

n为反对称矩阵

A为方阵且aij=

aji(i,j=1,2,…,n).比方：为对称矩阵；为反对称矩阵.第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算反对称矩阵对角线元素全为0证明：设A,B,C为n阶方阵，并且第一章矩阵

§1.2矩阵的根本运算例6.证明任意一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.§1.1-1.2矩阵及其运算

一.矩阵与向量

三.矩阵的线性运算四.矩阵的乘法五.矩阵的转置kA

lB=(kaij

lbij)m

nAB=(Ai*B*j)=对称矩阵

对角矩阵(

i

ij)数量矩阵

En

单位阵En

(AB)T=BTATAm

n

=(aij)m

n行阶梯矩阵

行最简形矩阵二.几种特殊矩阵方阵

三角矩阵

一般矩阵：第一章矩阵§1.3分块矩阵

一.矩阵的分块二.分块矩阵的运算线性运算转置乘法三.分块矩阵的应用线性变换§1.3分块矩阵一.矩阵的分块在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。GH第一章矩阵

§1.3分块矩阵

三种特殊的分块方法设A为m×n矩阵,记Aj为A的第j列,i为A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),那么有如下两种重要的分块方法A=(A1,A2,…,An),

1

2…

mA=A=A1

O…OO

A2…O

…………

O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方阵,那么称A为分块对角阵(或准对角矩阵).二.分块矩阵的运算分块加法A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=第一章矩阵

§1.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,

为常数.

A11

A12…

A1r

A21

A22…

A2r

…………

As1

As2…

Asr.则

A=2.分块数乘第一章矩阵

§1.3分块矩阵

3.分块乘法设A为m

l矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,Ai1,Ai2,…,Ait的列数分别与B1j,B2j,…,Btj的行数相等.

(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=

AikBkj,则AB=k=1t第一章矩阵

§1.3分块矩阵

10

1012011001211

0B=,求AB.10

00010012100101例1.设A=,解:A=,E

OA1

EB=,B11

EB21

B22于是AB=EOA1

EB11

EB21

B22,B11

E=10

12=.A1B11+B21=341210

21+2413=,

10

0

124

1311

11A1B11+B21

B22

A1第一章矩阵

§1.3分块矩阵

设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,A11T

A21T…As1T

A12T

A22T…As2T

…………A1rT

A2rT…AsrT.则AT=4.分块转置分外层内层双重转置

AT

=[A1,A2,…,An]T=[

1T,

2T,…,

mT].

1

2…

mAT

=A1T

A2T…AnT

=T第一章矩阵

§1.3分块矩阵

第一章矩阵§1.3分块矩阵

一.矩阵的分块二.分块矩阵的运算线性运算转置乘法三.分块矩阵的应用线性方程组的表示形式线性变换三.分块矩阵的应用线性方程组的表示形式三.分块矩阵的应用线性变换y=Ax从x1,x2,,xn到y1,y2,,ym的线性变换恒等变换y=Ex旋转变换y=Ax几何含义：将平面上任一点P(x1,x2)旋转

角得到点P’(y1,y2)§1.4初等变换与初等矩阵

二.矩阵的初等变换三.相抵标准形第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

一.线性方程组的初等变换四.初等矩阵一.线性方程组的初等变换

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x2

3x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/21对换变换

倍乘变换

倍加变换

阶梯形方程组

第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

x1

5x3=1x2+2x3=

2

0=0x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=0阶梯形方程组(2)x1=5x3+1x2

=

2x3

2

x3

=

x3(任意)

最简形方程组或写成向量形式由此可得原方程组的通解其中c为任意数.x=5c+12c

2c

,第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

二.矩阵的初等变换

2x13x2+4x3=4

x1+2x2

x3=32x1+2x2

6x3=2x1+2x2

x3=

32x13x2+4x3=4

x1+x23x3=1x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

x22x3=22(1)x1+2x2

x3=3x2+2x3=

2

0=01/212

34

4

121

32262轻装上阵121

3

2

34

4

1131

1/2121

3

0

12

2

0

1

22

2(1)121

3

012

2

00001增广矩阵的初等变换阶梯形方程组

阶梯形矩阵

第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

1.矩阵的初等行变换

初等列变换:把上述定义中的“行”换成“列”(相应的记号是把“r”换成“c”).初等行变换与初等列变换统称为初等变换.(1)对调两行ri

rj(2)以非零的数k乘以第i行,记为ri

k(3)把第j行的的k倍加到第i行上去,记为ri+krj初等行变换的逆变换：

第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

ri

kAB

ri

1/kBAri+krjAB

ri

krjBA(行row)(列column)三.相抵标准形2.性质(1)反身性:A

A.

(2)对称性:A

B

B

A.(3)传递性:A

B,B

C

A

C.矩阵间的相抵关系是一种等价关系.1.A与B相抵(或等价)记为A

B.初等变换注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.3.通过初等行变换将矩阵化为与其等价的行最简形矩阵第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

例1.用初等行变换将A化为行最简形矩阵

r22r10411r34r1051515r4

r10211r3/50411r2

r30133021100

11

11013300

5

5r34r2r42r2

r3/11r4+5r3001101330000r1+r2r2

3r30011010000001004相抵标准形.Er

Or

(n

r)O(m

r)

r

O(m

r)

(n

r)3.记若Am

n与相抵,则称为A的1

00022

00300042

3

05460初等行变换初等行变换1

00001

003000001

054

20初等列变换1

00001

00001

0000000002111623463331042

614513

9例如,rref是初等行变换下的最简形初等变换下的最简形r为阶梯数，即阶梯阵中非零行的行数.第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

四.初等矩阵1.初等矩阵:Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(1)(2)(3)按定义,初等矩阵共有如下3类:一次初等变换

第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)

(1)第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i(k))=第i行1k

11第i列1Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))(2)第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

E(i,j(k))=第i行1……k

1

1……第j行第i列第j列1Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(3)第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

2.初等矩阵的性质一次初等行变换

一次初等列变换

(左行右列)第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

定理1.1.对m

n矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵;对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.010100001abcxyz123,=xyzabc123010100001a

x

1b

y

2c

z3,=x

a

1y

b

2z

c31k0010001abcxyz123,=a+kxb+kyc+kzxyz1231k0010001a

x

1b

y

2c

z3.=a

ak+x

1b

bk+y

2c

ck+z310001000kabcxyz123,=a

bcx

yzk

2k

3k10001000ka

x

1b

y

2c

z3,=a

x

kb

y

2kc

z

3k第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

定理1.2.对任意m

n矩阵A,总存在行最简形矩阵U和m阶初等阵P1,P2,…,Ps,使得P1P2…PsA=U

.第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

定理1.3.对任意m

n阶矩阵A,必可找到m阶初等阵P1,P2,…,Ps和n阶初等阵Q1,Q2,…,Qt,使得

P1P2…PsA

Q1Q2…Qt=E(r),

其中rmin(m,n)为A的阶梯数.行阶梯形Am

n

行最简形相抵标准形一般地,初等列变换Er

Or

(n

r)O(m

r)

r

O(m

r)

(n

r)初等行变换初等行变换一.初等变换和初等矩阵二.相抵标准形一次初等变换

(左行右列)相抵是一种等价关系形。初等变换第一章矩阵

§1.4初等变换与初等矩阵

一次初等行变换

一次初等列变换

Am

n

行最简形相抵标准形初等列变换初等行变换左乘初等阵P1,P2,…,Ps右乘初等阵Q1,Q2,…,Qt第一章矩阵二.初等阵与可逆阵一.逆矩阵的概念三.用初等变换求逆矩阵§1.5方阵的逆矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

§1.5方阵的逆矩阵

一.逆矩阵的概念1.定义:设A为方阵,假设存在方阵B,使得AB=BA=E.那么称A可逆,并称B为A的逆矩阵.事实上,假设AB=BA=E,AC=CA=E,那么B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A1.注2.可逆方阵的逆矩阵是唯一的.注1.逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.第一章矩阵

逆矩阵的运算性质设A,B为同阶可逆方阵,数k0.那么(1)(A1)1=A.(2)(AT)1=(A1)T.(3)(kA)1=k1A1.(4)(AB)1=B1A1.

例1.设A与E

A都可逆,G=(E

A)1

E,求证G也可逆,并求G1.证明:

G=(E

A)1

(E

A)1(E

A)=(E

A)1(E

(E

A))=(E

A)1AG1=A1(E

A)=A1

E.(5)(ABG)1=G1

B1A1.

§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

二.初等阵与可逆阵1.初等矩阵的可逆性按定义,初等矩阵共有如下3类:一次初等变换

§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

初等矩阵Eri

rjE(i,j)Eci

cjE(i,j)Eri

kE(i(k))Eci

kE(i(k))Eri+krjE(i,j(k))Ecj+kciE(i,j(k))(1)(2)(3)E(i,j)=第i行110………11………01111………………第j行第i列第j列E(i,j)

1=E(i,j)Eri

rjE(i,j)(1)§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

E(i(k))=第i行1k

11第i列1(E(i(k)))

1=E(i(1/k)))Eri

kE(i(k))

(2)§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

E(i,j(k))=第i行1……k

1

1……第j行第i列第j列1E(i,j(k))

1=E(i,j(

k))

Eri+krjE(i,j(k))(3)§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

1.初等矩阵的可逆性§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

命题.

初等矩阵都可逆,且E(i,j)

1=E(i,j),(E(i(k)))

1=E(i(1/k)),(E(i,j(k)))

1=E(i,j(

k))).

定理1.2.对m

n矩阵A,总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2,…,Ps,使得P1P2…PsA=U

.问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？E

可逆方阵A=Ps

1…P2

1P1

1.定理1.5

n阶方阵A可逆

A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.推论.

A

B

存在初等阵使B=P1…PsAQ1…Qt

存在可逆矩阵P,Q使得B=PAQ.§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

定理1.6对m

n矩阵B,

B

存在初等阵使B=P1…PsQ1…Qt

存在可逆矩阵P,Q使得B=PQ.设A可逆,那么A可以经过有限次初等行变换化为行简化阶梯阵——单位矩阵E.A…E

(A

E)…(E

?)P1(A

E)PlPl-1…P2P1(A

E)P1AP2P1APlPl-1…P2P1A(E,PlPl-1…P2P1)?=PlPl-1…P2P1=A

1

(A

E)初等行变换(E

A

1)

相当于左乘A

1(A

B)初等行变换(E

)

相当于左乘A

1A

1B

AX=E

X=A

1AX=B

X=A

1B例3.设A=123221343,求A

1..r3

r2

1/2r2r1

2

r2r25/2r3r1+2r3123100

221010343001解:

§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

A

1=

13

2

3/2

35/211

1例4.设A=,,B=253143求矩阵X使AX=B.r22

r1r33

r1r1

2

r2r25/2r3r1+2r3§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

12322134312325

2213134343解:

故X=

32

2

313.XA=B

X=BA

1

注:当求一个逆矩阵时，事先不必知道A是否可逆，因为当A不可逆时，A就不可能通过初等行变换化成单位阵，此时，那么可判别A不可逆。[A

E]行变换[E

A

1][A

B]行变换[E

A

1B]

相当于左乘A

1AX=B

X=A

1B初等列变换ABEX=E

BA

1

相当于右乘A

1列变换AEE

A

1

左行右列§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

三.用初等变换求逆矩阵(左行右列)A可逆

A

E

A=P1…Ps[A

E]行变换[E

A

1][A

B][EA

1B]解AX=B

X=A

1B解XA=B

X=BA

1初等列变换ABEBA

1§1.5方阵的逆矩阵

第一章矩阵

一.定义:方阵A可逆,假设方阵B,使AB=BA=E.注.只定义在方阵上，且唯一.二.初等阵与可逆阵§1.5方阵的逆矩阵

(初等阵都是可逆的)行变换§1.6方阵的行列式

一.二元线性方程组与二阶行列式三.n阶行列式的定义

二.三阶行列式的特点四.行列式的性质五.行列式的计算六.行列式的应用§1.6方阵的行列式§1.6方阵的行列式

一.二元线性方程组与二阶行列式

(a11a22

a12a21)x1=b1a22

a12b2

(a11a22

a12a21)x2=a11b2

b1a21

当a11a22

a12a210时,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22

a12b2a11a22

a12a21,x2=a11a22

a12a21a11b2

b1a21.第一章矩阵

第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11a12a21a22记D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,那么当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22

a12b2a11a22

a12a21有唯一确定的解x2=a11a22

a12a21a11b2

b1a21

三阶行列式的对角线法那么a1

a2

a3b1

b2

b3c1

c2

c3=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2

a3b2c1

a1b3c2

a2b1c3

每项都是三个元素的乘积.每项的三个元素位于不同的行列.问题:能用对角线法那么计算四阶行列式吗?否

§1.6方阵的行列式第一章矩阵

第一章矩阵§1.6方阵的行列式一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=

M32.

第一章矩阵§1.6方阵的行列式3阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33|A|=a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33=a11A11

+a12A12

+

a13A13

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13a22a31.

第一章矩阵§1.6方阵的行列式1阶方阵A=[a11]的行列式|A|定义为a11.a11a12a21a222阶方阵A=的行列式|A|定义为a11a12a21a22|A|==a11a22

a12a21.a11a12a21a22a11(1)1+1a22+a12

(1)1+2a21

a11a12a21a22

a11

a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33第一章矩阵§1.6方阵的行列式a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33a11的余子式:a22a23

a32a33M11=代数余子式:A11=(1)1+1M11

a12的余子式:a21a23a31a33M12=代数余子式:A12=(1)1+2M12

a13的余子式:M13=代数余子式:A13=(1)1+3M13

a21a22a31a32a11

a12

a13

a21a22

a23a31

a32

a33

aij的余子式

Mij：

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann|A|=划去aij所在的行列得到的n-1阶行列式比方M22：aij的代数余子式

Aij：

按第一行展开二.三阶行列式的特点=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13a22a31

1.n阶行列式的定义

a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:

①一阶行列式|a11|=a11,有正负号,与绝对值不同

②行列式只定义在n阶方阵A上,记为|A|或detA.三.n阶行列式的定义〔Determinant〕③

n阶行列式是定义在n阶方阵集合上的一个函数，即f(A)=detA:Rn×n

R.

§1.6方阵的行列式第一章矩阵

=a11A11+a12A12+

+a1nA1n关于第一行的展开式2.几个特殊的行列式

10…00

2…0…………00…

n0…0

10

…

2

0…………

n…00=

1

2…

n

,

1

2…

n

.(1)对角行列式

§1.6方阵的行列式第一章矩阵

(2)上(下)三角形行列式

a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…ann=a11a22…ann

=a110…0

a21a22…0…………an1

an2…anna11…a1n-1

a1n

a21…

a2n-10…………

an1…0

0=a1na2n-1…an10

…0a1n

0…

a2n-1

a2n…………

an1…a1n-1

ann§1.6方阵的行列式第一章矩阵

§1.6方阵的行列式

三.n阶行列式的定义二.二、三阶行列式的特点四.行列式的性质五.行列式的计算六.行列式的应用对角线法那么按某行(列)展开

|A|=a11A11+a12A12+

+a1nA1n按第1行展开

f(A)=detA:Rn×n

R.四.行列式的性质性质1|AT|=|A|.

记|A|=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21

…an1

a12

a22…an2…………a1n

a2n

…ann,|AT|=§1.6方阵的行列式第一章矩阵

性质2

性质3

0性质4

证明:§1.6方阵的行列式第一章矩阵

当n=2时成立.假设对任意n1阶行列式结论成立.|A|=a11M11+

+(1)1+i

a1iM1i

+

+(1)1+n

a1nM1n

|B|=b11N11+

+(1)1+i

b1iN1i

+

+(1)1+n

b1nN1n

当i

j时,b1i=a1i,

由归纳假设,N1i=

M1i

(1)1+i

b1iN1i=(1)1+ia1i(

M1i)=

(1)1+i

a1iM1i

当i=j时,b1i=

a1i,

N1i=M1i

(1)1+i

b1iN1i=(1)1+i(

a1i)M1i

=

(1)1+i

a1iM1i

性质4

性质5

性质6

性质7

性质8

性质9

？§1.6方阵的行列式第一章矩阵

0|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+

+ainAin按第i行展开

|A|=a1jA1j+a2jA2j+

+anjAnj按第j列展开

定理1.7

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33=

a31A31+a32A32+a33A33.下面来看a11A31

+a12A32+a13A33

=a11A31

+a12A32+a13A33

=a11

a12

a13

a21

a22

a23

a11

a12

a13=0.推广到一般情形,我们有如下结论:定理1.8.

ai1Aj1

+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)

a1iA1j

+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).

A31,A32,A33与a31,a32,a33的取值无关0?§1.6方阵的行列式第一章矩阵

定理1.8.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i

j)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(i

j).推论：

aikAjk=Dij,k=1n

akiAkj=Dij.k=1n

ij=1,i=j

0,i

j§1.6方阵的行列式第一章矩阵

其中m

n矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法行列式与矩阵的区别

五.行列式的主要计算方法四.行列式的性质

1.化为三角形行列式

|AT|=|A|.

3.行列式按行(列)展开

2.箭形行列式的计算4.提公因子法5.降阶递推法6.分解行列法例5.设|A|=|A1A2A3A4|=3,Ai

R41,求|B|=|A2+

A3A1

2A3

A42A1|=？

=4(1)3|A|=12.五.行列式的主要计算方法

1.化为行列式的关系式解:

|B|=|A2+

A3A1

2A3

A42A1|=|A2+

A3

2A3

A42A1|(1/2)(1/2)=|A2

2A3

A42A1|=4|A2

A3

A4A1|§1.6方阵的行列式第一章矩阵

例6.

1242213422124=067

3423124=067

0

10

14()532.化为三角形行列式

124=067

0

0

7/3=16(7/3)=14.法1:

法2:

§1.6方阵的行列式第一章矩阵

=14.行列式按行(列)展开

3111131111311113(2)6666

131111311113=1111131111311113=6(1)1111020000200002=6=48.§1.6方阵的行列式第一章矩阵

例7.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ri+krj,把D1化为下三角行列式=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,D2

=,b11…

b1n

bn1…

bnn……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1n

cn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……对D2施行ci+kcj这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…