福建省泉港区第二中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题【含答案】

2023年9月泉港二中九年级上暑假返校测试数学试卷（考试时间：100分钟，满分100分）一、单选题（每题4分，共40分）1.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式加减法的法则，乘除法法则对各选项进行计算判断即可．详解】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．与不能合并，所以B选项不符合题意；C．，所以C选项符合题意；D．与不能合并，所以D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的运算：解决问题的关键是熟练掌握二次根式加减乘除运算的法则．2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，列出不等式，解之即可得出答案．【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，∴，

∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题的关键．3.若，则的值为（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】根据合比性质进行计算．【详解】解：，．故选：A．【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．4.已知，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可得，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简，再合并即可．【详解】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，，∴∴；故选：A．【点睛】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．5.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（）A. B.C.（ D.【答案】A【解析】【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可．【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文，则可列方程为：，故选：A．【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．6.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则k的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系及整理即可求解．【详解】解：由题意得：，，则：，即：，解得：，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的是解题的关键．7.如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、、和、、，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，根据合比性质即得．【详解】，，．故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线分线段，解决问题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，合比性质．8.如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积．【详解】解：根据图形和题意可得：正方形的边长，∴正方形面积，矩形的长和宽分别是，，∴矩形面积，，其中，则方程是解得：，（不合题意舍去），所以正方形的面积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得的值，从而求出边长，求面积．9.如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中m，n满足关系式．若在第二象限内有一点，使四边形的面积与三角形的面积之比为，则点P的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，，解得，，即，，，，，由面积比可得，，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，，解得，∴，即，，，∴，，∵四边形的面积与三角形的面积之比为，∴，解得，∴，故选：B．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，坐标与图形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10.已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：①若A+B=10，则；②，则x需要满足的条件是；③，则关于x的方程无实数根；④若x正整数()，且为整数，则1，2，4，5．上面说法正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确．【详解】解：∵，，∴①当时，则，解得：，故①错误；②当，则，当时，，解得：；当，，解得：；当，，解得：（舍去）；综上所述：，故②正确；③若，则或，当时，，，无解；当时，，，无解；∴，关于x的方程无实数根；故③正确；④∵，若为整数，则是整数，∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；∴正确的有②③④故选：C【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11.古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中给出了计算三角形面积的海伦公式，若三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据题中的公式，代入计算求值．【详解】解：，的面积为：，故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的计算是解题的关键．12.计算的结果是___________．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．13.“黄金分割”被视为最美丽几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长米，点是线段的黄金分割点(即)，则的长是______．【答案】米【解析】【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】点是线段的黄金分割点(即)，米，米，米，故答案为：米．【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．14.如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是______．【答案】6【解析】【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等边对等角可得，然后根据平行线分线段成比例定理，可得，结合即可得出答案．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，平行线分线段成比例定理等知识，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．15.《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为________元．【答案】【解析】【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可．【详解】解：由题意，得，即，解得，，，∵每件头盔的利润不能超过进价的，∴每件头盔的售价不能超过元，所以舍去，所以售价应100元，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键．16.对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，如果，则此时的值是______．【答案】或【解析】【分析】根据与的大小关系，取与中的最大值化简所求方程，求出解即可．【详解】解：当，即时，方程为，去分母得：，解得：，经检验是原方程的解；当，即时，方程为去分母得：，解得：（不符合题意，舍），，经检验都为分式方程的解．故答案为：或．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．三、解答题（共36分）17.先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后把x的值代入计算即可．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法．18.已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根为，请解答下列问题：①若，，求的取值范围；②请判断的值能否等于，若能，请求出此时的值；若不能说明理由．【答案】（1）见解析（2）①；②不能，见解析【解析】【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；根据根与系数的关系得，则，然后解不等式即可；由于，，所以，由于时，有最小值，从而可判断的值不能为．【小问1详解】证明：，此方程总有两个不相等的实数根；【小问2详解】解：根据根与系数的关系得，，，，解得，即的范围为；的值不能为．理由如下：根据根与系数的关系得，，，时，有最小值，的值不能为．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．19.课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在中，对角线，垂足为．求证：是菱形．（2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．①求证：是菱形；②延长至点，连接交于点，若，求的值．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证；②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求