高中数学数系的扩充与复数的引入.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件新人教A版选修122

复数代数形式的四那么运算复数代数形式的加减运算及其几何意义复数的加、减法法那么及几何意义与运算律必备知识·自主学习(a-c)+(b-d)i【思考】(1)两个复数的和或差得到的结果是什么提示:结果仍然是唯一的复数.(2)复数的加法法那么可以推广吗提示:可以推广到多个复数相加的情形.【根底小测】1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞)(1)两个复数的加法不满足结合律. ()(2)复数的加法运算法那么只适用于两个复数相加. ()(3)复数与向量一一对应. ()提示:(1)×.复数的加减法满足结合律.(2)×.可以推广到多个复数相加.(3)×.正确说法是:复数z=a+bi与平面向量:=(a,b)一一对应.2.(教材二次开发:练习题改编)z=11-20i,那么1-2i-z等于 ()A.z-1 B.z+1【解析】选C.1-2i-z=1-2i-(11-20i)=-10+18i.3.假设复数z满足z+(3-4i)=1,那么z的虚部是 ()【解析】选=1-(3-4i)=-2+4i.关键能力·合作学习类型一复数的加减运算(数学运算)【题组训练】1.计算:(2-3i)+(-4+2i)=________.

2.x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),那么x=_______,y=_______.

3.z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,假设z1-z2=5-3i,那么|z1+z2|=________.

【解析】1.(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.答案:-2-i2.整理(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi)得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,故解得答案:6

111-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得所以z1=3-2i,z2=-2+i,那么z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.答案:【解题策略】复数加、减运算法那么的记忆(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.提醒:注意运算格式及范围,防止出错在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚局部别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+〞号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).【补偿训练】1.复数z+3i-3=3-3i,那么z= ()【解析】选D.因为z+3i-3=3-3i,所以z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.2.复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,假设z1+z2是纯虚数,那么实数a=________.

【解析】由条件知z1+z2=a2-2a-3+(a2-1)i,又z1+z2是纯虚数,所以解得a=3.答案:3类型二复数加减法的几何意义(数学运算、直观想象)【典例】1.设向量对应的复数分别为z1,z2,z3,那么 ()1+z2+z31-z2-z3=01-z2+z31+z2-z3=02.在复平面内,假设对应的复数分别为7+i,3-2i,那么||=________.

3.如下图,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示复数0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数.(2)对角线表示的复数.(3)对角线表示的复数.【解析】1.选D.因为,所以z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.2.答案:53.(1)因为,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为,所以对角线表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为对角线,所以对角线表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.【解题策略】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论

(1)技巧.①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理;②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.(2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,那么四边形OACB:①为平行四边形;②假设|z1+z2|=|z1-z2|,那么四边形OACB为矩形;③假设|z1|=|z2|,那么四边形OACB为菱形;④假设|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,那么四边形OACB为正方形.【跟踪训练】(2021·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,那么|z1-z2|=__________.

【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cosθ+2sinθ·i,z2=2cosα+2sinα·i,所以z1+z2=2(cosθ+cosα)+2(sinθ+sinα)·i=+i,所以两式平方作和得:4(2+2cosθcosα+2sinθsinα)=4,化简得cosθcosα+sinθsinα=-,所以|z1-z2|=|2(cosθ-cosα)+2(sinθ-sinα)·i|答案:2

【补偿训练】在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,假设向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,那么对应的复数是 ()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2i【解析】选D.在平行四边形ABCD中,=3+i-(-1+3i)=4-2i.类型三复数模的最值问题(直观想象、数学抽象)【典例】1.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()B.D.2.假设复数z满足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.【思路导引】1.设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,那么点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.2.满足|z++i|≤1的条件的点落在以(-,-1)为圆心,半径为1的圆上以及内部,那么|z|的最值即为求到原点的距离的最值.【解析】1.选A.设复数z,-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.2.如下图,=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【解题策略】

1.复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

,实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.2.复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔.【跟踪训练】|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.【解析】因为|z|=1且z∈C,作图如图:所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点Q到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.课堂检测·素养达标1.a,b为实数,设z1=2+bi,z2=a+i,当z1+z2=0时,复数a+bi为 (

)

【解析】选D.因为z1=2+bi,z2=a+i,所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i.2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,那么|z1+z2|=()B.【解析】选B.由图象可知z1=-2-2i,z2=i,所以z1+z2=-2-i,|z1+z2|=.3.在复平面内的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,那么对应的复数是 ()A.2+14iB.1+7i【解析】选D.依据向量的平行四边形法那么可得,