专题5-1数量积（极化恒等式与投影法）（原卷版）-

专题51数量积（极化恒等式与投影法）一、极化恒等式在三角形ABC中（M为BC的中点），证明：AABCM证明（基底法）：因为，所以二、投影法如图，对于，其中是在上的投影，在Rt△PBH中故，考虑到可能为钝角，故写成.2023全国乙卷(理)T12已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．2022·北京高考T10在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2020·新高考1卷T7——投影法求数量积取值范围已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．2017年全国2卷（理）T12已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．重点题型·归类精讲重点题型·归类精讲题型一极化恒等式2023·广东深圳·5月模拟预测若等边的边长为2，平面内一点满足，则（

）A． B． C． D．2024届长沙一中月考（二）已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为．如图，是圆O的直径，P是圆弧上的点，M、N是直径上关于O对称的两点，且，则（

）A．13 B．7 C．5 D．3已知圆的半径为，点满足，，分别是上两个动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．在锐角中，已知，，则的取值范围是．半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________．等和线+极化恒等式正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为（）

A．0 B． C． D．在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为；若为常数且，则的长度是．题型二投影法设是圆上不同的两点.且.则.中，，，为的重心，为的外心，则．的外接圆的半径等于，，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是6题型三极化恒等式：由数量积求其他数量积武汉市2023届9月起点检测T15平行四边形ABCD中，，点P满足，则________．（江苏高考）如图，在△ABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点，，则的值是________．题型四极化恒等式+隐圆2024届湖南师大附中高三开学考在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为.深圳市2023期末四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为.2023深圳高二下期末·16 已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为；如果直线与相交于点，则的最小值为.题型五其它方式求数量积在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则=_______.如图在平行四边形中，已知，，，则的值是.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为.在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为_______已知单位向量，满足，则的最小值为A．